LICZBY TRANSCENDENTNE: CZYM ONE SĄ, WZORY, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Te numery transcendentalne są te, które nie mogą być uzyskane za pomocą wyniku równania wielomianowego. Przeciwieństwem liczby transcendentnej jest liczba algebraiczna, będąca rozwiązaniami równania wielomianowego typu:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Gdzie współczynniki a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ to liczby wymierne, zwane współczynnikami wielomianu. Jeśli liczba x jest rozwiązaniem poprzedniego równania, to liczba ta nie jest transcendentna.

Rysunek 1. Dwie liczby o wielkim znaczeniu w nauce to liczby transcendentne. Źródło: publicdomainpictures.net.

Przeanalizujemy kilka liczb i zobaczymy, czy są one transcendentne, czy nie:

a) 3 nie jest transcendentne, ponieważ jest rozwiązaniem x - 3 = 0.

b) -2 nie może być transcendentne, ponieważ jest rozwiązaniem x + 2 = 0.

c) ⅓ jest rozwiązaniem 3x - 1 = 0

d) Rozwiązanie równania x ² - 2x + 1 = 0 to √2 -1, więc liczba z definicji nie jest transcendentna.

e) Ani √2, ponieważ jest wynikiem równania x ² - 2 = 0. Podniesienie do kwadratu √2 daje wynik 2, który po odjęciu od 2 równa się zero. Zatem √2 jest liczbą niewymierną, ale nie jest transcendentna.

Co to są liczby transcendentne?

Problem polega na tym, że nie ma ogólnej zasady ich uzyskania (powiemy o wiele później), ale niektóre z najbardziej znanych to liczba pi i liczba Nepera, oznaczone odpowiednio przez: π i e.

Liczba π

Liczba π pojawia się naturalnie, obserwując, że iloraz matematyczny między obwodem P koła a jego średnicą D, niezależnie od tego, czy jest to małe, czy duże koło, zawsze daje tę samą liczbę, zwaną pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Oznacza to, że jeśli za jednostkę miary przyjmuje się średnicę obwodu, dla wszystkich, dużych lub małych, obwód zawsze będzie wynosił P = 3,14… = π, jak widać na animacji na rysunku 2.

Rysunek 2. Długość obwodu koła jest równa pi razy długość średnicy, przy czym pi wynosi około 3,1416.

Aby określić więcej miejsc po przecinku, konieczne jest zmierzenie P i D z większą dokładnością, a następnie obliczenie ilorazu, co zostało zrobione matematycznie. Wniosek jest taki, że ułamki dziesiętne ilorazu nie mają końca i nigdy się nie powtarzają, więc liczba π oprócz tego, że jest transcendentna, jest również irracjonalna.

Liczba niewymierna to liczba, której nie można wyrazić jako podzielenie dwóch liczb całkowitych.

Wiadomo, że każda liczba transcendentna jest irracjonalna, ale nie jest prawdą, że wszystkie liczby niewymierne są transcendentne. Na przykład √2 jest irracjonalne, ale nie jest transcendentne.

Rysunek 3. Liczby transcendentne są irracjonalne, ale sytuacja odwrotna nie jest prawdą.

Liczba e

Liczba transcendentna e jest podstawą logarytmów naturalnych, a jej dziesiętne przybliżenie to:

i ≈ 2,718281828459045235360….

Gdybyś chciał zapisać dokładnie liczbę e, konieczne byłoby zapisanie nieskończonych liczb dziesiętnych, ponieważ każda transcendentna liczba jest irracjonalna, jak powiedziano wcześniej.

Pierwsze dziesięć cyfr e jest łatwe do zapamiętania:

2,7 1828 1828 i chociaż wydaje się być zgodny z powtarzalnym wzorem, nie osiąga się tego w ułamkach dziesiętnych rzędu większych niż dziewięć.

Bardziej formalna definicja e jest następująca:

Oznacza to, że dokładną wartość e uzyskuje się wykonując operację wskazaną w tym wzorze, gdy liczba naturalna n dąży do nieskończoności.

To wyjaśnia, dlaczego możemy uzyskać tylko przybliżenia e, ponieważ bez względu na to, jak duża jest liczba n, zawsze można znaleźć większe n.

Poszukajmy własnych przybliżeń:

-Gdy n = 100 to (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, co prawie nie pokrywa się w pierwszym miejscu po przecinku z „prawdziwą” wartością e.

-Jeśli wybierzesz n = 10 000, masz (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815, co pokrywa się z „dokładną” wartością e w pierwszych trzech miejscach po przecinku.

Ten proces musiałby być kontynuowany w nieskończoność, aby otrzymać „prawdziwą” wartość e. Myślę, że nie mamy na to czasu, ale spróbujmy jeszcze jednego:

Użyjmy n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

To ma tylko cztery miejsca po przecinku, które odpowiadają wartości uważanej za dokładną.

Ważne jest, aby zrozumieć, że im wyższa wartość n wybrana do obliczenia e _n , tym będzie bliżej wartości prawdziwej. Ale ta prawdziwa wartość będzie miała tylko wtedy, gdy n jest nieskończone.

Rysunek 4. Graficznie pokazano, jak im wyższa wartość n, tym bliżej e, ale aby dojść do dokładnej wartości n, musi być nieskończona.

Inne ważne liczby

Oprócz tych słynnych liczb istnieją inne liczby transcendentne, na przykład:

- 2 ^√2

-Liczba Champernowne w podstawie 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-Liczba Champernowne w podstawie 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Liczba gamma γ lub stała Eulera-Mascheroniego:

γ ≈ 0,577 215 664 901532860 606

Który uzyskuje się wykonując następujące obliczenia:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Kiedy n jest bardzo duże. Aby uzyskać dokładną wartość liczby Gamma, należałoby wykonać obliczenia przy n nieskończoności. Coś podobnego do tego, co zrobiliśmy powyżej.

Jest o wiele więcej liczb transcendentnych. Wielki matematyk Georg Cantor, urodzony w Rosji i żyjący w latach 1845-1918, wykazał, że zbiór liczb transcendentnych jest znacznie większy niż zbiór liczb algebraicznych.

Wzory, w których pojawia się liczba transcendentna π

Obwód obwodu

P = π D = 2 π R, gdzie P to obwód, D średnica, a R promień obwodu. Należy pamiętać, że:

-Średnica obwodu to najdłuższy odcinek, który łączy dwa takie same punkty i który zawsze przechodzi przez jego środek,

- Promień jest równy połowie średnicy i jest segmentem biegnącym od środka do krawędzi.

Obszar koła

A = π R ² = ¼ π D ²

Powierzchnia kuli

S = 4 π R ^2.

Tak, chociaż może się tak nie wydawać, powierzchnia kuli jest taka sama, jak cztery okręgi o tym samym promieniu co kula.

Objętość kuli

V = 4/3 π R ³

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Pizzeria „EXÓTICA” sprzedaje pizze w trzech średnicach: małą 30 cm, średnią 37 cm i dużą 45 cm. Chłopiec jest bardzo głodny i zdał sobie sprawę, że dwie małe pizze kosztują tyle samo, co jedna duża. Co będzie dla niego lepsze, jeśli kupi dwie małe pizze czy jedną dużą?

Rysunek 5. - Powierzchnia pizzy jest proporcjonalna do kwadratu promienia, gdzie pi jest stałą proporcjonalności. Źródło: Pixabay.

Rozwiązanie

Im większa powierzchnia, tym większa ilość pizzy, dlatego powierzchnia dużej pizzy zostanie obliczona i porównana z powierzchnią dwóch małych pizz:

Powierzchnia dużej pizzy = ¼ π D ² = ¼ ⋅3,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Powierzchnia małej pizzy = ¼ π d ² = ¼ ⋅3,1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Dlatego dwie małe pizze będą miały powierzchnię

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

To jasne: kupując jedną dużą, będziesz miał większą ilość pizzy niż dwie małe.

- Ćwiczenie 2

Pizzeria „EXÓTICA” sprzedaje również pizzę półkulistą o promieniu 30 cm w tej samej cenie, co pizzę prostokątną o wymiarach 30 x 40 cm z każdej strony. Który byś wybrał?

Rysunek 6. - Powierzchnia półkuli jest dwa razy większa od okrągłej powierzchni podstawy. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Jak wspomniano w poprzedniej sekcji, powierzchnia kuli jest cztery razy większa od powierzchni koła o tej samej średnicy, więc półkula o średnicy 30 cm będzie miała:

Pizza półkulista 30 cm: 1413,72 cm ² (dwa razy okrąg o tej samej średnicy)

Pizza prostokątna: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Półkulista pizza ma większą powierzchnię.

Bibliografia

1. Fernández J. Liczba e. Pochodzenie i ciekawostki. Odzyskane z: soymatematicas.com
2. Ciesz się matematyką. Numer Eulera. Odzyskany z: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Urozmaicony. Edycje CO-BO.
4. García, M. Liczba e w rachunku elementarnym. Odzyskany z: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Numer PI. Odzyskane z: wikipedia.com
6. Wikipedia. Liczby transcendentne. Odzyskane z: wikipedia.com