NIEZALEŻNE IMPREZY: POKAZ, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - DUDAS - 2026

Dwa zdarzenia są niezależne , gdy na prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z nich nie ma wpływu fakt, że drugie wystąpi - lub nie wystąpi -, biorąc pod uwagę, że zdarzenia te występują losowo.

Ta okoliczność występuje zawsze, gdy proces, który generuje wynik zdarzenia 1, nie zmienia w żaden sposób prawdopodobieństwa możliwych skutków zdarzenia 2. Ale jeśli tak się nie stanie, mówi się, że zdarzenia są zależne.

Rysunek 1. Kolorowe kulki są często używane do wyjaśnienia prawdopodobieństwa wystąpienia niezależnych zdarzeń. Źródło: Pixabay.

Sytuacja niezależnego wydarzenia jest następująca: Załóżmy, że wyrzucono dwie sześciościenne kostki, jedną niebieską, a drugą różową. Prawdopodobieństwo, że 1 wypadnie na niebieskiej kości jest niezależne od prawdopodobieństwa, że ​​1 wypadnie - lub nie - na różowej kości.

Innym przypadkiem dwóch niezależnych wydarzeń jest rzut monetą dwa razy z rzędu. Wynik pierwszego rzutu nie będzie zależał od wyniku drugiego i odwrotnie.

Dowód dwóch niezależnych wydarzeń

Aby sprawdzić, czy dwa zdarzenia są niezależne, zdefiniujemy pojęcie warunkowego prawdopodobieństwa jednego zdarzenia w odniesieniu do innego. W tym celu konieczne jest rozróżnienie między wydarzeniami ekskluzywnymi a imprezami integracyjnymi:

Dwa zdarzenia są wykluczające się, jeśli możliwe wartości lub elementy zdarzenia A nie mają nic wspólnego z wartościami lub elementami zdarzenia B.

Dlatego w dwóch wyjątkowych zdarzeniach zbiorem przecięcia A z B jest próżnia:

Z wyłączeniem wydarzeń: A∩B = Ø

Wręcz przeciwnie, jeśli zdarzenia są inkluzywne, może się zdarzyć, że rezultat zdarzenia A pokrywa się również z rezultatem innego B, przy czym A i B są różnymi zdarzeniami. W tym przypadku:

Imprezy integracyjne: A∩B ≠ Ø

To prowadzi nas do zdefiniowania warunkowego prawdopodobieństwa wystąpienia dwóch inkluzywnych zdarzeń, innymi słowy, prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A, ilekroć wystąpi zdarzenie B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Dlatego prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo, że A i B wystąpią podzielone przez prawdopodobieństwo wystąpienia B. Prawdopodobieństwo, że B wystąpi jako warunek A, można również zdefiniować:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kryteria, aby wiedzieć, czy dwa zdarzenia są niezależne

Następnie podamy trzy kryteria, aby wiedzieć, czy dwa zdarzenia są niezależne. Wystarczy, że jeden z trzech jest spełniony, aby wykazać niezależność wydarzeń.

1. - Jeżeli prawdopodobieństwo, że A wystąpi, gdy wystąpi B, jest równe prawdopodobieństwu A, to są to zdarzenia niezależne:

P (A¦B) = P (A) => A jest niezależne od B.

2.- Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia B przy danym A jest równe prawdopodobieństwu B, to są zdarzenia niezależne:

P (B¦A) = P (B) => B jest niezależne od A

3.- Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia A i B jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa zajścia A i prawdopodobieństwa zajścia B, to są to zdarzenia niezależne. Odwrotna sytuacja jest również prawdą.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A i B są zdarzeniami niezależnymi.

Przykłady niezależnych wydarzeń

Porównuje się gumowe podeszwy produkowane przez dwóch różnych dostawców. Próbki od każdego producenta są poddawane kilku testom, na podstawie których stwierdza się, czy są one zgodne ze specyfikacjami.

Rysunek 2. Różne gumowe podeszwy. Źródło: Pixabay.

Wynikowe podsumowanie 252 próbek jest następujące:

Producent 1; 160 spełnia specyfikacje; 8 nie spełnia specyfikacji.

Producent 2; 80 spełnia specyfikacje; 4 nie spełniają specyfikacji.

Zdarzenie A: „że próbka pochodzi od producenta 1”.

Zdarzenie B: „czy próbka spełnia specyfikacje”.

Chcemy wiedzieć, czy te zdarzenia A i B są niezależne, czy nie, do których stosujemy jedno z trzech kryteriów wymienionych w poprzedniej sekcji.

Kryterium: P (B¦A) = P (B) => B jest niezależne od A.

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Wniosek: zdarzenia A i B są niezależne.

Załóżmy, że zdarzenie C: „że próbka pochodzi od producenta 2”

Czy wydarzenie B będzie niezależne od wydarzenia C?

Stosujemy jedno z kryteriów.

Kryterium: P (B¦C) = P (B) => B jest niezależne od C.

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Dlatego na podstawie dostępnych danych prawdopodobieństwo, że losowo wybrana gumowa podeszwa spełnia specyfikacje, jest niezależne od producenta.

Przekształć zdarzenie niezależne w zdarzenie zależne

Spójrzmy na poniższy przykład, aby rozróżnić zdarzenia zależne i niezależne.

Mamy worek z dwiema kulkami białej czekolady i dwiema czarnymi. Prawdopodobieństwo zdobycia bili białej lub czarnej jest równe za pierwszym razem.

Załóżmy, że wynikiem była bila biała. Jeśli wylosowana bila zostanie wymieniona w worku, sytuacja powtarza się: dwie bile białe i dwie bile czarne.

Zatem w drugim zdarzeniu lub remisie szanse na wyciągnięcie białej bili lub czarnej bili są identyczne jak za pierwszym razem. Są więc niezależnymi wydarzeniami.

Ale jeśli biała bila wylosowana w pierwszym zdarzeniu nie zostanie zastąpiona, ponieważ ją zjedliśmy, w drugim losowaniu są większe szanse na wylosowanie czarnej bili. Prawdopodobieństwo, że druga ekstrakcja ponownie uzyska kolor biały, jest inne niż w przypadku pierwszego zdarzenia i jest uwarunkowane poprzednim wynikiem.

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

W pudełku umieszczamy 10 kulek z rysunku 1, z których 2 są zielone, 4 niebieskie, a 4 białe. Dwa kulki zostaną wybrane losowo, jeden pierwszy i jeden później. Jest proszony o ustalenie
prawdopodobieństwa, że ​​żaden z nich nie jest niebieski, pod następującymi warunkami:

a) Z wymianą, czyli odłożeniem pierwszej kulki przed drugą selekcją do pudełka. Wskaż, czy są to zdarzenia niezależne, czy zależne.

b) Bez wymiany, w taki sposób, że pierwszy wydobywany marmur jest wyjęty z pudełka w momencie dokonywania drugiego wyboru. Podobnie wskaż, czy są to zdarzenia zależne, czy niezależne.

Rozwiązanie

Obliczamy prawdopodobieństwo, że pierwsza wydobywana kulka nie jest niebieska, czyli 1 minus prawdopodobieństwo, że jest niebieska P (A), lub bezpośrednio, że nie jest niebieska, ponieważ wyszła zielona lub biała:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (nie bądź niebieski) = 1 - (2/5) = 3/5

No cóż:

P (zielony lub biały) = 6/10 = 3/5.

Jeśli wydobyty marmur zostanie zwrócony, wszystko jest jak poprzednio. W tym drugim losowaniu jest również prawdopodobieństwo 3/5, że wylosowana kulka nie jest niebieska.

P (nie niebieski, nie niebieski) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Zdarzenia są niezależne, ponieważ wydobytą kulkę wrócono do pudełka, a pierwsze zdarzenie nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego.

Rozwiązanie b

W przypadku pierwszej ekstrakcji postępuj jak w poprzedniej sekcji. Prawdopodobieństwo, że nie jest niebieski, wynosi 3/5.

Do drugiej ekstrakcji mamy w woreczku 9 kulek, ponieważ pierwsza nie wróciła, ale nie była niebieska, dlatego w woreczku jest 9 kulek i 5 nie niebieskich:

P (zielony lub biały) = 5/9.

P (żaden nie jest niebieski) = P (najpierw nie jest niebieski). P (druga nie niebieska / pierwsza nie niebieska) = (3/5). (5/9) = 1/3

W tym przypadku nie są to zdarzenia niezależne, ponieważ pierwsze zdarzenie warunkuje drugie.

- Ćwiczenie 2

Sklep posiada 15 koszul w trzech rozmiarach: 3 małe, 6 średnich i 6 dużych. 2 koszulki są wybierane losowo.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane koszulki są małe, jeśli jedna zostanie zabrana jako pierwsza i bez wymiany drugiej z partii?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane koszulki są małe, jeśli jedna zostanie wylosowana jako pierwsza, zostanie wymieniona w partii, a druga zostanie usunięta?

Rozwiązanie

Oto dwa wydarzenia:

Wydarzenie A: pierwsza wybrana koszulka jest mała

Wydarzenie B: druga wybrana koszulka jest mała

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A wynosi: P (A) = 3/15

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B wynosi: P (B) = 2/14, ponieważ koszula została już zdjęta (zostało ich 14), ale również zdarzenie A chce się spełnić, pierwsza zdjęta koszula musi być mała i dlatego oba są 2 małe.

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że A i B będą iloczynem prawdopodobieństw, wynosi:

P (A i B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Dlatego prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A i B jest równe iloczynowi zdarzenia A pomnożone przez prawdopodobieństwo, że zdarzenie B wystąpi, jeżeli zdarzenie A.

Należy zauważyć że:

P (B¦A) = 2/14

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie B wystąpi niezależnie od tego, czy zdarzenie A wystąpi, czy nie, będzie wynosić:

P (B) = (2/14), jeśli pierwszy był mały, lub P (B) = 3/14, jeśli pierwszy nie był mały.

Ogólnie można stwierdzić, co następuje:

P (B¦A) nie jest równe P (B) => B nie jest niezależne od A

Rozwiązanie b

Znowu są dwa wydarzenia:

Wydarzenie A: pierwsza wybrana koszulka jest mała

Wydarzenie B: druga wybrana koszulka jest mała

P (A) = 3/15

Pamiętaj, że niezależnie od wyniku, koszula wylosowana z partii jest wymieniana i ponownie losowana jest koszula. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B, jeżeli wystąpiło zdarzenie A, wynosi:

P (B¦A) = 3/15

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń A i B będzie wynosić:

P (A i B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Zauważ, że:

P (B¦A) jest równe P (B) => B jest niezależne od A.

- Ćwiczenie 3

Rozważ dwa niezależne zdarzenia A i B. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A wynosi 0,2, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B wynosi 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wystąpią oba zdarzenia?

Rozwiązanie 2

Wiedząc, że zdarzenia są niezależne, wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń jest iloczynem prawdopodobieństw indywidualnych. To jest do powiedzenia,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Zauważ, że jest to prawdopodobieństwo znacznie mniejsze niż prawdopodobieństwo, że każde zdarzenie nastąpi niezależnie od wyniku drugiego. Innymi słowy, znacznie niższe niż indywidualne kursy.

Bibliografia

1. Berenson, M. 1985. Statystyka zarządzania i ekonomii. Interamericana SA 126-127.
2. Instytut Monterrey. Prawdopodobieństwo niezależnych zdarzeń. Odzyskany z: monterreyinstitute.org
3. Nauczyciel matematyki. Niezależne wydarzenia. Odzyskany z: youtube.com
4. Superprof. Rodzaje wydarzeń, zdarzenia zależne. Odzyskany z: superprof.es
5. Wirtualny nauczyciel. Prawdopodobieństwo. Odzyskany z: vitutor.net
6. Wikipedia. Niezależność (prawdopodobieństwo). Odzyskane z: wikipedia.com