LICZBY ZESPOLONE: ​​WŁASNOŚCI, PRZYKŁADY, DZIAŁANIA - MATEMATYKA - 2026

Te liczby zespolone są zestaw liczbowy obejmujące liczb rzeczywistych, a wszystkie korzenie wielomianów tym pary korzeni numerami ujemnymi. Te pierwiastki nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych, ale w liczbach zespolonych jest rozwiązanie.

Liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i części zwanej „urojoną”. Część rzeczywista nazywana jest na przykład a, a część urojoną ib, z aib liczbami rzeczywistymi i „i” jako jednostką urojoną. W ten sposób liczba zespolona przyjmuje postać:

Rysunek 1. - Dwumianowa reprezentacja liczby zespolonej w ujęciu części rzeczywistej i urojonej. Źródło: Pixabay.

Przykłady liczb zespolonych to 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Ale zanim zaczniemy z nimi pracować, zobaczmy, skąd pochodzi urojona jednostka i, biorąc pod uwagę to równanie kwadratowe:

x ² - 10x + 34 = 0

W którym a = 1, b = -10 ic = 34.

Stosując formułę rozdzielczą do określenia rozwiązania, znajdujemy:

Jak określić wartość √-36? Nie ma liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu daje ilość ujemną. Następnie stwierdza się, że to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań.

Możemy jednak napisać tak:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Jeśli zdefiniujemy pewną wartość x taką, że:

x ² = -1

Więc:

x = ± √-1

A powyższe równanie miałoby rozwiązanie. Dlatego wyimaginowaną jednostkę zdefiniowano jako:

i = √-1

A więc:

√-36 = 6i

Nad rozwiązaniem podobnych problemów pracowało wielu matematyków starożytności, zwłaszcza renesansowy Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) i Raffaele Bombelli (1526-1572).

Wiele lat później René Descartes (1596-1650) nazwał ilości „urojone”, jak w przykładzie √-36. Z tego powodu √-1 jest nazywane jednostką urojoną.

Własności liczb zespolonych

-Zbiór liczb zespolonych jest oznaczony jako C i zawiera liczby rzeczywiste R i liczby urojone Im. Zestawy liczb są przedstawione na diagramie Venna, jak pokazano na poniższym rysunku:

Rysunek 2. Diagram Venna zbiorów liczb. Źródło: F. Zapata.

-Cała liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i części urojonej.

-Gdy część urojoną liczby zespolonej wynosi 0, jest to czysta liczba rzeczywista.

-Jeśli część rzeczywista liczby zespolonej wynosi 0, to liczba jest czysto urojona.

-Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich część rzeczywista i część urojona są takie same.

-W przypadku liczb zespolonych wykonywane są znane operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, iloczynu i wzmacniania, w wyniku czego powstaje kolejna liczba zespolona.

Reprezentacja liczb zespolonych

Liczby zespolone można przedstawić na różne sposoby. Oto najważniejsze z nich:

- Postać dwumianowa

Jest to forma podana na początku, gdzie z jest liczbą zespoloną, a jest częścią rzeczywistą, b jest częścią urojoną, a i jest jednostką urojoną:

Lub też:

Jednym ze sposobów wykreślenia liczby zespolonej jest przejście przez płaszczyznę zespoloną pokazaną na tym rysunku. Wyimaginowana oś Im jest pionowa, podczas gdy rzeczywista oś jest pozioma i jest oznaczona jako Re.

Liczba zespolona z jest reprezentowana na tej płaszczyźnie jako punkt o współrzędnych (x, y) lub (a, b), tak jak jest to zrobione z punktami płaszczyzny rzeczywistej.

Odległość od początku do punktu z jest modułem liczby zespolonej oznaczonej jako r, podczas gdy φ jest kątem, jaki r tworzy z osią rzeczywistą.

Rysunek 3. Reprezentacja liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej. Źródło: Wikimedia Commons.

Ta reprezentacja jest ściśle związana z reprezentacją wektorów na płaszczyźnie rzeczywistej. Wartość r odpowiada modułowi liczby zespolonej.

- Kształt biegunowy

Postać biegunowa polega na wyrażeniu liczby zespolonej przez podanie wartości r i φ. Jeśli spojrzymy na figurę, wartość r odpowiada przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Nogi są warte a i b lub x i y.

Z postaci dwumianowej lub dwumianowej możemy przejść do postaci polarnej przez:

Kąt φ to kąt utworzony przez odcinek r z osią poziomą lub urojoną. Jest znany jako argument liczby zespolonej. W ten sposób:

Argument ma nieskończone wartości, biorąc pod uwagę, że za każdym razem, gdy wykonywany jest obrót, który jest wart 2π radianów, r ponownie zajmuje tę samą pozycję. W ten sposób, argument z, oznaczony Arg (z), jest wyrażony w ten sposób:

Gdzie k jest liczbą całkowitą i służy do wskazania liczby zwojów wykonanych: 2, 3, 4…. Znak wskazuje kierunek obrotów, jeśli jest zgodny lub przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Rysunek 4. Przedstawienie biegunowe liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej. Źródło: Wikimedia Commons.

A jeśli chcemy przejść od postaci biegunowej do postaci dwumianowej, używamy stosunków trygonometrycznych. Z poprzedniego rysunku widać, że:

x = r cos φ

y = r sin φ

W ten sposób z = r (cos φ + i sin φ)

Który jest w skrócie następujący:

z = r cis φ

Przykłady liczb zespolonych

Następujące liczby zespolone podane są w postaci dwumianowej:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

A te w postaci uporządkowanej pary:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Wreszcie ta grupa jest podana w postaci biegunowej lub trygonometrycznej:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Do czego one służą?

Przydatność liczb zespolonych wykracza poza rozwiązywanie równania kwadratowego pokazanego na początku, ponieważ są one niezbędne w dziedzinie inżynierii i fizyki, zwłaszcza w:

-Badanie fal elektromagnetycznych

-Analiza prądu przemiennego i napięcia

-Modelowanie wszelkiego rodzaju sygnałów

- Teoria względności, w której czas przyjmuje się jako wyimaginowaną wielkość.

Złożone operacje liczbowe

Na liczbach zespolonych możemy wykonywać wszystkie operacje, które są wykonywane na liczbach rzeczywistych. Niektóre są łatwiejsze do zrobienia, jeśli liczby mają postać dwumianową, na przykład dodawanie i odejmowanie. W przeciwieństwie do tego mnożenie i dzielenie są prostsze, jeśli przeprowadza się je w postaci polarnej.

Zobaczmy kilka przykładów:

- Przykład 1

Dodaj z ₁ = 2 + 5i iz ₂ = -3 -8i

Rozwiązanie

Rzeczywiste części są dodawane oddzielnie od części urojonych:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Przykład 2

Pomnóż z ₁ = 4 cis 45º iz ₂ = 5 cis 120º

Rozwiązanie

Można wykazać, że iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci biegunowej lub trygonometrycznej daje:

z ₁ . z ₂ = R ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Według tego:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Podanie

Prostym zastosowaniem liczb zespolonych jest znalezienie wszystkich pierwiastków równania wielomianowego, takiego jak to pokazane na początku artykułu.

W przypadku równania x ² - 10x + 34 = 0, stosując wzór rozstrzygający otrzymujemy:

Dlatego rozwiązania są następujące:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Bibliografia

1. Earl, R. Liczby zespolone. Odzyskane z: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Urozmaicony. Edycje CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Wybór tematów matematycznych. Publikacje Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Liczby zespolone. Odzyskane z: en.wikipedia.org