PRAWA WYKŁADNIKÓW (Z PRZYKŁADAMI I ROZWIĄZANYMI ĆWICZENIAMI) - MATEMATYKA - 2026

Te prawa wykładniki są te, które mają zastosowanie do tego numeru, który wskazuje, ile razy liczba bazowa musi być pomnożona przez siebie. Potęgi są również znane jako potęgi. Empowerment to operacja matematyczna utworzona przez podstawę (a), wykładnik (m) i potęgę (b), która jest wynikiem operacji.

Wykładniki są zwykle używane, gdy używane są bardzo duże ilości, ponieważ są to nic innego jak skróty, które reprezentują wielokrotność tej samej liczby określoną liczbę razy. Potęgi mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Wyjaśnienie praw wykładników

Jak wspomniano wcześniej, wykładniki są formą skróconą, która reprezentuje wielokrotne mnożenie liczb, gdzie wykładnik odnosi się tylko do liczby po lewej stronie. Na przykład:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

W takim przypadku liczba 2 jest podstawą potęgi, która zostanie pomnożona 3 razy zgodnie z wykładnikiem znajdującym się w prawym górnym rogu podstawy. Wyrażenie można odczytać na różne sposoby: 2 podniesione do 3 lub 2 podniesione do sześcianu.

Wykładniki wskazują również, ile razy można je podzielić, a aby odróżnić tę operację od mnożenia, wykładnik ma przed sobą znak minus (-) (jest ujemny), co oznacza, że ​​wykładnik jest w mianowniku a frakcja. Na przykład:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 16/1

Nie należy tego mylić z przypadkiem, w którym podstawa jest ujemna, ponieważ będzie to zależeć od tego, czy wykładnik jest nieparzysty, czy parzysty, aby określić, czy potęga będzie dodatnia czy ujemna. Więc musisz:

- Jeśli wykładnik jest równy, moc będzie dodatnia. Na przykład:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Jeśli wykładnik jest nieparzysty, moc będzie ujemna. Na przykład:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Istnieje specjalny przypadek, w którym jeśli wykładnik jest równy 0, potęga jest równa 1. Istnieje również możliwość, że podstawa wynosi 0; w takim przypadku, w zależności od wykładnika, potęga będzie nieokreślona lub nie.

Aby wykonać operacje matematyczne z wykładnikami, konieczne jest przestrzeganie kilku reguł lub norm, które ułatwiają znalezienie rozwiązania tych operacji.

Pierwsze prawo: potęga wykładnika równa 1

Gdy wykładnik wynosi 1, wynik będzie miał taką samą wartość podstawy: a ¹ = a.

Przykłady

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Drugie prawo: potęga wykładnika równa 0

Gdy wykładnik jest równy 0, a podstawa jest różna od zera, wynikiem będzie: a ⁰ = 1.

Przykłady

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Trzecie prawo: wykładnik ujemny

Ponieważ exponte jest ujemne, wynikiem będzie ułamek, w którym moc będzie mianownikiem. Na przykład, jeśli m jest dodatnie, to a ^-m = 1 / a ^m .

Przykłady

- 3 ^-1 = 1/3.

- ^6-2 = 1/6 ² = 1/36.

- ^8-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Czwarte prawo: pomnożenie uprawnień o równej podstawie

Aby pomnożyć potęgi, w których podstawy są równe i różne od 0, podstawa pozostaje, a wykładniki są dodawane: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Przykłady

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Piąta ustawa: podział władzy o równej podstawie

Aby podzielić potęgi, w których podstawy są równe i różne od 0, należy zachować podstawę, a wykładniki odjąć w następujący sposób: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Przykłady

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^październik = 6 ^(15-10) = 6 ^{: 5} .

- 49 ^grudnia / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Prawo szóste: zwielokrotnienie władzy o różnej podstawie

To prawo ma przeciwieństwo tego, co jest wyrażone w czwartym; to znaczy, jeśli masz różne podstawy, ale z tymi samymi wykładnikami, podstawy są mnożone, a wykładnik jest utrzymywany: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Przykłady

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Innym sposobem przedstawienia tego prawa jest podniesienie mnożenia do potęgi. Zatem wykładnik będzie należał do każdego z wyrażeń: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Przykłady

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Siódme prawo: podział władzy o różnej podstawie

Jeśli masz różne podstawy, ale te same wykładniki, podziel podstawy i zachowaj wykładnik: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Przykłady

- 30 ³ /2 ³ = (30/02) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80), ⁴ J = 5,5 ⁴ .

Podobnie, gdy dzielenie zostanie podniesione do potęgi, wykładnik będzie należał do każdego z wyrażeń: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Przykłady

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Jest przypadek, w którym wykładnik jest ujemny. Następnie, aby uzyskać wartość dodatnią, wartość licznika jest odwracana z wartością mianownika w następujący sposób:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Ósme prawo: potęga potęgi

Kiedy masz potęgę, która jest podniesiona do innej potęgi - to znaczy dwóch wykładników w tym samym czasie - podstawa jest zachowana, a wykładniki mnożone: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Przykłady

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ^{: 10} ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Dziewiąte prawo: ułamkowy wykładnik

Jeśli potęga ma ułamek jako wykładnik, rozwiązuje się go, przekształcając go w n-ty pierwiastek, gdzie licznik pozostaje wykładnikiem, a mianownik reprezentuje indeks pierwiastka:

Przykład

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Oblicz operacje między mocami, które mają różne podstawy:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Rozwiązanie

Stosując reguły wykładników, podstawy są mnożone w liczniku, a wykładnik jest zachowywany w następujący sposób:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Teraz, ponieważ mamy te same podstawy, ale z różnymi wykładnikami, podstawa jest zachowana, a wykładniki są odejmowane:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ^{: 2}

Ćwiczenie 2

Oblicz operacje między potęgami podniesionymi do innej potęgi:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Rozwiązanie

Stosując prawo, musisz:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3, ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

Bibliografia

1. Aponte, G. (1998). Podstawy matematyki podstawowej. Edukacja Pearson.
2. Corbalán, F. (1997). Matematyka stosowana w życiu codziennym.
3. Jiménez, JR (2009). Matematyka 1 WRZ.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra i trygonometria.
5. Rees, PK (1986). Przywróć.