POCHODNE CZĄSTKOWE: NOTACJA, PRZYKŁADY I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Te pochodne cząstkowe z funkcją wielu zmiennych są tymi, które określają szybkość zmian funkcji, gdy jedna ze zmiennych posiada znikomą zmiany, podczas gdy inne zmienne pozostają niezmienione.

Aby uczynić ten pomysł bardziej konkretnym, przypuśćmy przypadek funkcji dwóch zmiennych: z = f (x, y). Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x oblicza się jako zwykłą pochodną względem x, ale przyjmując zmienną y tak, jakby była stała.

Rysunek 1. Funkcja f (x, y) i jej częściowe pochodne ∂ _x f y ∂ _y f w punkcie P. (opracował R. Pérez z geogebra)

Zapis częściowej pochodnej

Operacja pochodnej cząstkowej funkcji f (x, y) na zmiennej x jest oznaczana w jeden z następujących sposobów:

W pochodnych cząstkowych używany jest symbol ∂ (rodzaj zaokrąglonej litery d zwanej również d Jacobiego), w przeciwieństwie do zwykłej pochodnej funkcji jednej zmiennej, w której litera d jest używana do pochodnej.

Ogólnie rzecz biorąc, pochodna cząstkowa funkcji wielowymiarowej w odniesieniu do jednej z jej zmiennych daje w wyniku nową funkcję w tych samych zmiennych funkcji pierwotnej:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Obliczanie i znaczenie pochodnej cząstkowej

Aby określić szybkość zmian lub nachylenie funkcji dla określonego punktu (x = a, y = b) w kierunku równoległym do osi X:

1- Oblicza się funkcję ∂ _x f (x, y) = g (x, y), biorąc zwykłą pochodną w zmiennej x i pozostawiając zmienną y stałą lub stałą.

2- Następnie podstawiamy wartość punktu x = a i y = b, w którym chcemy poznać szybkość zmian funkcji w kierunku x:

{Nachylenie w kierunku xw punkcie (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- do obliczania szybkości zmian w kierunku y na współrzędnej (a, b), po raz pierwszy oblicz ∂ _i f (x, y) = h (x, y).

4- Następnie punkt (x = a, y = b) jest podstawiany w poprzednim wyniku, aby otrzymać:

{Nachylenie w kierunku y w punkcie (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Przykłady pochodnych cząstkowych

Oto kilka przykładów pochodnych cząstkowych:

Przykład 1

Biorąc pod uwagę funkcję:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji f w odniesieniu do zmiennej x i zmiennej y.

Rozwiązanie:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Zauważ, że aby obliczyć pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x, wykonano zwykłą pochodną względem x, ale zmienną y przyjęto tak, jakby była stała. Podobnie, przy obliczaniu pochodnej cząstkowej f względem y zmienną x przyjęto tak, jakby była stałą.

Funkcja f (x, y) to powierzchnia zwana paraboloidą pokazaną na rysunku 1 w kolorze ochry.

Przykład 2

Znajdź szybkość zmian (lub nachylenie) funkcji f (x, y) z przykładu 1, w kierunku osi X i osi Y dla punktu (x = 1, y = 2).

Rozwiązanie: Aby znaleźć nachylenia w kierunkach xiy w danym punkcie, wystarczy podstawić wartości tego punktu do funkcji ∂ _x f (x, y) i do funkcji ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _i f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Na rysunku 1 przedstawiono styczną (w kolorze czerwonym) do krzywej wyznaczonej przez przecięcie funkcji f (x, y) z płaszczyzną y = 2, nachylenie tej prostej wynosi -2. Rysunek 1 pokazuje również styczną (w kolorze zielonym) do krzywej, która wyznacza przecięcie funkcji f z płaszczyzną x = 1; Ta linia ma nachylenie -4.

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Szklanka stożkowa w danym momencie zawiera wodę, tak że powierzchnia wody ma promień r i głębokość h. Ale szkło ma mały otwór w dnie, przez który woda jest tracona z szybkością C centymetrów sześciennych na sekundę. Określić tempo opadania z powierzchni wody w centymetrach na sekundę.

Rozwiązanie:

Przede wszystkim należy pamiętać, że objętość wody w danej chwili wynosi:

Objętość jest funkcją dwóch zmiennych, promienia r i głębokości h: V (r, h).

Gdy objętość zmienia się o nieskończenie małą wartość dV, promień r powierzchni wody i głębokość h wody również zmieniają się zgodnie z następującą zależnością:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Przystępujemy do obliczania pochodnych cząstkowych V odpowiednio względem r i h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Ponadto promień r i głębokość h spełniają następującą zależność:

Dzieląc obu członków przez różnicę czasu dt daje:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Ale dV / dt to objętość wody traconej na jednostkę czasu, o której wiadomo, że wynosi C centymetrów na sekundę, podczas gdy dh / dt to szybkość opadania swobodnej powierzchni wody, która będzie nazywana v. Oznacza to, że powierzchnia wody w danej chwili opada z prędkością v (w cm / s) podaną wzorem:

v = C / (π r ^ 2).

Jako aplikacja numeryczna załóżmy, że r = 3 cm, h = 4 cm, a szybkość przecieku C wynosi 3 cm ^ 3 / s. Wtedy prędkość opadania powierzchni w tej chwili wynosi:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Ćwiczenie 2

Twierdzenie Clairauta-Schwarza stwierdza, że ​​jeśli funkcja jest ciągła w swoich zmiennych niezależnych, a jej pochodne cząstkowe w odniesieniu do zmiennych niezależnych są również ciągłe, to mieszane pochodne drugiego rzędu można zamienić. Sprawdź to twierdzenie dla funkcji

f (x, y) = x ^ 2 y, to znaczy musi być prawdą, że f _xy f = ∂ _yx f.

Rozwiązanie:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) podczas gdy ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Udowodniono, że twierdzenie Schwarza jest prawdziwe, ponieważ funkcja f i jej pochodne cząstkowe są ciągłe dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Bibliografia

1. Frank Ayres, J. i Mendelson, E. (2000). Obliczenie 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Obliczenia z geometrią analityczną. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. i Rigdon, SE (2007). Obliczenie. Meksyk: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy. Przeciwprostokątna.
5. Saenz, J. (2006). Rachunek całkowy. Przeciwprostokątna.
6. Wikipedia. Pochodna częściowa. Odzyskany z: es.wikipedia.com