MOMENT BEZWŁADNOŚCI: WZORY, RÓWNANIA I PRZYKŁADY OBLICZEŃ - FIZYCZNY - 2024

Moment bezwładności ciała sztywnego w odniesieniu do pewnej osi obrotu, oznacza odporność na zmianę jego prędkości kątowej wokół wspomnianej osi. Jest proporcjonalna do masy, a także do położenia osi obrotu, ponieważ korpus, w zależności od swojej geometrii, może łatwiej obracać się wokół niektórych osi niż w innych.

Załóżmy, że duży obiekt (składający się z wielu cząstek) może obracać się wokół osi. Załóżmy, że działa siła F , przyłożona stycznie do elementu o masie Δm _i , który wytwarza moment obrotowy, określony przez τ _net = ∑ r _i x F _i . Wektor r _i jest położeniem Δm _i (patrz rysunek 2).

Rysunek 1. Momenty bezwładności różnych figur. Źródło: Wikimedia Commons.

Ten moment jest prostopadły do ​​płaszczyzny obrotu (kierunek + k = opuszczenie papieru). Ponieważ siła i promieniowy wektor położenia są zawsze prostopadłe, iloczyn poprzeczny pozostaje:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Rysunek 2. Cząstka należąca do sztywnego ciała stałego w ruchu obrotowym. Źródło: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Tom 1. Nauka Cengage.

Przyspieszenie _ai reprezentuje styczną składową przyspieszenia, ponieważ przyspieszenie promieniowe nie wpływa na moment obrotowy. Jako funkcję przyspieszenia kątowego α możemy wskazać, że:

Dlatego moment obrotowy netto wygląda następująco:

τ _netto = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Przyspieszenie kątowe α jest takie samo dla całego obiektu, dlatego nie ma na nie wpływu indeks dolny „i” i może opuścić sumę, która jest właśnie momentem bezwładności obiektu oznaczonym literą I:

Jest to moment bezwładności dyskretnego rozkładu masy. Gdy rozkład jest ciągły, sumowanie jest zastępowane przez całkę, a Δm staje się różnicą mas dm. Całka jest wykonywana po całym obiekcie:

Jednostki momentu bezwładności w międzynarodowym układzie SI to kg xm ² . Jest to wielkość skalarna i dodatnia, ponieważ jest iloczynem masy i kwadratu odległości.

Przykłady obliczeń

Rozciągnięty obiekt, taki jak pręt, dysk, kula lub inny, którego gęstość ρ jest stała i wiedząc, że gęstość jest stosunkiem masy do objętości, różnicę mas dm zapisuje się jako:

Podstawiając w całce moment bezwładności otrzymujemy:

Jest to ogólne wyrażenie, obowiązujące dla trójwymiarowego obiektu, którego objętość V i położenie r są funkcjami współrzędnych przestrzennych x, y i z. Zauważ, że będąc stałą, gęstość jest poza całką.

Gęstość ρ jest również znana jako gęstość nasypowa, ale jeśli obiekt jest bardzo płaski, jak arkusz lub bardzo cienki i wąski jak pręt, można zastosować inne formy gęstości, zobaczmy:

- W przypadku bardzo cienkich arkuszy gęstość, którą należy zastosować, to σ, gęstość powierzchniowa (masa na jednostkę powierzchni), a dA to różnica powierzchni.

- A jeśli jest to cienki pręt, dla którego istotna jest tylko długość, stosuje się liniową gęstość masy λ i różnicę długości, zgodnie z osią używaną jako odniesienie.

W poniższych przykładach wszystkie obiekty są uważane za sztywne (nie odkształcalne) i mają jednakową gęstość.

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek

W tym miejscu obliczymy moment bezwładności cienkiego, sztywnego, jednorodnego pręta o długości L i masie M względem osi przechodzącej przez ośrodek.

Najpierw konieczne jest ustalenie układu współrzędnych i zbudowanie figury o odpowiedniej geometrii, na przykład:

Rysunek 3. Geometria do obliczenia momentu bezwładności cienkiego pręta względem osi pionowej przechodzącej przez jego środek. Źródło: F. Zapata.

Oś X wzdłuż pręta i oś Y zostały wybrane jako oś obrotu. Procedura wyznaczania całki wymaga również wybrania różniczki masy na pręcie, zwanej dm, która ma różniczkę długości dx i znajduje się w dowolnym położeniu x względem środka x = 0.

Zgodnie z definicją liniowej gęstości masy λ:

Ponieważ gęstość jest jednorodna, co jest ważne dla M i L, jest również ważne dla dm i dx:

Z drugiej strony element bryłowy znajduje się w pozycji x, więc podstawiając w definicji tę geometrię, otrzymujemy całkę oznaczoną, której granicami są końce pręta według układu współrzędnych:

Podstawiając gęstość liniową λ = M / L:

Aby znaleźć moment bezwładności pręta względem innej osi obrotu, na przykład przechodzącej przez jedną z jej skrajności, możesz skorzystać z twierdzenia Steinera (patrz ćwiczenie rozwiązane na końcu) lub wykonać bezpośrednie obliczenia podobne do pokazanego tutaj, ale odpowiednio modyfikując geometrię.

Moment bezwładności dysku względem osi przechodzącej przez jego środek

Bardzo cienki dysk o znikomej grubości to płaska figura. Jeżeli masa jest równomiernie rozłożona na całej powierzchni obszaru A, gęstość masy σ wynosi:

Zarówno dm, jak i dA odpowiadają masie i powierzchni pierścienia różnicowego pokazanej na rysunku. Zakładamy, że cały zespół obraca się wokół osi y.

Możesz sobie wyobrazić, że dysk składa się z wielu koncentrycznych pierścieni o promieniu r, z których każdy ma swój moment bezwładności. Dodając udziały wszystkich pierścieni aż do osiągnięcia promienia R, otrzymamy całkowity moment bezwładności dysku.

Rysunek 4. Geometria do obliczenia momentu bezwładności dysku względem osi osiowej. Źródło: F. Zapata.

Gdzie M reprezentuje całą masę dysku. Powierzchnia dysku zależy od jego promienia r jako:

Wyprowadzenie w odniesieniu do r:

Zastępując powyższe w definicji I:

Podstawiając σ = M / (π.R ² ) otrzymujemy:

Moment bezwładności stałej kuli o średnicy

Sferę o promieniu R można traktować jako szereg dysków ułożonych jeden na drugim, gdzie każdy dysk o nieskończenie małej masie dm, promieniu r i grubości dz ma moment bezwładności określony wzorem:

Aby znaleźć tę różnicę, po prostu wzięliśmy wzór z poprzedniej sekcji i podstawiliśmy odpowiednio M i R dla dm i r. Taki dysk można zobaczyć na figurze 5.

Rysunek 5. Geometria do obliczenia momentu bezwładności bryły kuli o promieniu R względem osi przechodzącej przez średnicę. Źródło: F. Zapata.

Sumując wszystkie nieskończenie małe momenty bezwładności ułożonych dysków, otrzymujemy całkowity moment bezwładności kuli:

Co jest równoważne z:

Aby rozwiązać całkę, musisz odpowiednio wyrazić dm. Jak zawsze osiąga się to z gęstości:

Objętość dysku różnicowego wynosi:

Wysokość krążka to grubość dz, a powierzchnia podstawy πr ² , stąd:

A podstawiając w proponowanej całce wyglądałoby to tak:

Ale przed całkowaniem musimy zauważyć, że r - promień dysku - zależy od z i R - promień kuli-, jak widać na rysunku 5. Używając twierdzenia Pitagorasa:

Co prowadzi nas do:

Aby dokonać całkowania po całej sferze, zauważamy, że z waha się między –R i R, dlatego:

Wiedząc, że ρ = M / V = ​​M / jest ostatecznie otrzymywane po uproszczeniu:

Moment bezwładności litego walca względem osi osiowej

W przypadku tego obiektu zastosowano metodę podobną do zastosowanej w przypadku kuli, tyle że tym razem łatwiej jest wyobrazić sobie walec złożony z cylindrycznych skorup o promieniu r, grubości dr i wysokości H, tak jakby były warstwami cebuli. .

Rysunek 6. Geometria do obliczenia momentu bezwładności bryłowego walca o promieniu R względem osi osiowej. Źródło: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Tom 1. Cengage.

Objętość dV warstwy cylindrycznej wynosi:

Dlatego masa powłoki wynosi:

To wyrażenie zostaje zastąpione w definicji momentu bezwładności:

Z powyższego równania wynika, że ​​moment bezwładności walca nie zależy od jego długości, a jedynie od jego masy i promienia. Gdyby L miał się zmienić, moment bezwładności wokół osi osiowej pozostałby taki sam. Z tego powodu I cylindra pokrywa się z poprzednio obliczoną cienką tarczą.

Moment bezwładności prostokątnej blachy względem osi przechodzącej przez jego środek

Pozioma oś Y została wybrana jako oś obrotu. Poniższy rysunek przedstawia geometrię wymaganą do przeprowadzenia integracji:

Rysunek 7. Geometria do obliczania momentu bezwładności płyty prostokątnej względem osi równoległej do blachy i przechodzącej przez jej środek. Źródło: F. Zapata.

Element obszaru zaznaczony na czerwono jest prostokątny. Jego powierzchnia to podstawa x wysokość, dlatego:

Dlatego różnica mas wynosi:

Jeśli chodzi o odległość od elementu obszaru do osi obrotu, jest to zawsze z. Wszystko to podstawiamy w całce z momentu bezwładności:

Teraz gęstość masy powierzchniowej σ jest zastąpiona przez:

I na pewno wygląda to tak:

Zauważ, że jest jak cienki pasek.

Moment bezwładności kwadratowego arkusza względem osi przechodzącej przez jego środek

W przypadku kwadratu o boku L, w poprzednim wyrażeniu dotyczącym prostokąta wystarczy podstawić wartość b zamiast L:

Twierdzenia o momencie bezwładności

Istnieją dwa szczególnie przydatne twierdzenia, które upraszczają obliczanie momentów bezwładności w stosunku do innych osi, które w przeciwnym razie mogłyby być trudne do znalezienia z powodu braku symetrii. Te twierdzenia to:

Twierdzenie Steinera

Nazywany również twierdzeniem o osiach równoległych, wiąże moment bezwładności względem osi z inną, która przechodzi przez środek masy obiektu, o ile osie są równoległe. Aby go zastosować, trzeba znać odległość D między obiema osiami i oczywiście masę M obiektu.

Niech Ja _{z będzie} momentem bezwładności obiektu rozciągniętym względem osi z, I _CM momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy (CM) tego obiektu, wówczas jest spełnione, że:

Lub w zapisie poniższego rysunku: I _{z '} = I _z + Md ²

Rysunek 8. Twierdzenie Steinera lub osie równoległe. Źródło: Wikimedia Commons. Jack See

Twierdzenie o osiach prostopadłych

To twierdzenie odnosi się do powierzchni płaskich i wygląda następująco: moment bezwładności obiektu płaskiego wokół osi prostopadłej do niego jest sumą momentów bezwładności wokół dwóch osi prostopadłych do pierwszej osi:

Rysunek 9. Twierdzenie o osiach prostopadłych. Źródło: F. Zapata.

Jeśli obiekt ma taką symetrię, że ja _x i ja _y są równe, to jest prawdą, że:

Ćwiczenie rozwiązane

Znajdź moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców, jak pokazano na rysunku 1 (poniżej i po prawej stronie) i rysunku 10.

Rysunek 10. Moment bezwładności jednorodnego pręta wokół osi przechodzącej przez jeden koniec. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie:

Mamy już moment bezwładności pręta wokół osi przechodzącej przez jego geometryczny środek. Ponieważ pręt jest jednorodny, jego środek ciężkości znajduje się w tym punkcie, więc to będzie nasz I _CM do zastosowania twierdzenia Steinera.

Jeśli długość pręta wynosi L, oś z znajduje się w odległości D = L / 2, dlatego:

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. Osoba. 190-200.
3. Twierdzenie o osi równoległej. Odzyskane z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. Cengage.
5. Uniwersytet w Sewilli. Moment bezwładności ciał kulistych. Odzyskany z: laplace.us.es.
6. Uniwersytet w Sewilli. Moment bezwładności układu cząstek. Odzyskany z: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Twierdzenie o osi równoległej. Odzyskane z: en.wikipedia.org