Rozkład dwumianowy to rozkład prawdopodobieństwa, na podstawie którego obliczane jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń, pod warunkiem, że zachodzą one w ramach dwóch modalności: sukcesu lub porażki.
Te określenia (sukces lub porażka) są całkowicie arbitralne, ponieważ niekoniecznie oznaczają dobre lub złe rzeczy. W tym artykule wskażemy matematyczną postać rozkładu dwumianowego, a następnie szczegółowo wyjaśnimy znaczenie każdego terminu.
Rysunek 1. Rzut kostką jest zjawiskiem, które można modelować za pomocą rozkładu dwumianowego. Źródło: Pixabay.
Równanie
Równanie wygląda następująco:
Gdy x = 0, 1, 2, 3… .n, gdzie:
- P (x) jest prawdopodobieństwem uzyskania dokładnie x sukcesów między n próbami lub próbami.
- x to zmienna opisująca interesujące zjawisko, odpowiadająca liczbie sukcesów.
- n liczba prób
- p to prawdopodobieństwo sukcesu w 1 próbie
- q to prawdopodobieństwo niepowodzenia w 1 próbie, stąd q = 1 - p
Wykrzyknik „!” jest używany do notacji silni, więc:
0! = 1
jeden! = 1
dwa! = 2,1 = 2
3! = 3,2,1 = 6
4! = 4,3.2,1 = 24
5! = 5,4.3.2,1 = 120
I tak dalej.
Pojęcie
Rozkład dwumianowy jest bardzo odpowiedni do opisywania sytuacji, w których zdarzenie występuje lub nie występuje. Jeśli tak się stanie, jest to sukces, a jeśli nie, to porażka. Ponadto prawdopodobieństwo sukcesu zawsze musi pozostać stałe.
Istnieją zjawiska, które pasują do tych warunków, na przykład rzut monetą. W tym przypadku można powiedzieć, że „sukces” to uzyskanie twarzy. Prawdopodobieństwo wynosi ½ i nie zmienia się, niezależnie od tego, ile razy moneta zostanie rzucona.
Rzut uczciwą kostką jest kolejnym dobrym przykładem, podobnie jak podzielenie określonej produkcji na dobre i wadliwe elementy oraz uzyskanie czerwonego zamiast czarnego podczas obracania koła ruletki.
cechy
Możemy podsumować charakterystykę rozkładu dwumianowego w następujący sposób:
- Każde zdarzenie lub obserwacja jest wyodrębniane z nieskończonej populacji bez zastępowania lub z ograniczonej populacji z wymianą.
- Rozważane są tylko dwie opcje, wykluczające się wzajemnie: sukces lub porażka, jak wyjaśniono na początku.
- Prawdopodobieństwo sukcesu musi być stałe w każdej dokonywanej obserwacji.
- Wynik każdego zdarzenia jest niezależny od jakiegokolwiek innego zdarzenia.
- średnia rozkładu dwumianowego wynosi np
- Odchylenie standardowe wynosi:
Przykład zastosowania
Weźmy proste zdarzenie, którym może być zdobycie 2 reszek 5 przez rzucenie uczciwą kostką 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 3 rzutach wypadną 2 orły po 5?
Można to osiągnąć na kilka sposobów, na przykład:
- Pierwsze dwa uruchomienia to 5, a ostatnie nie.
- Pierwsza i ostatnia to 5, ale nie środkowa.
- Ostatnie dwa rzuty to 5, a pierwszy nie
Weźmy pierwszą sekwencję opisaną jako przykład i obliczmy jej prawdopodobieństwo wystąpienia. Prawdopodobieństwo uzyskania 5 orłów w pierwszym rzucie wynosi 1/6, a także w drugim, ponieważ są to zdarzenia niezależne.
Prawdopodobieństwo uzyskania innej głowy innej niż 5 w ostatnim rzucie wynosi 1 - 1/6 = 5/6. Dlatego prawdopodobieństwo, że ta sekwencja wyjdzie, jest iloczynem prawdopodobieństw:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
A co z pozostałymi dwiema sekwencjami? Mają to samo prawdopodobieństwo: 0,023.
A ponieważ mamy w sumie 3 udane sekwencje, całkowite prawdopodobieństwo będzie wynosić:
Przykład 2
Jedna uczelnia twierdzi, że 80% studentów z drużyny koszykówki kończy college. Dochodzenie bada akademickie osiągnięcia 20 studentów należących do wspomnianej drużyny koszykówki, którzy jakiś czas temu zapisali się na uniwersytet.
Z tych 20 studentów 11 ukończyło studia, a 9 zrezygnowało.
Rysunek 2. Prawie wszyscy uczniowie grający dla absolwenta uczelni. Źródło: Pixabay.
Jeśli twierdzenie uczelni jest prawdziwe, liczba studentów grających w koszykówkę i absolwentów na 20 powinna mieć rozkład dwumianowy n = 20 ip = 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 11 z 20 graczy ukończy szkołę?
Rozwiązanie
W rozkładzie dwumianowym:
Przykład 3
Naukowcy przeprowadzili badanie w celu ustalenia, czy istnieją znaczące różnice w odsetku absolwentów między studentami medycyny przyjmowanymi w ramach specjalnych programów a studentami medycyny przyjmowanymi na podstawie zwykłych kryteriów przyjęć.
Stwierdzono, że odsetek absolwentów wynosi 94% dla studentów lekarzy przyjmowanych w ramach specjalnych programów (na podstawie danych z Journal of the American Medical Association).
Jeśli losowo zostanie wybranych 10 studentów programów specjalnych, znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej 9 z nich ukończyło studia.
b) Czy byłoby czymś niezwykłym wybranie losowo 10 studentów ze specjalnych programów i stwierdzenie, że tylko 7 z nich ukończyło studia?
Rozwiązanie
Prawdopodobieństwo, że student przyjęty w ramach specjalnego programu ukończy szkołę, wynosi 94/100 = 0,94. Ze specjalnych programów wybieramy n = 10 studentów i chcemy poznać prawdopodobieństwo, że co najmniej 9 z nich ukończy studia.
Następujące wartości są następnie podstawiane w rozkładzie dwumianowym:
b)
Bibliografia
- Berenson, M. 1985. Statystyka zarządzania i ekonomii. Interamericana SA
- MathWorks. Rozkład dwumianowy. Odzyskany z: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statystyka zarządzania i ekonomii. 3. wydanie. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Podstawowe statystyki stosowane. 2nd. Wydanie.
- Triola, M. 2012. Statystyki podstawowe. 11th. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Rozkład dwumianowy. Odzyskane z: es.wikipedia.org