STAŁA BOLTZMANNA: HISTORIA, RÓWNANIA, RACHUNEK, ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2025

Boltzmanna jest wartością, która odnosi się do średniej energii kinetycznej układu termodynamicznej lub obiektu bezwzględną temperaturze samo. Chociaż często są zdezorientowani, temperatura i energia to nie to samo pojęcie.

Temperatura jest miarą energii, ale nie samą energią. Dzięki stałej Boltzmanna są one ze sobą powiązane w następujący sposób:

Nagrobek Boltzmanna w Wiedniu. Źródło: Daderot z angielskiej Wikipedii

To równanie jest ważne dla jednoatomowej cząsteczki gazu doskonałego o masie m, gdzie E _c to jej energia kinetyczna podana w dżulach, k _B to stała Boltzmanna, a T to temperatura bezwzględna w kelwinach.

W ten sposób, gdy temperatura wzrasta, średnia energia kinetyczna na cząsteczkę substancji również wzrasta, zgodnie z oczekiwaniami. I odwrotnie dzieje się, gdy temperatura spada, będąc w stanie osiągnąć punkt, w którym po zatrzymaniu całego ruchu zostaje osiągnięta najniższa możliwa temperatura lub zero absolutne.

Mówiąc o średniej energii kinetycznej, należy pamiętać, że energia kinetyczna jest związana z ruchem. Cząsteczki mogą poruszać się na wiele sposobów, na przykład poruszając, obracając lub wibrując. Oczywiście nie wszyscy zrobią to w ten sam sposób, a ponieważ są one niepoliczalne, do scharakteryzowania systemu przyjmuje się średnią.

Niektóre stany energetyczne są bardziej prawdopodobne niż inne. Ta koncepcja ma radykalne znaczenie w termodynamice. Energia rozważana w poprzednim równaniu to translacyjna energia kinetyczna. Prawdopodobieństwo stanów i jego związek ze stałą Boltzmanna zostaną omówione nieco później.

W 2018 r Kelvina się na nowo, a wraz z nim stałą Boltzmanna, który w międzynarodowym systemie jest około 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 . Znacznie większą precyzję można osiągnąć dla stałej Boltzmanna, która została oznaczona w wielu laboratoriach na całym świecie różnymi metodami.

Historia

Słynna stała zawdzięcza swoją nazwę urodzonemu w Wiedniu fizykowi Ludwigowi Boltzmannowi (1844–1906), który jako naukowiec poświęcił się badaniu statystycznego zachowania układów z wieloma cząstkami z punktu widzenia mechaniki Newtona.

Chociaż dzisiaj istnienie atomu jest powszechnie akceptowane, w XIX wieku wiara w to, czy atom naprawdę istniał, czy też był sztuczką, za pomocą której wyjaśniano wiele zjawisk fizycznych, była przedmiotem pełnej dyskusji.

Boltzmann był zagorzałym obrońcą istnienia atomu i w swoim czasie spotkał się z ostrą krytyką jego pracy ze strony wielu kolegów, którzy uważali, że zawiera on nierozwiązywalne paradoksy.

Stwierdził, że obserwowalne zjawiska na poziomach makroskopowych można wyjaśnić właściwościami statystycznymi cząstek składowych, takich jak atomy i cząsteczki.

Być może ta krytyka wynikała z głębokiej depresji, która doprowadziła go do odebrania sobie życia na początku września 1906 r., Kiedy miał jeszcze wiele do zrobienia, ponieważ był uważany za jednego z wielkich fizyków teoretycznych swoich czasów i niewiele zostało do zrobienia. że inni naukowcy przyczyniają się do potwierdzenia prawdziwości ich teorii.

Niedługo po jego śmierci pojawiły się nowe odkrycia dotyczące natury atomu i jego cząstek składowych, aby udowodnić rację Boltzmanna.

Stała Boltzmanna i prace Plancka

Teraz wprowadzono stałą Boltzmanna k _B , znaną dziś, jakiś czas po pracy austriackiego fizyka. To Max Planck w swoim prawie emisji czarnego ciała, pracy, którą przedstawił w 1901 roku, nadał mu wówczas wartość 1,34 x ^10-23 J / K.

Około 1933 roku na nagrobku Boltzmanna w Wiedniu dodano tablicę z definicją entropii obejmującą słynną stałą jako hołd pośmiertny, która zawiera słynną stałą: S = k _B log W, równanie, które zostanie omówione później.

Dziś stała Boltzmanna jest nieodzowna w stosowaniu praw termodynamiki, mechaniki statystycznej i teorii informacji, których pionierem był ten smutny fizyk.

Wartość i równania

Gazy można opisać w kategoriach makroskopowych, a także mikroskopowych. Pierwszy opis obejmuje takie pojęcia, jak gęstość, temperatura i ciśnienie.

Należy jednak pamiętać, że gaz składa się z wielu cząstek, które mają globalną tendencję do określonego zachowania. To właśnie ten trend jest mierzony makroskopowo. Jednym ze sposobów określenia stałej Boltzmanna jest dobrze znane równanie gazu doskonałego:

Tutaj p to ciśnienie gazu, V to jego objętość, n to liczba obecnych moli, R to stała gazowa, a T to temperatura. W molu gazu doskonałego spełniona jest następująca zależność między iloczynem pV, a translacyjną energią kinetyczną K całego zbioru wynosi:

Dlatego energia kinetyczna wynosi:

Dzieląc przez całkowitą liczbę obecnych cząsteczek, które będą nazwane N, otrzymujemy średnią energię kinetyczną pojedynczej cząstki:

W jednym molu znajduje się liczba cząstek Avogadro N _A , a zatem całkowita liczba cząstek wynosi N = nN A, pozostawiając:

Dokładnie stosunek R / N _A jest stałą Boltzmanna, co pokazuje, że średnia translacyjna energia kinetyczna cząstki zależy tylko od temperatury bezwzględnej T, a nie od innych wielkości, takich jak ciśnienie, objętość czy nawet rodzaj cząsteczki:

Stała i entropia Boltzmanna

Gaz ma określoną temperaturę, ale ta temperatura może odpowiadać różnym stanom energii wewnętrznej. Jak wizualizować tę różnicę?

Rozważ jednoczesny rzut 4 monet i sposoby, w jakie mogą spaść:

Sposoby, w których 4 mogą zrzucić 4 monety. Źródło: wykonane samodzielnie

Zestaw monet może przyjąć łącznie 5 stanów, które są uważane za makroskopowe, opisanych na rysunku. Który z tych stanów, według czytelnika, jest najbardziej prawdopodobny?

Odpowiedzią powinien być stan 2 orłów i 2 ogonów, ponieważ masz w sumie 6 możliwości z 16 pokazanych na rysunku. Y 2 ⁴ = 16. Odpowiadają one stanom mikroskopowym.

Co się stanie, jeśli zamiast 4 rzuconych zostanie 20 monet? W sumie byłoby 2 ²⁰ możliwości lub „stanów mikroskopowych”. Jest to znacznie większa liczba i trudniejsza w obsłudze. Aby ułatwić obsługę dużych liczb, bardzo odpowiednie są logarytmy.

Teraz wydaje się oczywiste, że najbardziej prawdopodobny jest stan z największym zaburzeniem. Bardziej uporządkowane stany, takie jak 4 głowy lub 4 pieczęcie, są nieco mniej prawdopodobne.

Entropię stanu makroskopowego S definiuje się jako:

Gdzie w jest liczbą możliwych stanów mikroskopowych układu, a k _B jest stałą Boltzmanna. Ponieważ ln w jest bezwymiarowe, entropia ma takie same jednostki jak k _B : Joule / K.

To słynne równanie na nagrobku Boltzmanna w Wiedniu. Jednak ważniejsza od entropii jest jej zmiana:

Jak obliczyć k

Wartość stałej Boltzmanna uzyskuje się eksperymentalnie w niezwykle precyzyjny sposób za pomocą pomiarów opartych na termometrii akustycznej, które przeprowadza się z wykorzystaniem właściwości określającej zależność prędkości dźwięku w gazie od jego temperatury.

Rzeczywiście, prędkość dźwięku w gazie jest określona przez:

B _adiabatyczna = γp

A ρ to gęstość gazu. Dla powyższego równania p to ciśnienie danego gazu, a γ to współczynnik adiabatyczny, którego wartość dla danego gazu podano w tabelach.

Instytuty metrologiczne eksperymentują również z innymi sposobami pomiaru stałej, takimi jak Johnson Noise Thermometry, który wykorzystuje przypadkowe wahania temperatury materiałów, zwłaszcza przewodników.

Rozwiązane ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Odnaleźć:

a) Średnia translacyjna energia kinetyczna E _c, jaką ma idealna cząsteczka gazu w temperaturze 25 ° C

b) Translacyjna energia kinetyczna K cząsteczek w 1 molu tego gazu

c) Średnia prędkość cząsteczki tlenu przy 25 ºC

Fakt

m _tlen = 16 x ^10-3 kg / mol

Rozwiązanie

a) e _c = (3/2) Kt = 1,5 x 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 x 298 K = 6,2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8,314 J / mol K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ² , biorąc pod uwagę, że cząsteczka tlenu jest dwuatomowa, a masę molową należy pomnożyć przez 2, otrzymamy:

Znaleźć zmianę entropii 1 mola gazu zajmuje objętość 0,5 m ³ rozszerza zajmować 1 m ³ .

Rozwiązanie

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁ )

Bibliografia

1. Atkins, P. 1999. Physical Chemistry. Wydania Omega. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill. 664-672.
3. Giancoli, D. 2006. Fizyka: Zasady z zastosowaniami. 6th .. Ed Prentice Hall. 443-444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Fizyka uniwersytecka z fizyką współczesną. 14. Wydanie, tom 1. 647-673.
5. TAK Przedefiniowanie. Kelvin: stała Boltzmanna. Źródło: nist.gov