CO TO SĄ UKOŚNE TRÓJKĄTY? (Z ĆWICZENIAMI) - MATEMATYKA - 2026

Te ukośne trójkąty są te trójkąty, które nie są prostokątami. Innymi słowy, trójkąty takie, że żaden z ich kątów nie jest kątem prostym (ich miara to 90º).

Ponieważ nie mają one kątów prostych, twierdzenie Pitagorasa nie może być zastosowane do tych trójkątów.

Dlatego, aby poznać dane w ukośnym trójkącie, konieczne jest użycie innych formuł.

Formuły niezbędne do rozwiązania trójkąta ukośnego to tak zwane prawa sinusów i cosinusów, które zostaną opisane później.

Oprócz tych praw można zawsze przyjąć fakt, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180º.

Ukośne trójkąty

Jak stwierdzono na początku, trójkąt ukośny jest trójkątem takim, że żaden z jego kątów nie mierzy 90º.

Problem znalezienia długości boków trójkąta ukośnego, a także wyznaczenia miary jego kątów, nazywany jest „rozwiązywaniem trójkątów ukośnych”.

Ważnym faktem podczas pracy z trójkątami jest to, że suma trzech wewnętrznych kątów trójkąta jest równa 180º. Jest to wynik ogólny, dlatego można go również zastosować do trójkątów ukośnych.

Prawa sinusów i cosinusów

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC o bokach długości „a”, „b” i „c”:

- Prawo sinusów mówi, że a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), gdzie A, B i C są przeciwnymi kątami do „a”, „b” i „c "Odpowiednio.

- Prawo cosinusów mówi, że: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Równoważnie można użyć następujących formuł:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) lub a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Korzystając z tych wzorów, można obliczyć dane dla trójkąta ukośnego.

Ćwiczenia

Poniżej znajdują się ćwiczenia, w których należy znaleźć brakujące dane z podanych trójkątów na podstawie pewnych dostarczonych danych.

Pierwsze ćwiczenie

Mając trójkąt ABC taki, że A = 45º, B = 60º i a = 12cm, obliczyć pozostałe dane trójkąta.

Rozwiązanie

Używając tego, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180º, mamy to

C = 180º-45º-60º = 75º.

Te trzy kąty są już znane. Następnie stosuje się prawo sinusów do obliczenia dwóch brakujących stron.

Powstają równania 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Z pierwszej równości możemy znaleźć „b” i otrzymać to

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696 cm.

Możemy również znaleźć „c” i otrzymać to

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Ćwiczenie drugie

Mając trójkąt ABC taki, że A = 60º, C = 75º i b = 10cm, oblicz pozostałe dane trójkąta.

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim ćwiczeniu, B = 180º-60º-75º = 45º. Ponadto, używając prawa sinusów, mamy, że a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), z którego wynika, że ​​a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm ic = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Ćwiczenie trzecie

Mając trójkąt ABC taki, że a = 10 cm, b = 15 cm i C = 80º, oblicz pozostałe dane trójkąta.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu znany jest tylko jeden kąt, dlatego nie można go rozpocząć tak jak w poprzednich dwóch ćwiczeniach. Nie można również zastosować prawa sinusów, ponieważ nie można rozwiązać równania.

Dlatego przystępujemy do stosowania prawa cosinusów. To wtedy

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

tak, że c ≈ 16,51 cm. Teraz, znając 3 strony, stosuje się prawo sinusów i otrzymujemy to

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Zatem rozwiązanie dla B daje w wyniku sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, co oznacza, że ​​B ≈ 63,38º.

Teraz możemy otrzymać, że A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Ćwiczenie czwarte

Boki ukośnego trójkąta to a = 5cm, b = 3cm, ic = 7cm. Znajdź kąty trójkąta.

Rozwiązanie

Ponownie, prawa sinusów nie można zastosować bezpośrednio, ponieważ żadne równanie nie posłuży do uzyskania wartości kątów.

Korzystając z prawa cosinusa mamy to, że c² = a² + b² - 2ab cos (C), z którego podczas rozwiązywania otrzymujemy cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2, a zatem C = 120º.

Teraz, jeśli możemy zastosować prawo sinusów i w ten sposób otrzymać 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), skąd możemy znaleźć B i otrzymać ten grzech (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, tak że B = 21,79º.

Ostatecznie, ostatni kąt oblicza się, przyjmując, że A = 180–120–21,79 ° = 38,21 °.

Bibliografia

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (przedruk red.). Postęp.
2. Leake, D. (2006). Trójkąty (ilustrowane red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologia CR.
5. Sullivan, M. (1997). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
6. Sullivan, M. (1997). Trygonometria i geometria analityczna. Edukacja Pearson.