GEOMETRIA EUKLIDESOWA: HISTORIA, PODSTAWOWE POJĘCIA I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

W geometrii euklidesowej odpowiada badaniu właściwości geometryczne przestrzenie gdzie aksjomaty Euklidesa są spełnione. Chociaż termin ten jest czasami używany w odniesieniu do geometrii, które mają wyższe wymiary i podobne właściwości, na ogół jest synonimem klasycznej geometrii lub geometrii płaskiej.

W III wieku a. C. Euklides i jego uczniowie napisali Elementy, dzieło, które obejmowało wiedzę matematyczną tamtych czasów, wyposażoną w strukturę logiczno-dedukcyjną. Od tego czasu geometria stała się nauką, początkowo mającą na celu rozwiązywanie klasycznych problemów i ewoluowała, aby stać się nauką kształtującą, która pomaga rozumować.

Historia

Aby mówić o historii geometrii euklidesowej, konieczne jest rozpoczęcie od Euklidesa z Aleksandrii i elementów.

Kiedy Egipt pozostawał w rękach Ptolemeusza I, po śmierci Aleksandra Wielkiego, rozpoczął swój projekt w szkole w Aleksandrii.

Wśród mędrców, którzy nauczali w tej szkole, był Euclid. Spekuluje się, że jego narodziny pochodzą z około 325 roku pne. C. i jego śmierć 265 a. C. Możemy z całą pewnością wiedzieć, że chodził do szkoły Platona.

Euclid przez ponad trzydzieści lat nauczał w Aleksandrii, budując jej słynne elementy: zaczął pisać wyczerpujący opis matematyki swoich czasów. Nauki Euklidesa wydały na świat doskonałych uczniów, takich jak Archimedes i Apoloniusz z Perge.

Euclid był odpowiedzialny za uporządkowanie odmiennych odkryć starożytnych Greków w elementach, ale w przeciwieństwie do swoich poprzedników nie ogranicza się do stwierdzenia, że ​​twierdzenie jest prawdziwe; Euclid oferuje demonstrację.

The Elements to kompendium trzynastu książek. Po Biblii jest to najczęściej publikowana książka, która ma ponad tysiąc wydań.

Elementy Euklidesa

The Elements to arcydzieło Euklidesa w dziedzinie geometrii i oferuje ostateczną obróbkę geometrii dwuwymiarowej (płaskiej) i trójwymiarowej (kosmicznej), która jest źródłem tego, co obecnie znamy jako geometria euklidesowa. .

Podstawowe koncepcje

Elementy składają się z definicji, wspólnych pojęć i postulatów (lub aksjomatów), po których następują twierdzenia, konstrukcje i dowody.

- Chodzi o to, co nie ma części.

- Linia to długość, która nie ma szerokości.

- Linia prosta to taka, która leży równo w stosunku do punktów, które się na niej znajdują.

- Jeśli dwie linie są cięte w taki sposób, że sąsiednie kąty są równe, kąty nazywane są prostymi, a linie prostopadłymi.

- Proste równoległe to takie, które będąc w tej samej płaszczyźnie, nigdy się nie przecinają.

Po tych i innych definicjach Euclid przedstawia nam listę pięciu postulatów i pięciu pojęć.

Wspólne pojęcia

- Dwie rzeczy, które są równe jednej trzeciej, są sobie równe.

- Jeśli te same rzeczy zostaną dodane do tych samych rzeczy, wyniki będą takie same.

- Jeśli równe rzeczy są odjęte równe rzeczy, wyniki są równe.

- Rzeczy, które pasują do siebie, są sobie równe.

- Suma jest większa niż część.

Postulaty czy aksjomaty

- Jedna i tylko jedna linia przechodzi przez dwa różne punkty.

- Proste linie mogą być przedłużane w nieskończoność.

- Możesz narysować okrąg z dowolnym środkiem i dowolnym promieniem.

- Wszystkie kąty proste są równe.

- Jeśli linia prosta przecina dwie proste linie, tak że wewnętrzne kąty tej samej strony sumują się do mniej niż dwóch kątów prostych, to dwie linie będą przecinać się po tej stronie.

Ten ostatni postulat jest znany jako postulat równoległy i został przeformułowany w następujący sposób: „Dla punktu poza prostą można narysować pojedynczą równoległość do podanej prostej”.

Przykłady

Następnie niektóre twierdzenia elementów posłużą do pokazania własności przestrzeni geometrycznych, w których spełnia się pięć postulatów Euklidesa; Ponadto zilustrują logiczno-dedukcyjne rozumowanie zastosowane przez tego matematyka.

Pierwszy przykład

Twierdzenie 1.4. (LAL)

Jeśli dwa trójkąty mają dwa boki i kąt między nimi jest równy, to pozostałe boki i pozostałe kąty są równe.

Demonstracja

Niech ABC i A'B'C 'będą dwoma trójkątami, przy czym AB = A'B', AC = A'C 'i kąty BAC i B'A'C' są równe. Przesuńmy trójkąt A'B'C 'tak, aby A'B' pokrywał się z AB, a kąt B'A'C 'pokrywał się z kątem BAC.

Zatem prosta A'C 'pokrywa się z linią AC, tak że C' pokrywa się z C. Następnie, zgodnie z postulatem 1, linia BC musi pokrywać się z linią B'C '. Dlatego oba trójkąty pokrywają się, a co za tym idzie, ich kąty i boki są równe.

Drugi przykład

Twierdzenie 1.5. (

Załóżmy, że trójkąt ABC ma równe boki AB i AC.

Zatem trójkąty ABD i ACD mają dwa równe boki, a kąty między nimi są równe. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 1.4 kąty ABD i ACD są równe.

Trzeci przykład

Twierdzenie 1.31

Możesz zbudować prostą równoległą do prostej określonej przez dany punkt.

Budynek

Biorąc pod uwagę linię L i punkt P, narysowana jest prosta M, która przechodzi przez P i przecina L. Następnie narysowana jest prosta N przez P, która przecina L. Teraz linia N jest rysowana przez P, która przecina M, tworząc kąt równy temu, który tworzy L z M.

Afirmacja

N jest równoległe do L.

Demonstracja

Załóżmy, że L i N nie są równoległe i przecinają się w punkcie A. Niech B będzie punktem w L poza A. Rozważmy prostą O przechodzącą przez B i P. Następnie O przecina M pod kątami, które sumują się do mniej niż dwa proste.

Następnie o 1,5 prosta O musi przecinać prostą L po drugiej stronie M, więc L i O przecinają się w dwóch punktach, co jest sprzeczne z postulatem 1. Dlatego L i N muszą być równoległe.

Bibliografia

1. Euklides, elementy geometrii. Narodowy Autonomiczny Uniwersytet Meksyku
2. Euclid. Pierwsze sześć książek oraz jedenasta i dwunasta z elementów Euklidesa
3. Eugenio Filloy Yague. Dydaktyka i historia geometrii euklidesowej, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Historia matematyki. Mir Editorial
5. Viloria, N. i Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Od redakcji Venezolana CA