RÓŻNICA KOSTEK: WZORY, RÓWNANIA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Różnica kostek jest dwustronną algebraiczna ekspresji tworzą ³ - B ³ , w którym warunki A i B mogą być liczbami rzeczywistymi lub wyrażenie algebraiczne różnych typów. Przykładem różnicy kostek jest: 8 - x ³ , ponieważ 8 można zapisać jako 2 ³ .

Geometrycznie możemy wyobrazić sobie duży sześcian o boku a, od którego odejmuje się mały sześcian o boku b, jak pokazano na rysunku 1:

Rysunek 1. Różnica kostek. Źródło: F. Zapata.

Objętość wynikowej liczby jest dokładnie różnicą kostek:

V = a ³ - b ³

Aby znaleźć alternatywne wyrażenie, zaobserwowano, że figurę tę można rozłożyć na trzy pryzmaty, jak pokazano poniżej:

Rysunek 2. Różnica kostek (po lewej stronie równości) jest równa sumie objętości cząstkowych (po prawej). Źródło: F. Zapata.

Pryzmat ma objętość określoną przez iloczyn trzech wymiarów: szerokość x wysokość x głębokość. W ten sposób uzyskana objętość to:

V = a ³ - b ³ = a ^2. B + b ³ + ab ²

Czynnik b jest wspólny po prawej stronie. Ponadto na powyższym rysunku jest szczególnie prawdziwe, że:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Dlatego można powiedzieć, że: b = a - b. A zatem:

Ten sposób wyrażenia różnicy kostek okaże się bardzo przydatny w wielu zastosowaniach i zostałby uzyskany w ten sam sposób, nawet gdyby strona brakującej kostki w rogu była inna niż b = a / 2.

Zauważ, że drugi nawias bardzo przypomina zauważalny iloczyn kwadratu sumy, ale składnik krzyżowy nie jest mnożony przez 2. Czytelnik może rozszerzyć prawą stronę, aby sprawdzić, czy rzeczywiście otrzymano a ³ - b ³ .

Przykłady

Istnieje kilka różnic w kostkach:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8 z ¹² i ⁶

(1/125). X ⁶ - 27. y ⁹

Przeanalizujmy każdy z nich. W pierwszym przykładzie 1 można zapisać jako 1 = 1 ^3, a wyraz m ^{6 to} : (m ² ) ³ . Oba terminy są idealnymi kostkami, dlatego ich różnica jest następująca:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

W drugim przykładzie terminy zostały przepisane:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Różnica między tymi kostkami to: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Wreszcie ułamek (1/125) to (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ³ i y ⁹ = (y ³ ) ³ . Zastępując to wszystko w oryginalnym wyrażeniu, otrzymujesz:

(1/125). X ⁶ - 27 lat ⁹ = ³ - ( ^{3 lata 3} ) ³

Uwzględnianie różnicy kostek

Rozkładanie na czynniki różnicy kostek upraszcza wiele operacji algebraicznych. Aby to zrobić, użyj wzoru wydedukowanego powyżej:

Rysunek 3. Faktoryzacja różnicy kostek i wyrażenie niezwykłego ilorazu. Źródło: F. Zapata.

Teraz procedura stosowania tej formuły składa się z trzech kroków:

- W pierwszej kolejności uzyskuje się pierwiastek sześcienny każdego z warunków różnicy.

- Następnie konstruuje się dwumian i trójmian, które pojawiają się po prawej stronie wzoru.

- Na koniec zamieniamy dwumian i trójmian w celu uzyskania ostatecznej faktoryzacji.

Zilustrujmy użycie tych kroków na każdym z zaproponowanych powyżej przykładów różnicy kostek i uzyskajmy w ten sposób jego faktoryzowany odpowiednik.

Przykład 1

Uwzględnij wyrażenie 1 - m ⁶ postępując zgodnie z opisanymi krokami. Zaczynamy od przepisania wyrażenia na 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^{3 w} celu wyodrębnienia odpowiednich pierwiastków sześciennych każdego terminu:

Następnie konstruujemy dwumian i trójmian:

a = 1

b = m ²

Więc:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Ostatecznie we wzorze a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Przykład 2

Rozkładać na czynniki:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Ponieważ są to idealne kostki, korzenie sześcienne są natychmiastowe: a ² b oraz 2z ⁴ i ² , stąd wynika, że:

- Dwumianowy: a ² b - 2 z ⁴ i ²

- Trójmian: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

A teraz konstruuje się pożądaną faktoryzację:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

W zasadzie faktoring jest gotowy, ale często konieczne jest uproszczenie każdego terminu. Następnie tworzy się niezwykły iloczyn - kwadrat sumy - który pojawia się na końcu, a następnie dodaje się podobne terminy. Pamiętając, że kwadrat sumy to:

Godny uwagi produkt po prawej stronie jest rozwijany w następujący sposób:

(a ² b + 2z ⁴ i ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b. z ⁴ i ² + 4z ⁸ i ⁴

Zastępując ekspansję uzyskaną w rozkładzie różnicy kostek:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Na koniec grupując podobne terminy i rozkładając współczynniki liczbowe, które są parzyste, otrzymujemy:

(a ² b - 2 z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Przykład 3

Faktoring (1/125) x ⁶ - 27lat ⁹ jest znacznie łatwiejszy niż w poprzednim przypadku. Najpierw identyfikuje się odpowiedniki a i b:

a = (1/5) x ²

b = ^{3 lata 3}

Następnie są bezpośrednio podstawiane we wzorze:

(1/125). X ⁶ - 27 lat ⁹ =.

Ćwiczenie rozwiązane

Różnica kostek ma, jak powiedzieliśmy, wiele zastosowań w algebrze. Zobaczmy kilka:

Ćwiczenie 1

Rozwiąż następujące równania:

a) X ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Rozwiązanie

Najpierw równanie jest rozkładane w następujący sposób:

x ² (x ³ - 125) = 0

Ponieważ 125 to idealna kostka, nawiasy są zapisywane jako różnica kostek:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Pierwszym rozwiązaniem jest x = 0, ale znajdziemy więcej, jeśli zrobimy x ³ - 5 ³ = 0, a następnie:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Rozwiązanie b

Lewa strona równania została przepisana jako 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . A zatem:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Ponieważ wykładnik jest taki sam:

9x = 4 → x = 9/4

Ćwiczenie 2

Uwzględnij wyrażenie:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Rozwiązanie

To wyrażenie jest różnicą kostek, jeśli we wzorze na faktoring zauważymy, że:

a = x + y

b = x- y

Następnie najpierw konstruowany jest dwumian:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

A teraz trójmian:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Opracowywane są godne uwagi produkty:

Następnie musisz zastąpić i zredukować podobne terminy:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Faktoring skutkuje:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Bibliografia

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Od redakcji Cultural Venezolana SA
2. Fundacja CK-12. Suma i różnica kostek. Odzyskany z: ck12.org.
3. Khan academy. Faktoring różnic kostek. Odzyskane z: es.khanacademy.org.
4. Matematyka to zabawa dla zaawansowanych. Różnica dwóch kostek. Odzyskany z: mathsisfun.com
5. UNAM. Uwzględnianie różnicy kostek. Odzyskany z: dcb.fi-c.unam.mx.