Te dyskretne matematyki odpowiadają powierzchni matematyki, który jest odpowiedzialny za badania zbiór liczb naturalnych; to znaczy zbiór policzalnych liczb skończonych i nieskończonych, gdzie elementy mogą być policzone oddzielnie, jeden po drugim.

Te zbiory są znane jako zestawy dyskretne; Przykładem takich zbiorów są liczby całkowite, wykresy lub wyrażenia logiczne, które znajdują zastosowanie w różnych dziedzinach nauki, głównie w informatyce czy informatyce.

Opis

W matematyce dyskretnej procesy są policzalne, opierają się na liczbach całkowitych. Oznacza to, że liczby dziesiętne nie są używane, a zatem nie stosuje się przybliżeń ani limitów, jak w innych obszarach. Na przykład nieznana może być równa 5 lub 6, ale nigdy 4,99 lub 5,9.

Z drugiej strony, w reprezentacji graficznej zmienne będą dyskretne i są podawane ze skończonego zbioru punktów, które są liczone jeden po drugim, jak pokazano na rysunku:

Matematyka dyskretna wynika z potrzeby uzyskania dokładnych badań, które można łączyć i testować, aby zastosować je w różnych dziedzinach.

Do czego służy matematyka dyskretna?

Matematyka dyskretna jest używana w wielu obszarach. Wśród głównych z nich są:

Kombinatoryczny

Badanie zbiorów skończonych, w których elementy można uporządkować lub połączyć i policzyć.

Dyskretna teoria dystrybucji

Bada zdarzenia występujące w przestrzeniach, w których próbki mogą być policzalne, w których ciągłe rozkłady są używane do przybliżania dyskretnych rozkładów lub na odwrót.

Teoria informacji

Odnosi się do kodowania informacji, używanego do projektowania oraz przesyłania i przechowywania danych, takich jak sygnały analogowe.

Przetwarzanie danych

Dzięki matematyce dyskretnej problemy są rozwiązywane za pomocą algorytmów, a także to, co można obliczyć i czas potrzebny na to (złożoność).

Znaczenie matematyki dyskretnej w tej dziedzinie wzrosło w ostatnich dziesięcioleciach, zwłaszcza w rozwoju języków programowania i oprogramowania.

Kryptografia

Opiera się na matematyce dyskretnej do tworzenia struktur bezpieczeństwa lub metod szyfrowania. Przykładem tej aplikacji są hasła, wysyłające oddzielnie bity zawierające informacje.

Poprzez badanie właściwości liczb całkowitych i liczb pierwszych (teoria liczb) te metody zabezpieczeń mogą być tworzone lub niszczone.

Logika

Struktury dyskretne, które na ogół tworzą zbiór skończony, służą do udowodnienia twierdzeń lub na przykład weryfikacji oprogramowania.

Teoria grafów

Umożliwia rozwiązywanie problemów logicznych przy użyciu węzłów i linii tworzących rodzaj wykresu, jak pokazano na poniższym obrazku:

W matematyce istnieją różne zbiory, które grupują określone liczby według ich cech. Mamy więc na przykład:

- Zbiór liczb naturalnych N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

- Zbiór liczb całkowitych E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

- Podzbiór liczb wymiernych Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- Zbiór liczb rzeczywistych R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

Zestawy nazywane są dużymi literami alfabetu; podczas gdy elementy nazywane są małymi literami, w nawiasach klamrowych ({}) i oddzielone przecinkami (,). Są one generalnie reprezentowane na diagramach, takich jak Venn i Caroll, a także obliczeniowo.

Przy podstawowych operacjach, takich jak suma, przecięcie, dopełnienie, różnica i iloczyn kartezjański, obsługiwane są zbiory i ich elementy w oparciu o relację członkostwa.

Istnieje kilka rodzajów zbiorów, z których najczęściej badane w matematyce dyskretnej są:

Zbiór skończony

To taki, który ma skończoną liczbę elementów i odpowiada liczbie naturalnej. Na przykład A = {1, 2, 3,4} jest zbiorem skończonym, który ma 4 elementy.

Nieskończony zestaw księgowy

To taki, w którym istnieje zgodność między elementami zbioru a liczbami naturalnymi; to znaczy, z jednego elementu można kolejno wyszczególnić wszystkie elementy zbioru.

W ten sposób każdy element będzie odpowiadał każdemu elementowi zbioru liczb naturalnych. Na przykład:

Zbiór liczb całkowitych Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} można wypisać jako Z = {0, 1, -1, 2, -2…}. W ten sposób możliwe jest uzyskanie zgodności jeden do jednego między elementami Z i liczbami naturalnymi, jak widać na poniższym obrazku: