FAKTORING: METODY I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Faktoryzacji jest sposób, w którym jest wyrażony jako wielomian mnożenie współczynników, które mogą być litery lub liczby lub obu. Aby uwzględnić czynniki, które są wspólne dla terminów, są zgrupowane razem iw ten sposób wielomian jest rozkładany na kilka wielomianów.

Tak więc, gdy czynniki są pomnożone razem, wynikiem jest oryginalny wielomian. Faktoring jest bardzo przydatną metodą, gdy masz wyrażenia algebraiczne, ponieważ można go przekształcić w mnożenie kilku prostych wyrażeń; na przykład: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Istnieją przypadki, w których wielomian nie może być rozłożony na czynniki, ponieważ nie ma wspólnego czynnika między jego wyrazami; tak więc te wyrażenia algebraiczne są podzielne tylko przez siebie i przez 1. Na przykład: x + y + z.

W wyrażeniu algebraicznym wspólny czynnik jest największym wspólnym dzielnikiem składających się na niego terminów.

Metody faktoringowe

Istnieje kilka metod faktoringu, które są stosowane w zależności od przypadku. Oto niektóre z nich:

Faktoring według wspólnego czynnika

W tej metodzie identyfikowane są czynniki, które są wspólne; to znaczy te, które są powtarzane w terminach wyrażenia. Następnie stosowana jest właściwość dystrybucyjna, brany jest największy wspólny dzielnik i kończy się faktoring.

Innymi słowy, identyfikowany jest wspólny czynnik wyrażenia i każdy termin jest przez niego podzielony; Otrzymane wyrazy zostaną pomnożone przez największy wspólny dzielnik, aby wyrazić faktoryzację.

Przykład 1

Czynnik (b ² x) + (b ² y).

Rozwiązanie

Najpierw znajdź wspólny czynnik każdego terminu, którym w tym przypadku jest b ² , a następnie podziel te wyrazy przez wspólny czynnik w następujący sposób:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Rozkład na czynniki wyraża się, mnożąc współczynnik wspólny przez wynikowe warunki:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Przykład 2

Czynnik (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy dwa czynniki, które są powtarzane w każdym członie, czyli „a” i „b”, i które są podniesione do potęgi. Aby je uwzględnić, najpierw rozkłada się te dwa terminy w ich długiej formie:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Można zaobserwować, że czynnik „a” powtarza się tylko raz w drugim członie, a czynnik „b” powtarza się w tym dwukrotnie; więc w pierwszym członie pozostaje tylko 2, czynnik „a” i czynnik „b”; podczas gdy w drugiej kadencji pozostaje tylko 3.

Dlatego czasy, w których „a” i „b” są powtarzane, są zapisywane i mnożone przez pozostałe współczynniki każdego terminu, jak pokazano na obrazku:

Faktoring grupowy

Ponieważ nie we wszystkich przypadkach największy wspólny dzielnik wielomianu jest wyraźnie wyrażony, konieczne jest wykonanie innych kroków, aby móc przepisać wielomian, a tym samym czynnik.

Jednym z tych kroków jest pogrupowanie wyrażeń wielomianu w kilka grup, a następnie użycie metody wspólnego czynnika.

Przykład 1

Współczynnik ac + bc + ad + bd.

Rozwiązanie

Istnieją 4 czynniki, w których dwa są wspólne: w pierwszym członie jest to „c”, aw drugim jest to „d”. W ten sposób te dwa terminy są pogrupowane i oddzielone:

(ac + bc) + (ad + bd).

Teraz można zastosować metodę wspólnego czynnika, dzieląc każdy wyraz przez jego wspólny czynnik, a następnie mnożąc ten wspólny czynnik przez wynikowe wyrażenia, na przykład:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Teraz otrzymujemy dwumian, który jest wspólny dla obu terminów. Aby to rozłożyć na czynniki, mnoży się go przez pozostałe czynniki; w ten sposób musisz:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Faktoring inspekcyjny

Ta metoda jest używana do rozkładania na czynniki wielomianów kwadratowych, zwanych także trójmianami; to znaczy te, które mają strukturę ax ² ± bx + c, gdzie wartość „a” jest różna od 1. Metodę tę stosuje się również, gdy trójmian ma postać x ² ± bx + c, a wartość „a” = 1.

Przykład 1

Czynnik x ² + 5x + 6.

Rozwiązanie

Mamy kwadratowy trójmian postaci x ² ± bx + c. Aby to rozłożyć na czynniki, musisz najpierw znaleźć dwie liczby, które po pomnożeniu dają w rezultacie wartość „c” (czyli 6), a ich suma jest równa współczynnikowi „b”, który wynosi 5. Te liczby to 2 i 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

W ten sposób wyrażenie jest uproszczone w następujący sposób:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Każdy termin jest uwzględniany:

- Dla (x ² + 2x) przyjmuje się wspólny termin: x (x + 2)

- Dla (3x + 6) = 3 (x + 2)

Zatem wyrażenie to:

x (x +2) + 3 (x +2).

Ponieważ mamy wspólny dwumian, aby zredukować wyrażenie, mnożymy to przez pozostałe wyrażenia i musimy:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Przykład 2

Czynnik 4a ² + 12a + 9 = 0.

Rozwiązanie

Mamy kwadratowy trójmian postaci ax ² ± bx + cy, aby go rozłożyć na czynniki, pomnożyć całe wyrażenie przez współczynnik x ² ; w tym przypadku 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Teraz musimy znaleźć dwie liczby, które pomnożone przez siebie dają w rezultacie wartość „c” (czyli 36) i które po dodaniu dają w rezultacie współczynnik wyrazu „a”, który wynosi 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

W ten sposób wyrażenie zostaje przepisane, biorąc pod uwagę, że 4 ² a ² = 4a _* 4a. Dlatego własność rozdzielcza ma zastosowanie do każdego terminu:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Na koniec wyrażenie dzieli się przez współczynnik a ² ; to znaczy 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Wyrażenie jest następujące:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring z godnymi uwagi produktami

Istnieją przypadki, w których pełne rozłożenie wielomianów powyższymi metodami staje się bardzo długim procesem.

Dlatego wyrażenie można opracować z formułami niezwykłych produktów, a tym samym proces staje się prostszy. Wśród najczęściej używanych produktów godnych uwagi są:

- Różnica dwóch kwadratów: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Idealny kwadrat sumy: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Idealny kwadrat różnicy: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Różnica dwóch kostek: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Suma dwóch sześcianów: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Przykład 1

Współczynnik (5 ² - x ² )

Rozwiązanie

W tym przypadku różnica dwóch kwadratów; dlatego ma zastosowanie niezwykła formuła produktu:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Przykład 2

Czynnik 16x ² + 40x + 25 ²

Rozwiązanie

W tym przypadku masz doskonały kwadrat sumy, ponieważ możesz zidentyfikować dwa wyrazy podniesione do kwadratu, a pozostały składnik jest wynikiem pomnożenia dwóch przez pierwiastek kwadratowy z pierwszego składnika przez pierwiastek kwadratowy z drugiego składnika.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Aby uwzględnić tylko pierwiastki kwadratowe pierwszego i trzeciego składnika, należy:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Następnie dwa wynikowe wyrazy są oddzielone znakiem operacji, a cały wielomian jest podniesiony do kwadratu:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Przykład 3

Czynnik 27a ³ - b ³

Rozwiązanie

Wyrażenie reprezentuje odejmowanie, w którym dwa czynniki są sześcienne. Aby je uwzględnić, stosuje się wzór na znaczący iloczyn różnicy kostek, który jest następujący:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Tak więc, aby rozłożyć na czynniki, pierwiastek sześcienny każdego składnika dwumianu jest brany i mnożony przez kwadrat pierwszego składnika plus iloczyn pierwszego składnika przez drugi składnik plus drugi składnik do kwadratu.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Faktoring z regułą Ruffiniego

Ta metoda jest używana, gdy masz wielomian stopnia większy niż dwa, w celu uproszczenia wyrażenia do kilku wielomianów o mniejszym stopniu.

Przykład 1

Współczynnik Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Rozwiązanie

Najpierw szukamy liczb, które są dzielnikami liczby 12, która jest terminem niezależnym; Są to ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 i ± 12.

Następnie x jest zastępowane tymi wartościami, od najniższej do najwyższej, i w ten sposób ustala się, przy której z wartości podział będzie dokładny; to znaczy reszta musi wynosić 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

I tak dalej dla każdego dzielnika. W tym przypadku znalezione współczynniki są dla x = -1 i x = 2.

Teraz stosowana jest metoda Ruffiniego, zgodnie z którą współczynniki wyrażenia zostaną podzielone przez znalezione czynniki, aby podział był dokładny. Wyrazy wielomianu są uporządkowane od najwyższego do najniższego wykładnika; w przypadku, gdy w sekwencji brakuje terminu z następnym stopniem, w jego miejsce wstawiane jest 0.

Współczynniki znajdują się na schemacie, jak pokazano na poniższej ilustracji.

Pierwszy współczynnik jest obniżany i mnożony przez dzielnik. W tym przypadku pierwszym dzielnikiem jest -1, a wynik jest umieszczany w następnej kolumnie. Następnie wartość współczynnika z uzyskanym wynikiem jest dodawana pionowo, a wynik umieszczany jest poniżej. W ten sposób proces powtarza się aż do ostatniej kolumny.

Następnie tę samą procedurę powtarza się ponownie, ale z drugim dzielnikiem (czyli 2), ponieważ wyrażenie można jeszcze uprościć.

Zatem dla każdego uzyskanego pierwiastka wielomian będzie miał wyraz (x - a), gdzie „a” jest wartością pierwiastka:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Z drugiej strony, terminy te należy pomnożyć przez pozostałą część reguły Ruffiniego 1: 1 i -6, które są czynnikami reprezentującymi stopień. W ten sposób powstałe wyrażenie to: (x ² + x - 6).

Uzyskanie wyniku faktoryzacji wielomianu metodą Ruffiniego to:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Wreszcie, wielomian stopnia 2, który pojawia się w poprzednim wyrażeniu, można przepisać jako (x + 3) (x-2). Dlatego ostateczna faktoryzacja to:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Bibliografia

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
2. J, V. (2014). Jak uczyć dzieci o rozkładaniu na czynniki wielomianu.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Podstawy matematyki z aplikacjami.
4. Roelse, PL (1997). Liniowe metody faktoryzacji wielomianów na ciałach skończonych: teoria i implementacje. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Pierścienie i faktoryzacja.