PODZIAŁ SYNTETYCZNY: METODA I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Podział syntetyczny to prosty sposób na podzielenie wielomianu P (x) o dowolnej postaci d (x) = x - c. Na przykład wielomian P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) można przedstawić jako pomnożenie dwóch najprostszych wielomianów (x + 1) i (x ⁴ + 2x ³ ).

Jest to bardzo przydatne narzędzie, ponieważ oprócz dzielenia wielomianów pozwala nam również obliczyć wielomian P (x) przy dowolnej liczbie c, co z kolei mówi nam dokładnie, czy ta liczba jest zerem wielomianu, czy nie.

Dzięki algorytmowi dzielenia wiemy, że jeśli mamy dwa nieciągłe wielomiany P (x) i d (x), to istnieją unikalne wielomiany q (x) i r (x) takie, że jest prawdą, że P (x) = q (x) d (x) + r (x), gdzie r (x) jest równe zero lub mniejsze niż q (x). Te wielomiany są nazywane odpowiednio ilorazem i resztą lub resztą.

W przypadkach, gdy wielomian d (x) ma postać x- c, podział syntetyczny daje nam krótki sposób ustalenia, kim są q (x) i r (x).

Metoda podziału syntetycznego

Niech P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ to wielomian, który chcemy podzielić, ad (x) = xc dzielnik. Aby podzielić metodą podziału syntetycznego, postępujemy w następujący sposób:

1- Zapisujemy współczynniki P (x) w pierwszym rzędzie. Jeśli jakakolwiek potęga X nie pojawia się, przyjmujemy zero jako jej współczynnik.

2- W drugim rzędzie na lewo od _n stawiamy c i rysujemy linie podziału, jak pokazano na poniższym rysunku:

3- Obniżamy wiodący współczynnik do trzeciego rzędu.

W tym wyrażeniu b _n-1 = a _n

4- Mnożymy c przez współczynnik wiodący b _n-1 i zapisujemy wynik w drugim wierszu, ale jedną kolumnę po prawej stronie.

5- Dodajemy kolumnę, w której piszemy poprzedni wynik i umieszczamy wynik poniżej tej sumy; to znaczy w tej samej kolumnie, trzecim rzędzie.

Podczas dodawania otrzymujemy wynik _n-1 + c * b _n-1 , który dla wygody nazwiemy b _n-2

6- Mnożymy c przez poprzedni wynik i zapisujemy wynik po prawej stronie w drugim wierszu.

7- Powtarzamy kroki 5 i 6, aż osiągniemy współczynnik równy ₀ .

8- Piszemy odpowiedź; to znaczy iloraz i reszta. Ponieważ dzielimy wielomian stopnia n przez wielomian stopnia 1, otrzymujemy iloraz równy n-1.

Współczynnikami wielomianu ilorazowego będą liczby w trzecim rzędzie, z wyjątkiem ostatniego, który będzie wielomianem resztkowym lub pozostałą częścią dzielenia.

Rozwiązane ćwiczenia

- Przykład 1

Wykonaj następujący podział metodą podziału syntetycznego:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (X + 1).

Rozwiązanie

Najpierw zapisujemy współczynniki dywidendy w następujący sposób:

Następnie piszemy c po lewej stronie, w drugim rzędzie, wraz z liniami podziału. W tym przykładzie c = -1.

Obniżamy współczynnik wiodący (w tym przypadku b _n-1 = 1) i mnożymy go przez -1:

Zapisujemy jego wynik po prawej stronie w drugim wierszu, jak pokazano poniżej:

Dodajemy liczby w drugiej kolumnie:

Mnożymy 2 przez -1 i zapisujemy wynik w trzeciej kolumnie, drugim wierszu:

W trzeciej kolumnie dodajemy:

Postępujemy w ten sam sposób, aż dojdziemy do ostatniej kolumny:

Zatem mamy, że ostatnia otrzymana liczba jest pozostałą częścią dzielenia, a pozostałe liczby są współczynnikami wielomianu ilorazowego. Jest to napisane w następujący sposób:

Jeśli chcemy sprawdzić, czy wynik jest prawidłowy, wystarczy zweryfikować, czy poniższe równanie jest prawdziwe:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Dzięki temu możemy sprawdzić, czy uzyskany wynik jest prawidłowy.

- Przykład 2

Wykonaj następujący podział wielomianów metodą podziału syntetycznego

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy, że wyraz x ² nie pojawia się, więc napiszemy 0 jako jego współczynnik. Zatem wielomian wyniósłby 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Piszemy ich współczynniki w rzędzie, to jest:

Piszemy wartość C = -2 po lewej stronie drugiego rzędu i rysujemy linie podziału.

Obniżamy współczynnik wiodący b _n-1 = 7 i mnożymy go przez -2, zapisując jego wynik w drugim rzędzie po prawej stronie.

Dodajemy i postępujemy jak wyjaśniono wcześniej, aż dojdziemy do ostatniego terminu:

W tym przypadku reszta R (x) = - 52 i iloraz otrzymany q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Przykład 3

Innym sposobem użycia podziału syntetycznego jest następujący: załóżmy, że mamy wielomian P (x) stopnia n i chcemy wiedzieć, jaka jest wartość, oceniając go przy x = c.

Za pomocą algorytmu dzielenia możemy zapisać wielomian P (x) w następujący sposób:

W tym wyrażeniu q (x) i r (x) są odpowiednio ilorazem i resztą. Teraz, jeśli d (x) = x- c, obliczając cw wielomianu otrzymujemy:

Dlatego pozostaje tylko znaleźć ar (x) i możemy to zrobić dzięki podziałowi syntetycznemu.

Na przykład, mamy wielomian P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 i chcemy wiedzieć, jaka jest jego wartość, oceniając go przy x = 5. Aby to zrobić, wykonujemy podział między P (x) id (x) = x -5 metodą podziału syntetycznego:

Po wykonaniu operacji wiemy, że P (x) możemy zapisać w następujący sposób:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Dlatego oceniając to musimy:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Jak widać, można użyć dzielenia syntetycznego, aby znaleźć wartość wielomianu, oceniając go w punkcie c, zamiast po prostu podstawiać c zamiast x.

Gdybyśmy próbowali oszacować P (5) w tradycyjny sposób, bylibyśmy zmuszeni do wykonania pewnych obliczeń, które często stają się żmudne.

- Przykład 4

Algorytm dzielenia wielomianów jest również prawdziwy dla wielomianów o złożonych współczynnikach iw konsekwencji mamy, że metoda syntetycznego dzielenia działa również dla takich wielomianów. Poniżej zobaczymy przykład.

Użyjemy metody dzielenia syntetycznego, aby pokazać, że z = 1+ 2i jest zerem wielomianu P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); to znaczy, pozostała część dzielenia P (x) przez d (x) = x - z jest równa zeru.

Postępujemy jak poprzednio: w pierwszym rzędzie zapisujemy współczynniki P (x), w drugim piszemy z i rysujemy linie podziału.

Podział przeprowadzamy jak poprzednio; to jest:

Możemy zauważyć, że reszta to zero; dlatego wnioskujemy, że z = 1+ 2i jest zerem dla P (x).

Bibliografia

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley i Kennedy. Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic 7th Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Sala Prentice
4. Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Edukacja Pearson.
5. Czerwony. Armando O. Algebra 1 6th Ed. Ateneum.