FUNKCJE PIERWOTNE: WZORY I RÓWNANIA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Funkcja pierwotna F (x) funkcji f (x) jest również nazywana pierwotną lub po prostu całką nieoznaczoną tej funkcji, jeśli w danym przedziale I jest spełnione, że F´ (x) = f (x)

Na przykład weźmy następującą funkcję:

f (x) = 4x ³

Funkcja pierwotna tej funkcji to F (x) = x ⁴ , ponieważ przy różniczkowaniu F (x) za pomocą reguły wyprowadzania dla potęg:

Otrzymujemy dokładnie f (x) = 4x ³ .

Jest to jednak tylko jedna z wielu funkcji pierwotnych funkcji f (x), ponieważ ta inna funkcja: G (x) = x ⁴ + 2 jest również, ponieważ różniczkując G (x) względem x, otrzymujemy to samo wstecz f (x).

Sprawdźmy to:

Pamiętaj, że pochodna stałej wynosi 0. Dlatego do wyrażenia x ⁴ możemy dodać dowolną stałą, a jej pochodna pozostanie 4x ³ .

Stwierdzono, że każda funkcja ogólnej postaci F (x) = x ⁴ + C, gdzie C jest stałą rzeczywistą, służy jako funkcja pierwotna funkcji f (x).

Powyższy przykład ilustrujący można wyrazić w następujący sposób:

dF (x) = 4x ³ dx

Całkę pierwotną lub nieoznaczoną wyraża się za pomocą symbolu ∫, a zatem:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Gdzie funkcja f (x) = 4x ³ nazywana jest całką, a C jest stałą całkowania.

Przykłady funkcji pierwotnych

Rysunek 1. Funkcja pierwotna to nic innego jak całka nieoznaczona. Źródło: Pixabay.

Znalezienie funkcji pierwotnej funkcji jest proste w niektórych przypadkach, gdy pochodne są dobrze znane. Na przykład, niech funkcja f (x) = sin x, funkcja pierwotna, ponieważ jest inną funkcją F (x), taką, że różnicując ją otrzymujemy f (x).

Tą funkcją może być:

F (x) = - cos x

Sprawdźmy, czy to prawda:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Dlatego możemy napisać:

∫sen x dx = -cos x + C

Oprócz znajomości pochodnych istnieje kilka podstawowych i prostych reguł całkowania, które pozwalają znaleźć całkę pierwotną lub nieoznaczoną.

Niech k będzie więc prawdziwą stałą:

1. - ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2. - ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Jeśli funkcję h (x) można wyrazić jako dodawanie lub odejmowanie dwóch funkcji, to jej całka nieoznaczona wynosi:

3. - ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

To jest właściwość liniowości.

Regułę potęg dla całek można ustalić w ten sposób:

Dla przypadku n = -1 stosowana jest następująca reguła:

5. - ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Łatwo jest wykazać, że pochodna ln x równa się dokładnie x ^-1 .

Równania różniczkowe

Równanie różniczkowe to takie, w którym nieznane znajduje się jako pochodna.

Teraz, z poprzedniej analizy, łatwo jest zrozumieć, że operacją odwrotną do pochodnej jest całka pierwotna lub nieoznaczona.

Niech f (x) = y´ (x), czyli pochodna pewnej funkcji. Aby wskazać tę pochodną, ​​możemy użyć następującego zapisu:

Wynika z tego natychmiast, że:

Niewiadomą równania różniczkowego jest funkcja y (x), której pochodną jest f (x). Aby go rozwiązać, poprzednie wyrażenie jest całkowane po obu stronach, co jest równoznaczne z zastosowaniem funkcji pierwotnej:

Całkę po lewej rozwiązuje reguła całkowania 1, przy k = 1, rozwiązując w ten sposób żądaną niewiadomą:

A ponieważ C jest rzeczywistą stałą, aby wiedzieć, która z nich jest odpowiednia w każdym przypadku, stwierdzenie musi zawierać wystarczającą ilość dodatkowych informacji, aby obliczyć wartość C. Nazywa się to warunkiem początkowym.

Przykłady zastosowania tego wszystkiego zobaczymy w następnej sekcji.

Ćwiczenia pierwotne

- Ćwiczenie 1

Zastosuj reguły całkowania, aby otrzymać następujące funkcje pierwotne lub całki nieoznaczone danych funkcji, maksymalnie upraszczając wyniki. Wynik wygodnie jest zweryfikować przez wyprowadzenie.

Rysunek 2. Ćwiczenia funkcji pierwotnych lub całek oznaczonych. Źródło: Pixabay.

Rozwiązanie

Najpierw stosujemy zasadę 3, ponieważ całka jest sumą dwóch wyrazów:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Dla pierwszej całki obowiązuje reguła potęgi:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

W drugiej całkującej stosuje się regułę 1, gdzie k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

A teraz wyniki są dodawane. Dwie stałe są zgrupowane w jedną, ogólnie nazywaną C:

∫ (x + 7) = dx (x ² /2) + + C 7x

Rozwiązanie b

Dzięki liniowości całka ta jest rozkładana na trzy prostsze całki, do których zostanie zastosowana reguła potęgowa:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Zauważ, że stała całkowania pojawia się dla każdej całki, ale spotykają się one w jednym wywołaniu C.

Rozwiązanie c

W takim przypadku wygodnie jest zastosować rozdzielczą właściwość mnożenia, aby rozwinąć całkę. Następnie stosuje się regułę potęgi, aby znaleźć każdą całkę osobno, tak jak w poprzednim ćwiczeniu.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Uważny czytelnik zauważy, że dwa główne terminy są podobne, dlatego przed integracją są one zredukowane:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Rozwiązanie e

Jednym ze sposobów rozwiązania całki byłoby rozwinięcie mocy, tak jak to zrobiono w przykładzie d. Ponieważ jednak wykładnik jest wyższy, wskazane byłoby zmienić zmienną, aby nie musieć robić tak długiego rozwoju.

Zmiana zmiennej wygląda następująco:

u = x + 7

Wyprowadzając to wyrażenie na obie strony:

du = dx

Całka jest przekształcana na prostszą za pomocą nowej zmiennej, którą rozwiązuje reguła potęgowa:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Na koniec zmiana jest zwracana, aby powrócić do oryginalnej zmiennej:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Ćwiczenie 2

Cząstka jest początkowo w spoczynku i porusza się wzdłuż osi X. Jego przyspieszenie dla t> 0 jest określone funkcją a (t) = cos t. Wiadomo, że w chwili t = 0 pozycja wynosi x = 3, wszystko w jednostkach systemu międzynarodowego. Jest proszony o znalezienie prędkości v (t) i położenia x (t) cząstki.

Rozwiązanie

Ponieważ przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości względem czasu, mamy następujące równanie różniczkowe:

a (t) = v´ (t) = cos t

Wynika, że:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Z drugiej strony wiemy, że prędkość jest z kolei pochodną położenia, więc integrujemy ponownie:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Stałe całkowania są określane na podstawie informacji podanych w oświadczeniu. Po pierwsze, mówi, że cząstka była początkowo w spoczynku, więc v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Wtedy mamy x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Funkcje prędkości i pozycji są zdecydowanie takie:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Bibliografia

1. Engler, A. 2019. Rachunek całkowy. National University of the Litoral.
2. Larson, R. 2010. Obliczanie zmiennej. 9. Wydanie. McGraw Hill.
3. Darmowe teksty matematyczne. Funkcje pierwotne. Odzyskany z: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Funkcja pierwotna. Odzyskane z: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Nieokreślona integracja. Odzyskane z: es.wikipedia.org.