STAŁA INTEGRACJI: ZNACZENIE, OBLICZENIA I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Stałą całkowania jest dodaną do obliczania funkcja pierwotna lub całki, służy do reprezentowania rozwiązania składają się pierwotny funkcji. Wyraża nieodłączną niejednoznaczność, w której każda funkcja ma nieskończoną liczbę elementów pierwotnych.

Na przykład, jeśli weźmiemy funkcję: f (x) = 2x + 1 i otrzymamy jej funkcję pierwotną:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Gdzie C jest stałą całkowania i graficznie reprezentuje pionowe przesunięcie między nieskończonymi możliwościami prymitywu. Można powiedzieć, że (x ² + x) jest jednym z prymitywów funkcji f (x).

Źródło: autor

Podobnie możemy zdefiniować (x ² + x + C ) jako prymityw funkcji f (x).

Odwróć właściwość

Można zauważyć, że wyprowadzając wyrażenie (x ² + x) otrzymujemy funkcję f (x) = 2x + 1. Wynika to z odwrotnej własności istniejącej między wyprowadzeniem a całkowaniem funkcji. Właściwość ta pozwala na otrzymanie wzorów całkowania wychodzących z różnicowania. Co pozwala na weryfikację całek poprzez te same pochodne.

Źródło: autor

Jednak (x ² + x) nie jest jedyną funkcją, której pochodna jest równa (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Gdzie 1, 2, 3 i 4 reprezentują poszczególne prymitywy f (x) = 2x + 1. Podczas gdy 5 reprezentuje nieoznaczoną lub pierwotną całkę f (x) = 2x + 1.

Źródło: autor

Prymitywy funkcji uzyskuje się poprzez antyiderywację lub proces integralny. Gdzie F będzie prymitywem od f, jeśli prawdziwe jest następujące zdanie

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = stała całkowania
• F '(x) = f (x)

Można zauważyć, że funkcja ma jedną pochodną, ​​w przeciwieństwie do jej nieskończonych elementów pierwotnych wynikających z całkowania.

Całka nieoznaczona

∫ f (x) dx = F (x) + C

Odpowiada rodzinie krzywych o tym samym wzorze, w których występuje niezgodność wartości obrazów każdego punktu (x, y). Każda funkcja spełniająca ten wzorzec będzie indywidualnym prymitywem, a zbiór wszystkich funkcji jest znany jako całka nieoznaczona.

Wartość stałej całkowania będzie w praktyce różnicować każdą funkcję.

Stałej integracji sugeruje pionowe przesunięcie wszystkich wykresach przedstawiających prymitywów funkcji. Gdzie obserwuje się równoległość między nimi i fakt, że C jest wartością przemieszczenia.

Zgodnie z powszechną praktyką stałą całkowania oznaczamy literą „C” po dodaniu, chociaż w praktyce nie ma znaczenia, czy stała jest dodawana, czy odejmowana. Jego prawdziwą wartość można znaleźć na różne sposoby w różnych warunkach początkowych .

Inne znaczenia stałej integracji

Omówiono już, jak stosuje się stałą całkowania w gałęzi rachunku całkowego ; Reprezentujący rodzinę krzywych, które definiują całkę nieoznaczoną. Ale wielu innym naukom i dziedzinom przypisuje się bardzo ciekawe i praktyczne wartości stałej integracji, które ułatwiły rozwój wielu studiów.

W fizyce stała całkowania może przyjmować wiele wartości w zależności od charakteru danych. Bardzo częstym przykładem jest znajomość funkcji V (t), która reprezentuje prędkość cząstki w funkcji czasu t. Wiadomo, że przy obliczaniu prymitywu V (t) otrzymujemy funkcję R (t), która reprezentuje pozycję cząstki w funkcji czasu.

Stałą całkowania będzie odpowiadać wartości początkowej pozycji, to znaczy, w czasie t = 0.

W ten sam sposób, jeśli znana jest funkcja A (t), która reprezentuje przyspieszenie cząstki w funkcji czasu. Prymityw A (t) da w wyniku funkcję V (t), gdzie stałą całkowania będzie wartością prędkości początkowej V ₀ .

W ekonomii , przez całkowanie prymitywu funkcji kosztu. Stałą całkowania będzie reprezentować kosztów stałych. I tak wiele innych aplikacji, które zasługują na rachunek różniczkowy i całkowy.

Jak obliczana jest stała całkowania?

Aby obliczyć stałą całkowania, zawsze będzie konieczna znajomość warunków początkowych . Które są odpowiedzialne za zdefiniowanie, który z możliwych prymitywów jest odpowiedni.

W wielu zastosowaniach jest traktowana jako zmienna niezależna w czasie (t), gdzie stała C przyjmuje wartości określające warunki początkowe danego przypadku.

Jeśli weźmiemy początkowy przykład: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Prawidłowym warunkiem początkowym może być warunek, że wykres przechodzi przez określoną współrzędną. Na przykład wiemy, że prymityw (x ² + x + C) przechodzi przez punkt (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; to jest ogólne rozwiązanie

F (1) = 2

W tej równości podstawiamy rozwiązanie ogólne

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Skąd łatwo wynika, że C = 0

W ten sposób odpowiednim prymitywem w tym przypadku jest F (x) = x ² + x

Istnieje kilka rodzajów ćwiczeń numerycznych, które działają ze stałymi całkowania . W rzeczywistości rachunek różniczkowy i całkowy nie przestaje być stosowany w obecnych badaniach. Można je znaleźć na różnych poziomach akademickich; od wstępnych obliczeń, poprzez m.in. fizykę, chemię, biologię, ekonomię.

Jest to również cenione w badaniach równań różniczkowych , gdzie stała całkowania może przyjmować różne wartości i rozwiązania, ze względu na liczne wyprowadzenia i całki, które są przeprowadzane w tej materii.

Przykłady

Przykład 1

1. Armata o wysokości 30 metrów wystrzeliwuje pocisk pionowo w górę. Wiadomo, że początkowa prędkość pocisku wynosi 25 m / s. Decydować się:

• Funkcja określająca położenie pocisku względem czasu.
• Czas lotu lub moment, w którym cząstka uderza w ziemię.

Wiadomo, że w ruchu prostoliniowym zmiennym jednostajnie przyspieszenie jest wartością stałą. Tak jest w przypadku wystrzelenia pocisku, w którym przyspieszenie będzie grawitacyjne

g = - 10 m / s ²

Wiadomo też, że przyspieszenie jest drugą pochodną położenia, co wskazuje na podwójną całkowanie w rozdzielczości ćwiczenia, uzyskując w ten sposób dwie stałe całkowania.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Początkowe warunki ćwiczenia wskazują, że prędkość początkowa wynosi V ₀ = 25 m / s. Jest to prędkość w chwili t = 0. W ten sposób można stwierdzić, że:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ i C ₁ = 25

Ze zdefiniowaną funkcją prędkości

V (t) = -10t + 25; Podobieństwo można zaobserwować ze wzoru MRUV (V _f = V ₀ + axt)

W sposób homologiczny przystępujemy do całkowania funkcji prędkości, aby otrzymać wyrażenie definiujące pozycję:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (prymityw pozycji)

Znana jest pozycja początkowa R (0) = 30 m. Następnie obliczany jest prymityw pocisku.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Gdzie C ₂ = 30

Przykład 2

1. Znajdź prymityw f (x), który spełnia warunki początkowe:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Z informacją o drugiej pochodnej f '' (x) = 4 rozpoczyna się proces antyderywacji

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Następnie znając warunek f '(2) = 2, postępujemy:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 if '(x) = 4x - 8

W ten sam sposób postępujemy z drugą stałą całkowania

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Warunek początkowy f (0) = 7 jest znany i kontynuujemy:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 if (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Podobnie jak w poprzednim problemie, na podstawie warunków początkowych definiujemy pierwszą pochodną i pierwotną funkcję.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ³ /3) + C ₁

Przy warunku f '(0) = 6 postępujemy:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Gdzie C ₁ = 6 i F „(x) = (x ³ /3) + 6

Potem druga stała całkowania

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Warunek początkowy f (0) = 3 jest znany i kontynuujemy:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Gdzie C ₂ = 3

W ten sposób otrzymujemy prymitywny konkrety

F (x) = (x ⁴ /12) + 6 x + 3

Przykład 3

1. Zdefiniuj funkcje pierwotne, biorąc pod uwagę pochodne i punkt na wykresie:

• dy / dx = 2x - 2, który przechodzi przez punkt (3, 2)

Należy pamiętać, że pochodne odnoszą się do nachylenia linii stycznej do krzywej w danym punkcie. Tam, gdzie nie jest poprawne założenie, że wykres pochodnej dotyka wskazanego punktu, ponieważ należy on do wykresu funkcji pierwotnej.

W ten sposób wyrażamy równanie różniczkowe w następujący sposób:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Zastosowanie warunku początkowego:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Otrzymuje się: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, który przechodzi przez punkt (0, 2)

Wyrażamy równanie różniczkowe w następujący sposób:

Zastosowanie warunku początkowego:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Otrzymujemy: f (x) = x ³ - x + 2

Proponowane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

1. Znajdź prymityw f (x), który spełnia warunki początkowe:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Ćwiczenie 2

1. Balon wznoszący się z prędkością 16 stóp / s zrzuca worek piasku z wysokości 64 stóp nad poziomem gruntu.

• Określ czas lotu
• Jaki będzie wektor V _f, gdy uderzy w ziemię?

Ćwiczenie 3

1. Rysunek przedstawia wykres czasu przyspieszenia samochodu poruszającego się w dodatnim kierunku osi x. Samochód jechał ze stałą prędkością 54 km / h, kiedy kierowca wcisnął hamulce i zatrzymał się za 10 sekund. Określać:

• Początkowe przyspieszenie samochodu
• Prędkość samochodu przy t = 5 s
• Przemieszczenie samochodu podczas hamowania

Źródło: autor

Ćwiczenie 4

1. Zdefiniuj funkcje pierwotne, biorąc pod uwagę pochodne i punkt na wykresie:

• dy / dx = x, który przechodzi przez punkt (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, który przechodzi przez punkt (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, który przechodzi przez punkt (-2, 2)

Bibliografia

1. Rachunek całkowy. Metody całkowania i całkowania nieoznaczonego. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
2. Stewart, J. (2001). Obliczanie zmiennej. Wczesne transcendentalne. Meksyk: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematyka VI. Rachunek całkowy. Meksyk: Pearson Education.
4. Fizyka I. Mc Graw hill