TRAJEKTORIA W FIZYCE: CHARAKTERYSTYKA, RODZAJE, PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2025

Trajektoria fizyki jest krzywą, która opisuje jak mobilny przechodzi przez kolejnych punktach podczas jego ruchu. Ponieważ może to mieć wiele wariantów, podobnie będzie z trajektoriami, którymi może podążać telefon komórkowy.

Aby dostać się z jednego miejsca do drugiego, można iść różnymi ścieżkami i różnymi drogami: pieszo po chodnikach na ulicach i alejach lub przyjeżdżając samochodem lub motocyklem autostradą. Podczas spaceru po lesie wędrowiec może podążać skomplikowaną ścieżką, która obejmuje zakręty, wchodzenie lub schodzenie w poziomie, a nawet kilkakrotne przechodzenie przez ten sam punkt.

Rysunek 1. Łącząc punkty końcowe każdego wektora pozycji, uzyskuje się ścieżkę, po której porusza się cząstka. Źródło: Algarabia

Jeśli punkty, przez które porusza się telefon, przebiegają po linii prostej, to trajektoria będzie prostoliniowa. To jest najprostsza ścieżka, ponieważ jest jednowymiarowa. Określenie pozycji wymaga podania jednej współrzędnej.

Ale telefon komórkowy może podążać krzywoliniową ścieżką, będąc w stanie być zamknięty lub otwarty. W takich przypadkach śledzenie pozycji wymaga dwóch lub trzech współrzędnych. Są to odpowiednio ruchy w płaszczyźnie i w przestrzeni. Ma to związek z linkami: ograniczaniem materialnych warunków ruchu. Oto kilka przykładów:

- Orbity opisujące planety wokół Słońca to zamknięte ścieżki w kształcie elipsy. Chociaż w niektórych przypadkach można je przybliżyć do koła, jak w przypadku Ziemi.

- Piłka, którą bramkarz kopie podczas wybicia od bramki, ma trajektorię paraboliczną.

- Ptak w locie opisuje krzywoliniowe trajektorie w przestrzeni, ponieważ oprócz poruszania się w samolocie może dowolnie poruszać się w górę lub w dół.

Trajektorię w fizyce można wyrazić matematycznie, gdy pozycja telefonu komórkowego jest znana w dowolnym momencie. Niech r będzie wektorem położenia, który z kolei ma współrzędne x, y i z w najbardziej ogólnym przypadku ruchu trójwymiarowego. Znając funkcję r (t), trajektoria zostanie całkowicie określona.

Rodzaje

Ogólnie rzecz biorąc, trajektoria może być dość skomplikowaną krzywą, zwłaszcza jeśli chcesz ją wyrazić matematycznie. Z tego powodu zaczyna się od najprostszych modeli, w których telefony komórkowe poruszają się po linii prostej lub po płaszczyźnie, która może być podłogą lub inną odpowiednią:

Ruchy w jednym, dwóch i trzech wymiarach

Najczęściej badane trajektorie to:

- Prostoliniowy podczas jazdy po prostej poziomej, pionowej lub pochyłej. Piłka rzucona pionowo w górę podąża tą ścieżką lub obiekt ześlizgujący się po pochyłości. Są to ruchy jednowymiarowe, wystarczy jedna współrzędna, aby całkowicie określić ich położenie.

- Parabolic , w którym telefon opisuje łuk paraboli. Jest to częste, ponieważ każdy obiekt rzucony ukośnie pod wpływem grawitacji (pocisk) podąża za tą trajektorią. Aby określić położenie telefonu komórkowego, musisz podać dwie współrzędne: x i y.

- Okrągły , występuje, gdy poruszająca się cząstka podąża po okręgu. Występuje również w przyrodzie i codziennej praktyce. Wiele przedmiotów codziennego użytku, takich jak opony, części maszyn i orbitujące satelity, porusza się po okrągłej ścieżce, żeby wymienić tylko kilka.

- Eliptyczny , obiekt porusza się po elipsie. Jak powiedziano na początku, jest to ścieżka, którą podążają planety krążące wokół Słońca.

- Obiekty astronomiczne hiperboliczne pod działaniem siły centralnej (grawitacji) mogą poruszać się po trajektoriach eliptycznych (zamkniętych) lub hiperbolicznych (otwartych), przy czym są one rzadsze niż poprzednie.

- Helical lub spiralny ruch, podobnie jak z rosnącym ptak w prądzie termicznym.

- Kołysz się lub wahadło , telefon opisuje łuk w ruchach do przodu i do tyłu.

Przykłady

Trajektorie opisane w poprzedniej sekcji są bardzo przydatne, aby szybko zorientować się, jak porusza się obiekt. W każdym razie konieczne jest wyjaśnienie, że trajektoria telefonu komórkowego zależy od lokalizacji obserwatora. Oznacza to, że to samo wydarzenie można postrzegać na różne sposoby, w zależności od tego, gdzie jest każda osoba.

Na przykład dziewczyna pedałuje ze stałą prędkością i rzuca piłką w górę. Zauważa, że ​​piłka wyznacza prostoliniową ścieżkę.

Jednak dla obserwatora stojącego na drodze i widzącego, jak przechodzi, piłka będzie miała ruch paraboliczny. Dla niego początkowo piłka była rzucana z nachyloną prędkością, będącą wynikiem przyspieszenia ręki dziewczyny w górę oraz prędkości roweru.

Rysunek 2. Ta animacja przedstawia pionowy rzut piłki wykonanej przez dziewczynę jadącą na rowerze tak, jak ją widzi (trajektoria prostoliniowa) i widziana przez obserwatora (trajektoria paraboliczna). (Opracował F. Zapata).

Ścieżka telefonu komórkowego w sposób jawny, niejawny i parametryczny

- Jawne , bezpośrednio określające krzywą lub miejsce określone równaniem y (x)

- Implicit , w którym krzywa jest wyrażona jako f (x, y, z) = 0

- Parametryczny , w ten sposób współrzędne x, yiz są podawane jako funkcja parametru, który na ogół jest wybrany jako czas t. W tym przypadku trajektoria składa się z funkcji: x (t), y (t) iz (t).

Następnie szczegółowo omówiono dwie trajektorie, które były szeroko badane w kinematyce: trajektorię paraboliczną i trajektorię kołową.

Przechylony start w pustkę

Obiekt (pocisk) zostaje wyrzucony pod kątem a z poziomą iz prędkością początkową v _o, jak pokazano na rysunku. Opór powietrza nie jest brany pod uwagę. Ruch można potraktować jako dwa niezależne i jednoczesne ruchy: jeden poziomy ze stałą prędkością, a drugi pionowy pod działaniem grawitacji.

Te równania są parametrycznymi równaniami wystrzelenia pocisku. Jak wyjaśniono powyżej, mają one wspólny parametr t, którym jest czas.

W prawym trójkącie na rysunku widać:

Rysunek 3. Trajektoria paraboliczna, po której następuje pocisk, na której pokazane są składowe wektora prędkości. H to maksymalna wysokość, a R to maksymalny zasięg poziomy. Źródło: Ayush12gupta

Podstawienie tych równań zawierających kąt startu do równań parametrycznych powoduje:

Równanie ścieżki parabolicznej

Wyraźne równanie ścieżki można znaleźć, rozwiązując t z równania dla x (t) i podstawiając w równaniu y (t). Aby ułatwić pracę algebraiczną, można założyć, że początek (0,0) znajduje się w punkcie startowym, a zatem x _o = y _o = 0.

To jest równanie ścieżki w jawnej formie.

Okrągła ścieżka

Okrągła ścieżka jest określona wzorem:

Rysunek 4. Cząstka porusza się w płaszczyźnie po torze kołowym. Źródło: zmodyfikowane przez F. Zapata z Wikimedia Commons.

Tutaj x _lub yy _o reprezentują środek obwodu opisanego przez telefon komórkowy, a R jest jego promieniem. P (x, y) to punkt na ścieżce. Z zacienionego prawego trójkąta (rysunek 3) widać, że:

W tym przypadku parametrem jest kąt skosu θ, zwany przemieszczeniem kątowym. W szczególnym przypadku, gdy prędkość kątowa ω (kąt przemiatania w jednostce czasu) jest stała, można stwierdzić, że:

Gdzie θ _o jest początkowym położeniem kątowym cząstki, które po przyjęciu jako 0 zmniejsza się do:

W takim przypadku czas powraca do równań parametrycznych jako:

Wektory jednostkowe i i j są bardzo wygodne do zapisywania funkcji położenia obiektu r (t). Wskazują kierunki odpowiednio na osi X i osi Y. W swoich terminach pozycja cząstki opisującej jednolity ruch kołowy jest następująca:

r (t) = R. cos ω t i + R. sin ω t j

Rozwiązane ćwiczenia

Rozwiązane ćwiczenie 1

Armata może wystrzelić pocisk z prędkością 200 m / si kątem 40º od poziomu. Jeśli rzut jest na płaskim podłożu, a opór powietrza jest zaniedbany, znajdź:

a) Równanie ścieżki y (x) ..

b) Równania parametryczne x (t) i y (t).

c) Zasięg poziomy i czas przebywania pocisku w powietrzu.

d) Wysokość, na której pocisk znajduje się, gdy x = 12 000 m

Rozwiązanie)

a) Aby znaleźć trajektorię, należy podstawić wartości podane w równaniu y (x) z poprzedniej sekcji:

Rozwiązanie b)

b) Punkt startowy jest wybrany w początku układu współrzędnych (0,0):

Rozwiązanie c)

c) Aby obliczyć czas, w którym pocisk pozostaje w powietrzu, przyjmijmy y (t) = 0, gdzie wystrzelenie odbywa się na płaskim podłożu:

Maksymalny zasięg poziomy można znaleźć, podstawiając tę ​​wartość do x (t):

Innym sposobem bezpośredniego znalezienia x _max jest ustawienie y = 0 w równaniu ścieżki:

Występuje niewielka różnica ze względu na zaokrąglenie miejsc po przecinku.

Rozwiązanie d)

d) Aby znaleźć wysokość, gdy x = 12000 m, wartość ta jest podstawiana bezpośrednio w równaniu ścieżki:

Ćwiczenie rozwiązane 2

Funkcja pozycji obiektu jest określona wzorem:

r (t) = 3t i + (4-5t ² ) j m

Odnaleźć:

a) Równanie ścieżki. Jaka to krzywa?

b) Pozycja początkowa i pozycja, gdy t = 2 s.

c) Przemieszczenie wykonane po t = 2 s.

Rozwiązanie

a) Funkcja pozycji została podana w postaci wektorów jednostkowych i i j , które odpowiednio wyznaczają kierunek w osiach x i y, a zatem:

Równanie ścieżki y (x) można znaleźć rozwiązując tz x (t) i podstawiając w y (t):

b) Pozycja początkowa to: r (2) = 4 j m; pozycja w chwili t = 2 s wynosi r (2) = 6 i -16 j m

c) Przemieszczenie D r jest odjęciem dwóch wektorów położenia:

Ćwiczenie rozwiązane 3

Ziemia ma promień R = 6300 km i wiadomo, że okres jej obrotu wokół własnej osi wynosi jeden dzień. Odnaleźć:

a) Równanie trajektorii punktu na powierzchni ziemi i funkcja jego położenia.

b) prędkość i przyspieszenie w tym punkcie.

Rozwiązanie)

a) Funkcja pozycji dla dowolnego punktu na orbicie kołowej to:

r (t) = R. cos ω t i + R. sin ω t j

Mamy promień Ziemi R, ale nie prędkość kątową ω, jednak można ją obliczyć na podstawie okresu, wiedząc, że dla ruchu kołowego można powiedzieć, że:

Okres ruchu wynosi: 1 dzień = 24 godziny = 1440 minut = 86400 sekund, dlatego:

Podstawiając w funkcji pozycji:

r (t) = R. cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0,000023148t i + sin 0,000023148t j ) km

Ścieżka w postaci parametrycznej to:

Rozwiązanie b)

b) W przypadku ruchu kołowego wielkość prędkości liniowej v punktu jest związana z prędkością kątową w przez:

Nawet będąc ruchem o stałej prędkości 145,8 m / s, istnieje przyspieszenie, które wskazuje na środek orbity kołowej, odpowiadające za utrzymanie punktu w ruchu obrotowym. Jest to przyspieszenie dośrodkowe w _c wyrażone wzorem:

Bibliografia

1. Giancoli, D. Physics. (2006). Zasady z aplikacjami. 6 ^th Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fizyka: spojrzenie na świat. 6 ^ta Edycja w skrócie. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Fizyczny. Tom 1. Trzecie wydanie w języku hiszpańskim. Meksyk. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Podstawy fizyki. Osoba. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Fizyka uniwersytecka z fizyką współczesną. 14 ^tys . Ed. Tom1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizyka dla nauki i inżynierii. Objętość ^{1,7 ma} . Wydanie. Meksyk. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Podstawy fizyki. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fizyka 10. Edukacja Pearsona. 133-149.