AMORTYZATORY ELASTYCZNE: W JEDNYM WYMIARZE, PRZYPADKI SPECJALNE, ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Do zderzenie sprężyste lub zderzenie sprężyste są krótkie, ale intensywne interakcje między obiektami, w których zarówno pędu i energii kinetycznej są konserwowane. Wypadki to bardzo częste zdarzenia w przyrodzie: od cząstek subatomowych po galaktyki, kule bilardowe i samochodziki w parkach rozrywki - wszystkie one są obiektami zdolnymi do zderzeń.

Podczas zderzenia lub zderzenia siły interakcji między obiektami są bardzo silne, znacznie większe niż te, które mogą działać zewnętrznie. W ten sposób można stwierdzić, że podczas zderzenia cząstki tworzą izolowany układ.

Zderzenia z piłką bilardową można uznać za elastyczne. Źródło: Pixabay.

W tym przypadku prawdą jest, że:

Pęd P _o przed zderzeniem jest taki sam jak po zderzeniu. Dotyczy to każdego rodzaju kolizji, zarówno elastycznej, jak i nieelastycznej.

Rozważmy teraz następujące kwestie: podczas zderzenia obiekty ulegają pewnej deformacji. Kiedy wstrząs jest elastyczny, przedmioty szybko wracają do swojego pierwotnego kształtu.

Zachowanie energii kinetycznej

Zwykle podczas zderzenia część energii przedmiotów jest zużywana na ciepło, deformację, dźwięk, a czasem nawet na wytwarzanie światła. Zatem energia kinetyczna układu po zderzeniu jest mniejsza niż pierwotna energia kinetyczna.

Kiedy energia kinetyczna K jest zachowana, wtedy:

Co oznacza, że ​​siły działające podczas zderzenia są zachowawcze. Podczas zderzenia energia kinetyczna jest na krótko przekształcana w energię potencjalną, a następnie z powrotem w energię kinetyczną. Odpowiednie energie kinetyczne są różne, ale suma pozostaje stała.

Zderzenia idealnie elastyczne są rzadkie, chociaż kule bilardowe są dość dobrym przybliżeniem, podobnie jak zderzenia, które występują między cząsteczkami gazu doskonałego.

Elastyczne amortyzatory w jednym wymiarze

Przeanalizujmy zderzenie dwóch cząstek tego w jednym wymiarze; to znaczy, oddziałujące cząstki poruszają się, powiedzmy, wzdłuż osi x. Załóżmy, że mają masy m ₁ i m ₂ . Prędkości początkowe każdego z nich wynoszą odpowiednio u _{1 i} u ₂ . Prędkości końcowe to v ₁ i v ₂ .

Z notacji wektorowej możemy zrezygnować, ponieważ ruch odbywa się wzdłuż osi x, jednak znaki (-) i (+) wskazują kierunek ruchu. Po lewej stronie jest umownie ujemny, a po prawej pozytywny.

-Formuła dla zderzeń elastycznych

Za ilość ruchu

Za energię kinetyczną

Tak długo, jak znane są masy i prędkości początkowe, równania można przegrupować, aby znaleźć prędkości końcowe.

Problem polega na tym, że w zasadzie konieczne jest trochę żmudnej algebry, ponieważ równania na energię kinetyczną zawierają kwadraty prędkości, co sprawia, że ​​obliczenia są nieco uciążliwe. Ideałem byłoby znalezienie wyrażeń, które ich nie zawierają.

Pierwszym jest rezygnacja ze współczynnika ½ i zmiana układu obu równań w taki sposób, aby pojawił się znak ujemny i można było rozłożyć masy na czynniki:

Wyrażając się w ten sposób:

Uproszczenie w celu wyeliminowania kwadratów prędkości

Teraz musimy skorzystać z dostrzegalnej sumy iloczynu przez jej różnicę w drugim równaniu, za pomocą którego otrzymujemy wyrażenie, które nie zawiera kwadratów, jak pierwotnie chcieliśmy:

Następnym krokiem jest zastąpienie pierwszego równania w drugim:

A ponieważ termin m ₂ (v ₂ - u ₂ ) powtarza się po obu stronach równości, termin ten jest anulowany i pozostaje taki:

Albo jeszcze lepiej:

Prędkości końcowe v

Teraz masz dwa równania liniowe, z którymi łatwiej się pracuje. Umieścimy je z powrotem jeden pod drugim:

Mnożenie drugiego równania przez m ₁ i dodawanie członu do wyrazu to:

I już można wyczyścić v ₂ . Na przykład:

Specjalne przypadki zderzeń sprężystych

Teraz, gdy dostępne są równania dla końcowych prędkości obu cząstek, czas przeanalizować pewne szczególne sytuacje.

Dwie identyczne masy

W takim przypadku m ₁ = m ₂ = my:

Po zderzeniu cząsteczki po prostu zmieniają prędkość.

Dwie identyczne masy, z których jedna początkowo znajdowała się w spoczynku

Ponownie m ₁ = m ₂ = m i zakładając u ₁ = 0:

Po zderzeniu cząstka będąca w stanie spoczynku osiąga taką samą prędkość jak cząstka, która się poruszała, a ta z kolei się zatrzymuje.

Dwie różne masy, jedna z nich początkowo w spoczynku

W tym przypadku załóżmy, że u ₁ = 0, ale masy są różne:

A jeśli m ₁ jest znacznie większe niż m ₂ ?

Zdarza się, że m _{1 jest} nadal w spoczynku, a m ₂ powraca z tą samą prędkością, z jaką uderzył.

Współczynnik restytucji lub reguła Huygensa-Newtona

Wcześniej dla dwóch obiektów w zderzeniu sprężystym wyprowadzono następującą zależność między prędkościami: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Te różnice to względne prędkości przed i po zderzeniu. Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku kolizji prawdą jest, że:

Koncepcję prędkości względnej najlepiej docenić, jeśli czytelnik wyobraża sobie, że znajduje się na jednej z cząstek iz tej pozycji obserwuje prędkość, z jaką porusza się druga cząstka. Powyższe równanie zostało przepisane w następujący sposób:

Rozwiązane ćwiczenia

-Rozwiązane ćwiczenie 1

Kula bilardowa porusza się w lewo z prędkością 30 cm / s, zderzając się czołowo z inną identyczną piłką, która porusza się w prawo z prędkością 20 cm / s. Obie kulki mają taką samą masę, a zderzenie jest idealnie elastyczne. Znajdź prędkość każdej piłki po uderzeniu.

Rozwiązanie

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Jest to szczególny przypadek, w którym dwie identyczne masy zderzają się elastycznie w jednym wymiarze, w wyniku czego następuje zamiana prędkości.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Rozwiązane ćwiczenie 2

Współczynnik restytucji piłki odbijającej się od ziemi wynosi 0,82. Jeśli spadnie z pozycji spoczynkowej, jaki ułamek swojej pierwotnej wysokości osiągnie piłka po odbiciu się raz? A po 3 zbiórek?

Piłka odbija się od twardej powierzchni iz każdym odbiciem traci wysokość. Źródło: wykonane samodzielnie.

Rozwiązanie

Gleba może być obiektem 1 w równaniu na współczynnik restytucji. I zawsze pozostaje w spoczynku, dzięki czemu:

Z taką prędkością odbija się:

Znak + wskazuje, że jest to prędkość rosnąca. I zgodnie z nim kula osiąga maksymalną wysokość:

Teraz wraca na ziemię z prędkością równą wielkości, ale przeciwny znak:

Osiąga to maksymalną wysokość:

Wróć na ziemię z:

Kolejne odbicia

Za każdym razem, gdy piłka odbija się i unosi, należy ponownie pomnożyć prędkość przez 0,82:

W tym momencie h ₃ to około 30% h _o . Jaka byłaby wysokość do szóstego odbicia bez konieczności wykonywania tak szczegółowych obliczeń jak poprzednie?

Byłoby h ₆ = 0,82 ¹² H _O = 0.092h _O O tylko 9% h _O .

-Rozwiązane ćwiczenie 3

Blok o masie 300 g porusza się na północ z prędkością 50 cm / si zderza się z blokiem o masie 200 g kierując się na południe z prędkością 100 cm / s. Załóż, że amortyzator jest idealnie elastyczny. Znajdź prędkości po uderzeniu.

Dane

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Rozwiązane ćwiczenie 4

Masa m ₁ = 4 kg jest uwalniana ze wskazanego punktu na torze bez tarcia, aż zderzy się z m ₂ = 10 kg w stanie spoczynku. Jak wysoko wzrasta m ₁ po zderzeniu?

Rozwiązanie

Ponieważ nie ma tarcia, energia mechaniczna jest zachowywana, aby znaleźć prędkość u _1, z którą m ₁ uderza m _2. Początkowo energia kinetyczna wynosi 0, ponieważ m ₁ zaczyna się od spoczynku. Kiedy porusza się po poziomej powierzchni, nie ma wysokości, więc energia potencjalna wynosi 0.

Teraz obliczamy prędkość m ₁ po zderzeniu:

Znak minus oznacza, że ​​został zwrócony. Z tą prędkością wznosi się, a energia mechaniczna jest ponownie oszczędzana, aby znaleźć h ', wysokość, do której udaje mu się wznieść po zderzeniu:

Zwróć uwagę, że nie wraca do punktu wyjścia na wysokości 8 m. Nie ma wystarczającej energii, ponieważ masa m ₁ oddała część swojej energii kinetycznej _.

Bibliografia

1. Giancoli, D. 2006. Fizyka: Zasady z zastosowaniami. 6 ^th . Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. Osoba. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Podstawy fizyki. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. Wydanie 5, Tom 1. Wersja redakcyjna Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fizyka: koncepcje i zastosowania. 7th Edition. MacGraw Hill. 185-195