Istnieje macierz ortogonalna, gdy wspomniana macierz pomnożona przez jej transpozycję skutkuje macierzą tożsamości. Jeśli odwrotność macierzy jest równa transpozycji, wówczas oryginalna macierz jest ortogonalna.
Macierze ortogonalne charakteryzują się tym, że liczba wierszy jest równa liczbie kolumn. Ponadto wektory wierszowe są jednostkowymi wektorami ortogonalnymi, a wektory wierszami transpozycji są również.
Rysunek 1. Przykład macierzy ortogonalnej i jak przekształca obiekty geometryczne. (Przygotowane przez Ricardo Péreza)
Kiedy macierz ortogonalna jest mnożona przez wektory przestrzeni wektorowej, tworzy transformację izometryczną, czyli transformację, która nie zmienia odległości i zachowuje kąty.
Typowym przedstawicielem macierzy ortogonalnych są macierze rotacji. Transformacje macierzy ortogonalnych w przestrzeni wektorowej nazywane są transformacjami ortogonalnymi.
Geometryczne transformacje obrotu i odbicia punktów reprezentowanych przez ich wektory kartezjańskie są wykonywane przez zastosowanie macierzy ortogonalnych na oryginalnych wektorach w celu uzyskania współrzędnych przekształconych wektorów. Z tego powodu macierze ortogonalne są szeroko stosowane w komputerowym przetwarzaniu grafiki.
Nieruchomości
Matryca M jest prostopadła jeśli pomnożonej przez jego transpozycji M T daje w rezultacie macierz jednostkową I . Podobnie, iloczyn transpozycji macierzy ortogonalnej przez macierz oryginalną daje macierz identyczności:
MM T = M T M = I
Konsekwencją poprzedniego stwierdzenia jest to, że transpozycja macierzy ortogonalnej jest równa jej macierzy odwrotnej:
M T = M -1 .
Zbiór macierzy ortogonalnych o wymiarze nxn tworzy grupę ortogonalną O (n). A podzbiór O (n) macierzy ortogonalnych z wyznacznikiem +1 tworzy Grupę Jednostkowych Macierzy Specjalnych SU (n). Macierze grupy SU (n) to macierze, które powodują liniowe przekształcenia rotacji, zwane także grupą rotacji.
Demonstracja
Chcemy pokazać, że macierz jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy wektory wierszowe (lub wektory kolumnowe) są względem siebie ortogonalne io normie 1.
Załóżmy, że rzędy macierzy ortogonalnej nxn to n wektorów ortonormalnych o wymiarze n. Jeśli jest oznaczony przez v 1 , v 2 ,…., V n do n wektorów zachodzi:
Gdzie jest oczywiste, że rzeczywiście zbiór wektorów wierszowych jest zbiorem wektorów ortogonalnych z normalnym.
Przykłady
Przykład 1
Pokaż, że macierz 2 x 2, która w pierwszym rzędzie ma wektor v1 = (-1 0), aw drugim rzędzie wektor v2 = (0 1) jest macierzą ortogonalną.
Rozwiązanie: Konstruuje się macierz M i oblicza się jej transpozycję M T :
W tym przykładzie macierz M jest autotransponowana, to znaczy macierz i jej transpozycja są identyczne. Pomnóż M przez jego transpozycję M T :
Weryfikuje się, że MM T jest równe macierzy tożsamości:
Gdy macierz M zostanie pomnożona przez współrzędne wektora lub punktu, otrzymane zostaną nowe współrzędne, które odpowiadają transformacji, jaką wykonuje macierz na wektorze lub punkcie.
Rysunek 1 pokazuje, jak M przekształca wektor u w u ', a także jak M przekształca niebieski wielokąt w czerwony wielokąt. Ponieważ M jest ortogonalne, jest to transformacja ortogonalna, która zachowuje odległości i kąty.
Przykład 2
Załóżmy, że masz macierz 2 x 2 zdefiniowaną w liczbach rzeczywistych podanych przez następujące wyrażenie:
Znajdź rzeczywiste wartości a, b, c i d takie, że macierz M jest macierzą ortogonalną.
Rozwiązanie: Z definicji macierz jest ortogonalna, jeśli pomnożona przez jej transpozycję otrzymana zostanie macierz tożsamości. Pamiętając, że transponowana macierz jest uzyskiwana z oryginału, zamieniając wiersze na kolumny, otrzymujemy następującą równość:
Wykonując mnożenie macierzy mamy:
Porównując elementy lewej macierzy z elementami macierzy tożsamości po prawej, otrzymujemy układ czterech równań z czterema niewiadomymi a, b, c i d.
Proponujemy dla a, b, c i d następujące wyrażenia w postaci stosunków trygonometrycznych sinus i cosinus:
Dzięki tej propozycji i ze względu na fundamentalną tożsamość trygonometryczną, pierwsze i trzecie równanie są automatycznie spełnione w równości elementów macierzy. Trzecie i czwarte równanie są takie same iw równości macierzowej po podstawieniu proponowanych wartości wygląda to tak:
co prowadzi do następującego rozwiązania:
Ostatecznie otrzymujemy następujące rozwiązania dla macierzy ortogonalnej M:
Zauważ, że pierwsze z rozwiązań ma wyznacznik +1, a więc należy do grupy SU (2), podczas gdy drugie rozwiązanie ma wyznacznik -1 i dlatego nie należy do tej grupy.
Przykład 3
Biorąc pod uwagę następującą macierz, znajdź wartości a i b, aby otrzymać macierz ortogonalną.
Rozwiązanie: Aby dana macierz była ortogonalna, iloczyn z jej transpozycją musi być macierzą tożsamości. Następnie wykonywany jest iloczyn macierzy danej macierzy wraz z jej transponowaną macierzą, dając następujący wynik:
Następnie wynik jest utożsamiany z macierzą tożsamości 3 x 3:
W drugim wierszu trzecia kolumna ma (ab = 0), ale a nie może wynosić zero, ponieważ w przeciwnym razie równość elementów w drugim wierszu i drugiej kolumnie nie byłaby spełniona. Wtedy koniecznie b = 0. Podstawiając b za wartość 0 otrzymujemy:
Następnie równanie zostaje rozwiązane: 2a ^ 2 = 1, którego rozwiązania to: + ½√2 i -½√2.
Przyjmując dodatnie rozwiązanie dla a, otrzymujemy następującą macierz ortogonalną:
Czytelnik może łatwo sprawdzić, czy wektory wierszowe (a także wektory kolumnowe) są ortogonalne i unitarne, to znaczy ortonormalne.
Przykład 4
Pokaż, że macierz A, której wektory wierszowe są v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) i v3 = (0 0-1), jest macierzą ortogonalną. Dodatkowo znajdź wektory są transformowane z podstawy kanonicznej i, j, k do wektorów u1 , u2 i u3 .
Rozwiązanie: Należy pamiętać, że element (i, j) macierzy pomnożony przez jej transpozycję jest iloczynem skalarnym wektora wiersza (i) i kolumny (j) transpozycji. Ponadto iloczyn ten jest równy delcie Kroneckera w przypadku, gdy macierz jest ortogonalna:
W naszym przypadku wygląda to tak:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Za pomocą którego pokazano, że jest to macierz ortogonalna.
Ponadto u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) i wreszcie u3 = A k = (0, 0, -1)
Bibliografia
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Przekaż publikację.
- Birkhoff i MacLane. (1980). Algebra Współczesna, wyd. Vicens-Vives, Madryt.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Wprowadzenie do algebry liniowej. ESIC Editorial.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-sekundowa matematyka: 50 teorii matematycznych, które najbardziej poszerzają umysł. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Macierz ortogonalna. Odzyskany z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Macierz ortogonalna. Odzyskany z: en.wikipedia.com