LINA (GEOMETRIA): DŁUGOŚĆ, TWIERDZENIE I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Akord , w geometrii płaskiej, jest odcinek, który łączy dwa punkty na krzywej. Mówi się, że linia zawierająca ten odcinek jest sieczną linią do krzywej. Często jest to okrąg, ale akordy z pewnością można narysować na wielu innych krzywych, takich jak elipsy i parabole.

Na rysunku 1 po lewej stronie znajduje się krzywa, do której należą punkty A i B. Cięciwa między A i B to odcinek zielony. Po prawej jest obwód i jedna z jego struny, ponieważ można narysować nieskończoności.

Rysunek 1. Po lewej cięciwa dowolnej krzywej, a po prawej cięciwa koła. Źródło: Wikimedia Commons.

Na obwodzie szczególnie interesująca jest jego średnica, zwana też akordem durowym. Jest to cięciwa, która zawsze zawiera środek obwodu i mierzy dwukrotnie większy promień.

Poniższy rysunek przedstawia promień, średnicę, cięciwę, a także łuk obwodu. Prawidłowe zidentyfikowanie każdego z nich jest ważne podczas rozwiązywania problemów.

Rysunek 2. Elementy obwodu. Źródło: Wikimedia Commons.

Długość cięciwy koła

Na podstawie rysunków 3a i 3b możemy obliczyć długość cięciwy w okręgu. Zauważ, że trójkąt jest zawsze tworzony z dwóch równych boków (równoramiennych): odcinków OA i OB, które mierzą R, promień obwodu. Trzeci bok trójkąta to odcinek AB, zwany C, który jest dokładnie długością cięciwy.

Konieczne jest narysowanie linii prostopadłej do cięciwy C, aby przeciąć kąt θ istniejący między dwoma promieniami i którego wierzchołek jest środkiem O obwodu. Jest to kąt środkowy - ponieważ jego wierzchołek jest środkiem - a dwusieczna jest również sieczną obwodu.

Natychmiast powstają dwa trójkąty prostokątne, których przeciwprostokątna mierzy R. Ponieważ dwusieczna, a wraz z nią średnica, dzieli cięciwę na dwie równe części, okazuje się, że jedna z nóg ma połowę C, jak wskazano w Rysunek 3b.

Z definicji sinusa kąta:

sin (θ / 2) = przeciwległa noga / przeciwprostokątna = (C / 2) / R

A zatem:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Rysunek 3. Trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę obwodu jest równoramienny (rysunek 3), ponieważ ma dwa równe boki. Dwusieczna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne (rysunek 3b). Źródło: opracował F. Zapata.

Twierdzenie o strunach

Twierdzenie o strunach wygląda następująco:

Poniższy rysunek przedstawia dwa akordy o tym samym obwodzie: AB i CD, które przecinają się w punkcie P. W cięciwie AB zdefiniowane są odcinki AP i PB, natomiast w cięciwie CD zdefiniowane są CP i PD. A więc zgodnie z twierdzeniem:

AP. PB = CP. P.S.

Rysunek 4. Twierdzenie o akordach koła. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązane ćwiczenia strun

- Ćwiczenie 1

Koło ma cięciwę 48 cm, która znajduje się 7 cm od środka. Oblicz powierzchnię koła i obwód obwodu.

Rozwiązanie

Aby obliczyć pole koła A, wystarczy znać promień kwadratu obwodu, ponieważ jest to prawda:

A = π.R ²

Teraz figura utworzona na podstawie dostarczonych danych to prostokątny trójkąt, którego nogi mają odpowiednio 7 i 24 cm.

Rysunek 5. Geometria dla rozwiązanego ćwiczenia 1. Źródło: F. Zapata.

Dlatego, aby znaleźć wartość R ² , stosuje się bezpośrednio twierdzenie Pitagorasa c ² = a ² + b ² , ponieważ R jest przeciwprostokątną trójkąta:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Tak więc żądany obszar to:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Obwód lub długość L obwodu oblicza się ze wzoru:

L = 2π. R

Zastępowanie wartości:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Ćwiczenie 2

Określ długość cięciwy okręgu, którego równanie jest następujące:

x ² + y ² - 6x - 14 lat -111 = 0

Wiadomo, że współrzędne punktu środkowego cięciwy to P (17/2; 7/2).

Rozwiązanie

Środek cięciwy P nie należy do obwodu, ale punkty końcowe cięciwy tak. Problem można rozwiązać za pomocą wypowiedzianego wcześniej twierdzenia o strunach, ale najpierw wygodnie jest zapisać równanie obwodu w postaci kanonicznej, aby określić jego promień R i jego środek O.

Krok 1: uzyskaj kanoniczne równanie obwodu

Równanie kanoniczne koła ze środkiem (h, k) to:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Aby go zdobyć, musisz wypełnić kwadraty:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Zauważ, że 6x = 2. (3x) i 14y = 2. (7y), więc poprzednie wyrażenie zostało przepisane w ten sposób, pozostając niezmienione:

(x ² - 6x + 3 ^{2 -} 3 ² ) + (y ² - 14 lat + 7 ^{2 -} 7 ² ) -111 = 0

A teraz, pamiętając definicję niezwykłego iloczynu (ab) ² = a ² - 2ab + b ² , możesz napisać:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Obwód ma środek (3,7) i promień R = √169 = 13. Poniższy rysunek przedstawia wykres obwodu i cięciwy, które zostaną użyte w twierdzeniu:

Rysunek 6. Wykres obwodu rozwiązanego ćwiczenia 2. Źródło: F. Zapata za pomocą internetowego kalkulatora graficznego Mathway.

Krok 2: określ segmenty do wykorzystania w twierdzeniu o strunach

Segmenty, które należy zastosować, to struny CD i AB, zgodnie z rysunkiem 6, oba są cięte w punkcie P, dlatego:

CP. PD = AP. PB

Teraz znajdziemy odległość między punktami O i P, ponieważ da nam to długość odcinka OP. Jeśli dodamy promień do tej długości, otrzymamy odcinek CP.

Odległość d _OP między dwoma punktami współrzędnych (x ₁ , y ₁ ) i (x ₂ , y ₂ ) wynosi:

d _PO ² = PO ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Na podstawie wszystkich uzyskanych wyników oraz wykresu konstruujemy następującą listę segmentów (patrz rysunek 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = długość cięciwy

Podstawiając twierdzenie o strunach:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Długość łańcucha to 2, AP = 2 (√253 / 2) = √506

Czy czytelnik mógłby rozwiązać problem w inny sposób?

Bibliografia

1. Baldor, A. 2004. Geometria płaszczyzny i przestrzeni z trygonometrią. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Długość akordu. Odzyskany z: ck12.org.
3. Escobar, J. Obwód. Odzyskany z: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Odzyskany z: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Lina (geometria). Odzyskane z: es.wikipedia.org.