CZWOROKĄT: ELEMENTY, WŁAŚCIWOŚCI, KLASYFIKACJA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Czworokąt jest wielokąt o czterech bokach i czterech wierzchołków. Jego przeciwległe boki to te, które nie mają wspólnych wierzchołków, a kolejne boki to te, które mają wspólny wierzchołek.

W czworoboku sąsiednie kąty mają jeden bok, podczas gdy przeciwne kąty nie mają wspólnych boków. Inną ważną cechą czworoboku jest to, że suma jego czterech wewnętrznych kątów jest dwukrotnością kąta płaskiego, to jest 360º lub 2π radianów.

Rysunek 1. Różne czworoboki. Źródło: F. Zapata.

Przekątne to odcinki, które łączą wierzchołek z jego przeciwieństwem, aw danym czworoboku można narysować pojedynczą przekątną z każdego wierzchołka. Całkowita liczba przekątnych w czworoboku wynosi dwa.

Czworoboki to figury znane ludzkości od czasów starożytnych. Świadczą o tym zapisy archeologiczne, a także zachowane konstrukcje.

Podobnie dzisiaj czworoboki nadal odgrywają ważną rolę w życiu codziennym każdego. Czytelnik może znaleźć ten formularz na ekranie, na którym w tej chwili czyta tekst, na oknach, drzwiach, częściach samochodowych i niezliczonych innych miejscach.

Klasyfikacja czworokątna

Zgodnie z równoległością przeciwnych stron czworoboki są klasyfikowane w następujący sposób:

1. Trapezoidalny, gdy nie ma równoległości, a czworokąt jest wypukły.
2. Trapezoidalny, gdy istnieje równoległość między pojedynczą parą przeciwległych boków.
3. Równoległobok, gdy jego przeciwległe boki są równoległe po dwa.

Rysunek 2. Klasyfikacja i podklasyfikacja czworoboków. Źródło: Wikimedia Commons.

Rodzaje równoległoboku

Z kolei równoległoboki można sklasyfikować ze względu na ich kąty i boki w następujący sposób:

1. Prostokąt to równoległobok, który ma cztery wewnętrzne kąty o jednakowej wielkości. Kąty wewnętrzne prostokąta tworzą kąt prosty (90º).
2. Kwadrat, to prostokąt o równych czterech bokach.
3. Romb to równoległobok z czterema równymi bokami, ale różnymi sąsiednimi kątami.
4. Równoległobok romboidalny z różnymi sąsiednimi kątami.

Trapez

Trapez jest wypukłym czworobokiem z dwoma równoległymi bokami.

Rysunek 3. Podstawy, boki, wysokość i środkowa trapezu. Źródło: Wikimedia Commons.

- W trapezie równoległe boki nazywane są podstawami, a nierównoległe boki nazywane są bocznymi.

- Wysokość trapezu to odległość między dwiema podstawami, to znaczy długość odcinka z końcami przy podstawach i prostopadłymi do nich. Ten segment jest również nazywany wysokością trapezu.

- Mediana to odcinek, który łączy punkty środkowe bocznych. Można wykazać, że mediana jest równoległa do podstaw trapezu, a jej długość jest równa połowie podstaw.

- Pole powierzchni trapezu to jego wysokość pomnożona przez pół sumę podstaw:

Rodzaje trapezów

-Prostokątny trapez : to ten o boku prostopadłym do podstaw. Ta strona jest jednocześnie wysokością trapezu.

- Trapez równoramienny : ten o bokach równej długości. W trapezie równoramiennym kąty przylegające do podstaw są równe.

-Scalene trapez : ten o bokach o różnej długości. Jego przeciwne kąty mogą być ostre, a drugie rozwarte, ale może się również zdarzyć, że oba są rozwarte lub oba ostre.

Rysunek 4. Rodzaje trapezów. Źródło: F. Zapata.

Równoległobok

Równoległobok jest czworobokiem, którego przeciwległe boki są równoległe po dwa. W równoległoboku przeciwne kąty są równe, a sąsiednie kąty są uzupełniające lub inaczej mówiąc, sąsiednie kąty sumują się do 180º.

Jeśli równoległobok ma kąt prosty, wszystkie inne kąty również będą, a wynikowa figura nazywana jest prostokątem. Ale jeśli prostokąt ma również sąsiednie boki o tej samej długości, to wszystkie jego boki są równe, a wynikowa liczba jest kwadratem.

Rysunek 5. Równoległoboki. Prostokąt, kwadrat i romb to równoległoboki. Źródło: F. Zapata.

Gdy równoległobok ma dwa sąsiednie boki o tej samej długości, wszystkie jego boki będą tej samej długości, a wynikowa figura jest rombem.

Wysokość równoległoboku to odcinek z końcami po przeciwnych stronach i prostopadłymi do nich.

Obszar równoległoboku

Pole powierzchni równoległoboku jest iloczynem podstawy pomnożonej przez jej wysokość, przy czym podstawa jest bokiem prostopadłym do wysokości (rysunek 6).

Przekątne równoległoboku

Kwadrat przekątnej, który zaczyna się od wierzchołka, jest równy sumie kwadratów dwóch boków sąsiadujących z wierzchołkiem plus iloczyn tych boków przez cosinus kąta tego wierzchołka:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Rysunek 6. Równoległobok. Przeciwne kąty, wysokość, przekątne. Źródło: F. Zapata.

Kwadrat przekątnej przeciwległej do wierzchołka równoległoboku jest równy sumie kwadratów dwóch boków sąsiadujących ze wspomnianym wierzchołkiem i odjęciu iloczynu podwójnego tych boków przez cosinus kąta tego wierzchołka:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Prawo równoległoboków

W każdym równoległoboku suma kwadratów jego boków jest równa sumie kwadratów przekątnych:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Prostokąt jest czworobokiem, którego przeciwległe boki są równoległe po dwa, a także ma kąt prosty. Innymi słowy, prostokąt to rodzaj równoległoboku z kątem prostym. Ponieważ jest to równoległobok, prostokąt ma przeciwległe boki o równej długości a = c i b = d.

Ale tak jak w każdym równoległoboku sąsiednie kąty są uzupełniające, a przeciwne kąty są równe, w prostokącie, ponieważ ma on kąt prosty, z konieczności utworzy kąty proste w pozostałych trzech kątach. Innymi słowy, w prostokącie wszystkie kąty wewnętrzne mają wymiary 90º lub π / 2 radianów.

Przekątne prostokąta

W prostokącie przekątne mają jednakową długość, co zostanie wykazane poniżej. Rozumowanie jest następujące; Prostokąt jest równoległobokiem ze wszystkimi jego kątami prostymi i dlatego dziedziczy wszystkie właściwości równoległoboku, w tym wzór, który podaje długość przekątnych:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

przy α = 90º

Ponieważ Cos (90º) = 0, to zdarza się, że:

f ² = g ² = a ² + d ²

To znaczy f = g, a zatem długości f i g dwóch przekątnych prostokąta są równe, a ich długość jest określona wzorem:

Ponadto, jeśli w prostokącie z sąsiednimi bokami a i b jeden bok jest traktowany jako podstawa, drugi bok będzie miał wysokość, a w konsekwencji pole powierzchni prostokąta będzie:

Pole prostokąta = ax b.

Obwód jest sumą wszystkich boków prostokąta, ale ponieważ przeciwieństwa są równe, wynika z tego, że dla prostokąta o bokach aib obwód jest określony następującym wzorem:

Obwód prostokąta = 2 (a + b)

Rysunek 7. Prostokąt z bokami a i b. Przekątne f i g mają jednakową długość. Źródło: F. Zapata.

Plac

Kwadrat jest prostokątem o przyległych bokach tej samej długości. Jeśli kwadrat ma bok a, to jego przekątne f i g mają tę samą długość, czyli f = g = (√2) a.

Pole kwadratu to jego bok do kwadratu:

Pole kwadratu = a ²

Obwód kwadratu to dwa razy bok:

Obwód kwadratu = 4 a

Rysunek 8. Kwadrat z bokiem a, wskazującym jego powierzchnię, obwód i długość przekątnych. Źródło: F. Zapata ..

Diament

Romb jest równoległobokiem, którego sąsiednie boki mają tę samą długość, ale ponieważ przeciwległe boki są równe w równoległoboku, wówczas wszystkie boki rombu mają taką samą długość.

Przekątne rombu mają różną długość, ale przecinają się pod kątem prostym.

Rysunek 9. Romb boku a, ze wskazaniem jego powierzchni, obwodu i długości przekątnych. Źródło: F. Zapata.

Przykłady

Przykład 1

Pokaż, że w czworoboku (nie skrzyżowane) kąty wewnętrzne sumują się do 360º.

Rysunek 10: Pokazano, jak suma kątów czworoboku daje 360º. Źródło: F. Zapata.

Uwzględniono czworoboczny ABCD (patrz rysunek 10) i narysowano przekątną BD. Powstają dwa trójkąty ABD i BCD. Suma kątów wewnętrznych trójkąta ABD wynosi:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

A suma kątów wewnętrznych trójkąta BCD wynosi:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Dodając dwa równania otrzymujemy:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Grupowanie:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Dzięki grupowaniu i zmianie nazwy ostatecznie widać, że:

α + β + δ + γ = 360º

Przykład 2

Pokaż, że środkowa trapezu jest równoległa do jego podstaw, a jego długość jest połową podstawy.

Rysunek 11. Mediana MN trapezu ABCD. Źródło: F. Zapata.

Środek trapezu to odcinek łączący punkty środkowe jego boków, czyli boki nierównoległe. W trapezie ABCD pokazanym na ryc. 11 mediana to MN.

Ponieważ M jest środkiem AD, a N jest środkiem BC, stosunki AM / AD i BN / BC są równe.

Oznacza to, że AM jest proporcjonalne do BN w tym samym stosunku, co AD do BC, więc podano warunki zastosowania twierdzenia Talesa (odwrotność), które stwierdza, co następuje:

„Jeśli proporcjonalne segmenty są określone w trzech lub więcej liniach przeciętych dwoma siecznymi, to wszystkie te proste są równoległe”.

W naszym przypadku wnioskuje się, że linie MN, AB i DC są do siebie równoległe, dlatego:

„Środek trapezu jest równoległy do ​​jego podstaw”.

Teraz zostanie zastosowane twierdzenie Talesa:

"Zestaw równoległości przeciętych przez dwa lub więcej siecznych wyznacza proporcjonalne segmenty."

W naszym przypadku AD = 2 AM, AC = 2 AO, więc trójkąt DAC jest podobny do trójkąta MAO, a zatem DC = 2 MO.

Podobny argument pozwala nam stwierdzić, że CAB jest podobne do CON, gdzie CA = 2 CO i CB = 2 CN. Wynika z tego natychmiast, że AB = 2 ON.

Krótko mówiąc, AB = 2 ON i DC = 2 MO. Więc dodając mamy:

AB + DC = 2 WŁ + 2 MO = 2 (MO + WŁ) = 2 MN

W końcu MN zostaje wyczyszczony:

MN = (AB + DC) / 2

I można wyciągnąć wniosek, że mediana trapezu mierzy połowę sumy podstaw, lub inaczej: mediana mierzy sumę podstaw podzieloną przez dwa.

Przykład 3

Pokaż, że w romb przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Rysunek 12. Romb i pokazanie, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Źródło: F. Zapata.

Tablica na rysunku 12 przedstawia niezbędną konstrukcję. Najpierw rysowany jest równoległobok ABCD z AB = BC, czyli rombem. Przekątne AC i DB wyznaczają osiem kątów pokazanych na rysunku.

Korzystając z twierdzenia (aip), które stwierdza, że ​​naprzemienne kąty wewnętrzne między równoległościami przeciętymi przez sieczny wyznaczają kąty równe, możemy ustalić, co następuje:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ i δ2 = β2. (*)

Z drugiej strony, ponieważ sąsiednie boki rombu są równej długości, określa się cztery trójkąty równoramienne:

DAB, BCD, CDA i ABC

Teraz przywoływane jest twierdzenie o trójkącie (równoramiennym), które stwierdza, że ​​kąty przylegające do podstawy mają równą miarę, z którego wynika, że:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ i α ₁ = γ2 (**)

Jeśli relacje (*) i (**) są połączone, osiągnięta zostaje następująca równość kątów:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ z jednej strony i β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 z drugiej.

Przywołując twierdzenie o równych trójkątach, które stwierdza, że ​​dwa trójkąty o równym boku między dwoma równymi kątami są równe, otrzymujemy:

AOD = AOB iw konsekwencji także kąty ∡AOD = ∡AOB.

Wtedy ∡AOD + ∡AOB = 180º, ale ponieważ oba kąty są równej miary, mamy 2 ∡AOD = 180º, co oznacza, że ​​∡AOD = 90º.

Oznacza to, że pokazano geometrycznie, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.

Ćwiczenia rozwiązane

- Ćwiczenie 1

Pokaż, że w prawym trapezie kąty nieproste są uzupełniające.

Rozwiązanie

Rysunek 13. Prawy trapez. Źródło: F. Zapata.

Trapez ABCD jest skonstruowany z równoległymi podstawami AB i DC. Wewnętrzny kąt wierzchołka A jest prosty (wynosi 90º), więc mamy prawy trapez.

Kąty α i δ są kątami wewnętrznymi między dwiema równoleżnikami AB i DC, dlatego są równe, to znaczy δ = α = 90º.

Z drugiej strony wykazano, że suma kątów wewnętrznych czworoboku sumuje się do 360º, czyli:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Powyższe prowadzi do:

β + δ = 180º

Potwierdzając to, co chcieliśmy pokazać, że kąty β i δ są uzupełniające.

- Ćwiczenie 2

Równoległobok ABCD ma AB = 2 cm i AD = 1 cm, dodatkowo kąt BAD wynosi 30º. Wyznacz pole tego równoległoboku i długość jego dwóch przekątnych.

Rozwiązanie

Pole powierzchni równoległoboku jest iloczynem długości jego podstawy i wysokości. W takim przypadku za podstawę zostanie przyjęta długość odcinka b = AB = 2 cm, druga strona ma długość a = AD = 1 cm, a wysokość h zostanie obliczona w następujący sposób:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

A więc: Powierzchnia = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Bibliografia

1. CEA (2003). Elementy geometrii: z ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematyka 2. Grupo Od redakcji Patria.
3. Uwolniony, K. (2007). Odkryj wielokąty. Firma edukacyjna Benchmark.
4. Hendrik, V. (2013). Uogólnione wielokąty. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematyka w pierwszym semestrze Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Wielokąty. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematyka: rozumowanie i zastosowania (wydanie dziesiąte). Edukacja Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Matematyka 5. Od redakcji Progreso.
9. Wikipedia. Czworokąty. Odzyskany z: es.wikipedia.com