- Pochodzenie i historia
- Arystoteles
- Czym zajmuje się logika matematyczna?
- Propozycje
- Tabele prawdy
- Rodzaje logiki matematycznej
- Obszary
- Bibliografia
Logika matematyczna lub logika symboliczny jest językiem matematycznym, który obejmuje narzędzia, dzięki którym można potwierdzić ani zaprzeczyć matematycznego rozumowania.
Powszechnie wiadomo, że w matematyce nie ma dwuznaczności. Biorąc pod uwagę argument matematyczny, jest on albo ważny, albo po prostu nie. Nie może być jednocześnie fałszywe i prawdziwe.
Szczególnym aspektem matematyki jest to, że ma formalny i rygorystyczny język, za pomocą którego można określić ważność argumentu. Co sprawia, że określone rozumowanie lub jakikolwiek dowód matematyczny jest niepodważalny? Na tym polega logika matematyczna.
Zatem logika jest dyscypliną matematyki, która jest odpowiedzialna za badanie rozumowań matematycznych i dowodów oraz dostarczanie narzędzi umożliwiających wyciąganie poprawnych wniosków na podstawie wcześniejszych stwierdzeń lub twierdzeń.
W tym celu wykorzystuje się aksjomaty i inne aspekty matematyczne, które zostaną rozwinięte później.
Pochodzenie i historia
Dokładne daty w odniesieniu do wielu aspektów logiki matematycznej są niepewne. Jednak większość bibliografii na ten temat wywodzi się ze starożytnej Grecji.
Arystoteles
Początek rygorystycznego traktowania logiki przypisuje się częściowo Arystotelesowi, który napisał zbiór dzieł logiki, które były później opracowywane i rozwijane przez różnych filozofów i naukowców, aż do średniowiecza. Można to uznać za „starą logikę”.
Później, w tak zwanej epoce współczesnej, Leibniz, poruszony głębokim pragnieniem ustanowienia uniwersalnego języka rozumowania matematycznego, a inni matematycy, tacy jak Gottlob Frege i Giuseppe Peano, w znacznym stopniu wpłynęli na rozwój logiki matematycznej z wielkim wkładem wśród nich aksjomaty Peano, które formułują niezbędne właściwości liczb naturalnych.
Wielkie wpływy w tym czasie mieli również matematycy George Boole i Georg Cantor, wnosząc ważny wkład w teorię mnogości i tablice prawdy, podkreślając między innymi algebrę Boole'a (George'a Boole'a) i aksjomat wyboru. (autorstwa George'a Cantora).
Jest też Augustus De Morgan ze znanymi prawami Morgana, które rozważają negacje, spójniki, dysjunkcje i uwarunkowania między zdaniami, klucze do rozwoju logiki symbolicznej oraz Jhon Venn ze słynnymi diagramami Venna.
W XX wieku, mniej więcej między 1910 a 1913 rokiem, Bertrand Russell i Alfred North Whitehead wyróżniają się publikacją Principia mathematica, zbiorem książek, które gromadzą, rozwijają i postulują serię aksjomatów i wyników logiki.
Czym zajmuje się logika matematyczna?
Propozycje
Logika matematyczna zaczyna się od badania zdań. Zdanie to stwierdzenie, które można powiedzieć bez żadnej dwuznaczności, czy jest prawdziwe, czy nie. Oto przykłady propozycji:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- W 1930 roku w Europie doszło do trzęsienia ziemi.
Pierwsza jest prawdziwym stwierdzeniem, a druga fałszywym stwierdzeniem. Trzeci, nawet jeśli osoba czytająca może nie wiedzieć, czy jest to prawda, czy od razu, jest stwierdzeniem, które można sprawdzić i ustalić, czy to naprawdę się wydarzyło.
Oto przykłady wyrażeń, które nie są zdaniami:
- Ona jest blondynką.
- 2x = 6.
- Zagrajmy!
- Czy lubisz filmy
W pierwszym zdaniu nie jest sprecyzowane, kim jest „ona”, dlatego niczego nie można stwierdzić. W drugim zdaniu nie określono, co reprezentuje „x”. Gdyby zamiast tego powiedzieć, że 2x = 6 dla jakiejś liczby naturalnej x, w tym przypadku odpowiadałoby to twierdzeniu, w rzeczywistości prawdziwym, ponieważ dla x = 3 jest ono spełnione.
Ostatnie dwa zdania nie odpowiadają twierdzeniu, ponieważ nie ma sposobu, aby je zaprzeczyć lub potwierdzić.
Dwie lub więcej propozycji można łączyć (lub łączyć) za pomocą dobrze znanych łączników logicznych (lub łączników). To są:
- Zaprzeczenie: „Nie pada”.
- Dysjunkcja: „Luisa kupiła białą lub szarą torbę”.
- Koniunkcja: „4 2 = 16 i 2 × 5 = 10”.
- Warunkowo: „Jeśli pada deszcz, to po południu nie idę na siłownię”.
- Dwuwarunkowe: „Chodzę dziś po południu na siłownię tylko wtedy, gdy nie pada”.
Zdanie, które nie ma żadnego z poprzednich łączników, nazywa się zdaniem prostym (lub atomowym). Na przykład „2 to mniej niż 4” to proste zdanie. Zdania, które mają pewne łączniki, nazywane są zdaniami złożonymi, na przykład „1 + 3 = 4, a 4 to liczba parzysta”.
Wypowiedzi składane za pomocą zdań są zwykle długie, więc nużące jest ich pisanie zawsze w dotychczasowej postaci. Z tego powodu używany jest język symboliczny. Zdania są zwykle przedstawiane dużymi literami, takimi jak P, Q, R, S itp. I symboliczne łączniki w następujący sposób:
Po to aby
Rozmawiać z warunkowym propozycji
jest propozycją
I odwrotność (lub przeciwieństwo) zdania
jest propozycją
Tabele prawdy
Inną ważną koncepcją w logice są tabele prawdy. Wartością prawdziwości zdania są dwie możliwości zdania: prawdziwe (które będzie oznaczane przez V i zostanie powiedziane, że jego wartością prawdziwości jest V) lub fałszywe (które będzie oznaczane przez F i zostanie powiedziane, że jego wartość naprawdę jest F).
Wartość prawdziwości zdania złożonego zależy wyłącznie od wartości prawdziwości zdań prostych, które się w nim pojawiają.
Mówiąc bardziej ogólnie, nie będziemy rozważać konkretnych zdań, ale zmienne zdaniowe p, q, r, s itd., Które będą reprezentować dowolne zdania.
Z tych zmiennych i łączników logicznych formułuje się dobrze znane formuły zdań, tak jak buduje się zdania złożone.
Jeśli każda ze zmiennych występujących we wzorze zdaniowym zostanie zastąpiona zdaniem, otrzymamy zdanie złożone.
Poniżej znajdują się tabele prawdy dla łączników logicznych:
Istnieją formuły zdań, które otrzymują tylko wartość V w swojej tablicy prawdy, to znaczy ostatnia kolumna ich tablicy prawdy ma tylko wartość V. Te typy formuł są znane jako tautologie. Na przykład:
Poniżej znajduje się tabela prawdy wzoru
Mówi się, że formuła α logicznie implikuje inny wzór β, jeśli α jest prawdziwe za każdym razem, gdy β jest prawdziwe. Oznacza to, że w tabeli prawdy α i β wiersze, w których α ma V, β również ma V. Interesują nas tylko wiersze, w których α ma wartość V. Notacja dla implikacji logicznej jest następująca :
Poniższa tabela podsumowuje właściwości implikacji logicznej:
O dwóch formułach zdań mówi się, że są logicznie równoważne, jeśli ich tablice prawdy są identyczne. Następujący zapis jest używany do wyrażenia logicznej równoważności:
Poniższe tabele podsumowują właściwości równoważności logicznej:
Rodzaje logiki matematycznej
Istnieją różne rodzaje logiki, zwłaszcza jeśli weźmie się pod uwagę logikę pragmatyczną lub nieformalną, która wskazuje między innymi na filozofię.
Jeśli chodzi o matematykę, typy logiki można podsumować następująco:
- Logika formalna lub arystotelesowska (logika starożytna).
- Logika zdań: jest odpowiedzialna za badanie wszystkiego, co dotyczy ważności argumentów i zdań za pomocą języka formalnego i symbolicznego.
- Logika symboliczna: koncentruje się na badaniu zbiorów i ich własności, również z językiem formalnym i symbolicznym, i jest głęboko związana z logiką zdań.
- Logika kombinatoryczna: jedna z ostatnio opracowanych, obejmuje wyniki, które można opracować za pomocą algorytmów.
- Programowanie logiczne: używane w różnych pakietach i językach programowania.
Obszary
Wśród dziedzin wykorzystujących logikę matematyczną w sposób niezbędny w rozwoju rozumowania i argumentacji wyróżnia się filozofia, teoria mnogości, teoria liczb, algebraiczna matematyka konstruktywna oraz języki programowania.
Bibliografia
- Aylwin, CU (2011). Logika, zbiory i liczby. Mérida - Wenezuela: Rada ds. Publikacji, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Wprowadzenie do teorii liczb. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Podstawowy kurs teorii liczb. Uniwersytet Północny.
- Cofré, A. i Tapia, L. (1995). Jak rozwijać matematyczne logiczne rozumowanie. Wydawnictwo Uniwersyteckie.
- Saragossa, AC (sf). Teoria liczb Wizja redakcyjna Libros.