- 3 prawa Keplera
- Prawo powszechnego ciążenia i trzecie prawo Keplera
- Rozwiązanie b
- Eksperyment
- materiały
- Proces
- Obliczanie powierzchni przekroju eliptycznego
- Weryfikacja prawa równych obszarów
- Bibliografia
Prawa Keplera dotyczące ruchu planet zostały opracowane przez niemieckiego astronoma Johannesa Keplera (1571-1630). Kepler wydedukował je na podstawie pracy swojego nauczyciela, duńskiego astronoma Tycho Brahe (1546-1601).
Brahe starannie zebrał dane o ruchach planet na przestrzeni ponad 20 lat, z zaskakującą precyzją i dokładnością, biorąc pod uwagę, że w tamtym czasie nie wynaleziono jeszcze teleskopu. Twoje dane są aktualne nawet dzisiaj.
Rysunek 1. Orbity planet według praw Keplera. Źródło: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)
3 prawa Keplera
Prawa Keplera stanowią:
-Pierwsze prawo : wszystkie planety opisują eliptyczne orbity ze Słońcem w jednym z ognisk.
Oznacza to, że stosunek T 2 / r 3 jest taki sam dla wszystkich planet, co umożliwia obliczenie promienia orbity, jeśli znany jest okres orbity.
Kiedy T jest wyrażone w latach i rw jednostkach astronomicznych AU *, stała proporcjonalności wynosi k = 1:
* Jednostka astronomiczna to 150 milionów kilometrów, co jest średnią odległością między Ziemią a Słońcem. Okres orbity Ziemi wynosi 1 rok.
Prawo powszechnego ciążenia i trzecie prawo Keplera
Zgodnie z uniwersalnym prawem grawitacji wielkość siły przyciągania grawitacyjnego między dwoma obiektami o masach odpowiednio M i m, których środki są oddalone od siebie o odległość r, wyraża się wzorem:
G jest uniwersalną stałą grawitacji, a jego wartość G = 6,674 x 10 -11 Nm 2 / kg 2 .
Otóż orbity planet są eliptyczne z bardzo małą ekscentrycznością.
Oznacza to, że orbita nie znajduje się zbyt daleko od obwodu, z wyjątkiem niektórych przypadków, takich jak planeta karłowata Pluton. Jeśli przybliżymy orbity do kształtu kołowego, przyspieszenie ruchu planety wynosi:
Ponieważ F = ma, mamy:
Tutaj v to prędkość liniowa planety wokół Słońca, przyjęta jako statyczna i o masie M, podczas gdy prędkość planety wynosi m. Więc:
To wyjaśnia, że planety dalej od Słońca mają mniejszą prędkość orbitalną, ponieważ zależy to od 1 / √r.
Ponieważ odległość, jaką pokonuje planeta, jest w przybliżeniu długością obwodu: L = 2πr i zajmuje czas równy T, okresowi orbitalnemu, otrzymujemy:
Zrównanie obu wyrażeń na v daje ważne wyrażenie na T 2 , kwadrat okresu orbitalnego:
I to jest dokładnie trzecie prawo Keplera, ponieważ w tym wyrażeniu nawias 4π 2 / GM jest stały, a zatem T 2 jest proporcjonalne do odległości r sześciennej.
Ostateczne równanie okresu orbitalnego uzyskuje się, biorąc pierwiastek kwadratowy:
Rysunek 3. Aphelium i peryhelium. Źródło: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / domena publiczna
Dlatego podstawiamy r zamiast a w trzecim prawie Keplera, co powoduje, że Halley:
Rozwiązanie b
a = ½ (peryhelium + afelion)
Eksperyment
Analiza ruchu planet wymaga tygodni, miesięcy, a nawet lat uważnej obserwacji i nagrywania. Ale w laboratorium można przeprowadzić bardzo prosty eksperyment na bardzo prostą skalę, aby udowodnić, że obowiązuje prawo Keplera dotyczące równych powierzchni.
Wymaga to systemu fizycznego, w którym siła kierująca ruchem jest centralna, co jest warunkiem wystarczającym do spełnienia prawa obszarów. Taki system składa się z masy przywiązanej do długiej liny, z drugim końcem nici przymocowanym do podpory.
Masa jest przemieszczana o niewielki kąt od jej położenia równowagi i zostaje na nią podany niewielki impuls, tak aby wykonała owalny (prawie eliptyczny) ruch w płaszczyźnie poziomej, jakby była planetą wokół Słońca.
Na krzywej opisanej przez wahadło możemy udowodnić, że omija ona równe obszary w równych czasach, jeśli:
-Bierzemy pod uwagę promienie wektorowe, które biegną od środka przyciągania (początkowego punktu równowagi) do położenia masy.
-I przesuwamy się między dwoma kolejnymi chwilami o jednakowym czasie trwania, w dwóch różnych obszarach ruchu.
Im dłuższa struna wahadła i im mniejszy kąt odchylenia od pionu, tym siła przywracająca netto będzie bardziej pozioma, a symulacja przypomina przypadek ruchu z siłą centralną w płaszczyźnie.
Następnie opisany owal zbliża się do elipsy, takiej jak ta, którą podróżują planety.
materiały
-Niewielki wątek
-1 masa lub metalowa kula pomalowana na biało, która działa jak wahadło
-Linijka
-Przenośnik
-Kamera fotograficzna z automatycznym stroboskopem
-Wspiera
-Dwa źródła światła
- Arkusz czarnego papieru lub kartonu
Proces
Zmontowanie figury jest potrzebne do wykonywania zdjęć wielokrotnych błysków wahadła poruszającego się po jego drodze. W tym celu należy ustawić aparat tuż nad wahadłem, a automatyczną tarczę stroboskopową przed obiektywem.
Rysunek 4. Montaż wahadła w celu sprawdzenia, czy omiata równe obszary w równych odstępach czasu. Źródło: Przewodnik laboratoryjny PSSC.
W ten sposób obrazy są uzyskiwane w regularnych odstępach czasu wahadła, na przykład co 0,1 lub co 0,2 sekundy, co pozwala nam poznać czas potrzebny na przejście z jednego punktu do drugiego.
Trzeba też odpowiednio oświetlić masę wahadła, umieszczając światła po obu stronach. Soczewicę należy pomalować na biało, aby poprawić kontrast tła, które składa się z rozłożonego na ziemi czarnego papieru.
Teraz musisz sprawdzić, czy wahadło omiata równe obszary w równych czasach. W tym celu wybiera się przedział czasowy i zaznacza na papierze punkty zajmowane przez wahadło w tym przedziale.
Na obrazie rysowana jest linia od środka owalu do tych punktów, dzięki czemu będziemy mieli pierwszy z obszarów omiatanych przez wahadło, które jest mniej więcej eliptycznym sektorem, jak pokazano poniżej:
Rysunek 5. Pole przekroju eliptycznego. Źródło: F. Zapata.
Obliczanie powierzchni przekroju eliptycznego
Za pomocą kątomierza mierzone są kąty θ o i θ 1 , a ten wzór służy do wyznaczania S, powierzchni sektora eliptycznego:
Z F (θ) podanym wzorem:
Zauważ, że a i b są odpowiednio osiami głównymi i małymi. Czytelnik musi się tylko martwić o dokładne zmierzenie półosi i kątów, ponieważ w Internecie dostępne są kalkulatory do łatwej oceny tego wyrażenia.
Jeśli jednak nalegasz na wykonanie obliczeń ręcznie, pamiętaj, że kąt θ jest mierzony w stopniach, ale podczas wprowadzania danych do kalkulatora wartości muszą być wyrażone w radianach.
Następnie należy zaznaczyć kolejną parę punktów, w których wahadło odwróciło ten sam przedział czasu, i narysować odpowiedni obszar, obliczając jego wartość tą samą procedurą.
Weryfikacja prawa równych obszarów
Na koniec pozostaje sprawdzenie, czy prawo pól jest spełnione, to znaczy, że równe obszary są zamiatane w równych czasach.
Czy wyniki trochę odbiegają od oczekiwanych? Należy zawsze pamiętać, że wszystkim pomiarom towarzyszy odpowiedni błąd eksperymentalny.
Bibliografia
- Kalkulator online Keisan. Powierzchnia eliptycznego kalkulatora sektorowego. Odzyskany z: keisan.casio.com.
- Openstax. Prawo ruchu planetarnego Keplera. Odzyskany z: openstax.org.
- PSSC. Fizyka laboratoryjna. Od redakcji Reverté. Odzyskany z: books.google.co.
- Palen, S. 2002. Astronomy. Seria Schaum. McGraw Hill.
- Pérez R. Prosty system z siłą centralną. Odzyskane z: francesphysics.blogspot.com
- Sterna, trzy prawa ruchu planet D. Keplera. Odzyskany z: phy6.org.