KĄT ZEROWY: DEFINICJA I CHARAKTERYSTYKA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Kąt zerowy jest, którego środek jest 0, zarówno w stopniach radianach lub innym systemem pomiaru kąta. Dlatego brakuje mu szerokości lub otwarcia, takiego jak ten utworzony między dwiema równoległymi liniami.

Chociaż jego definicja brzmi dość prosto, kąt zerowy jest bardzo przydatny w wielu zastosowaniach fizycznych i inżynieryjnych, a także w nawigacji i projektowaniu.

Rysunek 1. Pomiędzy prędkością a przyspieszeniem samochodu występuje kąt zerowy, dlatego samochód jedzie coraz szybciej. Źródło: Wikimedia Commons.

Istnieją wielkości fizyczne, które muszą być wyrównane równolegle, aby osiągnąć określone efekty: jeśli samochód porusza się po linii prostej wzdłuż autostrady i między jego wektorem prędkości v a wektorem przyspieszenia a wynosi 0 °, samochód porusza się coraz szybciej, ale jeśli samochód hamulce, jego przyspieszenie jest przeciwne do prędkości (patrz rysunek 1).

Poniższy rysunek przedstawia różne typy kątów, w tym kąt zerowy w prawo. Jak widać, kąt 0 ° nie ma szerokości ani otwarcia.

Rysunek 2. Typy kątów, w tym kąt zerowy. Źródło: Wikimedia Commons. Orias.

Przykłady kątów zerowych

Wiadomo, że równoległe linie tworzą ze sobą kąt zerowy. Gdy masz linię poziomą, jest ona równoległa do osi x układu współrzędnych kartezjańskich, dlatego jej nachylenie względem niej wynosi 0. Innymi słowy, linie poziome mają zerowe nachylenie.

Rysunek 3. Poziome linie mają zerowe nachylenie. Źródło: F. Zapata.

Również stosunki trygonometryczne kąta zerowego wynoszą 0, 1 lub nieskończoność. Dlatego kąt zerowy występuje w wielu sytuacjach fizycznych, które obejmują operacje na wektorach. Oto powody:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-s 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Przydadzą się też do przeanalizowania kilku przykładów sytuacji, w których obecność kąta zerowego odgrywa fundamentalną rolę:

- Wpływ kąta zerowego na wielkości fizyczne

Dodawanie wektorowe

Gdy dwa wektory są równoległe, kąt między nimi wynosi zero, jak pokazano na rysunku 4a powyżej. W tym przypadku sumę obu oblicza się przez umieszczenie jednego po drugim, a wielkość wektora sumy jest sumą wielkości addendów (rysunek 4b).

Rysunek 4. Suma wektorów równoległych, w tym przypadku kąt między nimi jest kątem zerowym. Źródło: F. Zapata.

Gdy dwa wektory są równoległe, kąt między nimi wynosi zero, jak pokazano na rysunku 4a powyżej. W tym przypadku sumę obu oblicza się, umieszczając jedną po drugiej, a wielkość wektora sumy jest sumą wielkości addendów (rysunek 4b)

Moment obrotowy lub moment obrotowy

Moment obrotowy lub moment obrotowy powoduje obrót ciała. Zależy to od wielkości przyłożonej siły i sposobu jej przyłożenia. Bardzo reprezentatywnym przykładem jest klucz na rysunku.

Aby uzyskać najlepszy efekt obracania, siłę przykłada się prostopadle do rękojeści klucza, w górę lub w dół, ale nie oczekuje się obrotu, jeśli siła jest równoległa do rękojeści.

Rysunek 5. Gdy kąt między wektorami położenia i siły wynosi zero, nie jest wytwarzany moment obrotowy, a zatem nie występuje efekt wirowania. Źródło: F. Zapata.

Matematycznie moment obrotowy τ definiuje się jako iloczyn wektorowy lub iloczyn poprzeczny między wektorami r (wektor położenia) i F (wektor siły) z rysunku 5:

τ = r x F.

Wielkość momentu obrotowego wynosi:

τ = r F sin θ

Θ czym kąt pomiędzy R i F . Kiedy sin θ = 0 moment obrotowy wynosi zero, w tym przypadku θ = 0º (lub również 180º).

Przepływ pola elektrycznego

Strumień pola elektrycznego jest wielkością skalarną, która zależy od natężenia pola elektrycznego, a także od orientacji powierzchni, przez którą przechodzi.

Na figurze 6 znajduje się kołowa powierzchnia obszarów A, przez które linie pola elektrycznego E towarzysza . Orientację powierzchni określa wektor normalny n . Po lewej stronie pole i wektor normalny tworzą dowolny kąt ostry θ, w środku tworzą ze sobą kąt zerowy, a po prawej są prostopadłe.

Gdy E i n są prostopadłe, linie pola nie przecinają powierzchni, a zatem strumień wynosi zero, podczas gdy kąt między E i n wynosi zero, linie całkowicie przecinają powierzchnię.

Oznaczając strumień pola elektrycznego grecką literą Φ (czytaj „fi”), jego definicja jednolitego pola, jak na rysunku, wygląda następująco:

Φ = E • n A

Punkt pośrodku obu wektorów oznacza iloczyn skalarny lub skalarny, który jest alternatywnie definiowany następująco:

Φ = E • n A = EAcosθ

Pogrubienie i strzałki nad literą to zasoby umożliwiające rozróżnienie wektora i jego wielkości, co jest oznaczone zwykłymi literami. Ponieważ cos 0 = 1, strumień jest maksymalny, gdy E i n są równoległe.

Rysunek 6. Strumień pola elektrycznego zależy od orientacji między powierzchnią a polem elektrycznym. Źródło: F. Zapata.

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Dwie siły P i Q działają jednocześnie na punkt obiektu X, obie siły początkowo tworzą między sobą kąt θ. Co dzieje się z wielkością siły wypadkowej, gdy θ spada do zera?

Rysunek 7. Kąt pomiędzy dwiema siłami działającymi na ciało zmniejsza się, aż zostanie ono zniesione, w którym to przypadku wielkość siły uzyskanej przybiera wartość maksymalną. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Wielkość wypadkowej siły Q + P zwiększa się stopniowo, aż do osiągnięcia maksimum, gdy Q i P są całkowicie równoległe (rysunek 7 po prawej).

- Ćwiczenie 2

Wskaż, czy kąt zerowy jest rozwiązaniem następującego równania trygonometrycznego:

Rozwiązanie

Równanie trygonometryczne to takie, w którym niewiadoma jest częścią argumentu stosunku trygonometrycznego. Aby rozwiązać proponowane równanie, wygodnie jest użyć wzoru na cosinus kąta podwójnego:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Ponieważ w ten sposób argument po lewej stronie staje się x zamiast 2x. Więc:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Z drugiej strony cos ² x + sin ² x = 1, więc:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Termin cos ² x anuluje się i pozostaje:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Teraz następuje zmiana zmiennej: sinx = u i równanie wygląda następująco:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Czyje rozwiązania to: u = 0 iu = -4. Zwracając zmianę mielibyśmy dwie możliwości: sin x = 0 i sinx = -4. To ostatnie rozwiązanie nie jest wykonalne, ponieważ sinus dowolnego kąta zawiera się w przedziale od -1 do 1, więc pozostaje nam pierwsza alternatywa:

sin x = 0

Dlatego rozwiązaniem jest x = 0º, ale działa również każdy kąt, którego sinus równy jest 0, który może również wynosić 180º (π radianów), 360º (2 π radianów) oraz odpowiednie wartości ujemne.

Najbardziej ogólnym rozwiązaniem równania trygonometrycznego jest: x = kπ, gdzie k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k liczba całkowita.

Bibliografia

1. Baldor, A. 2004. Geometria płaszczyzny i przestrzeni z trygonometrią. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 3. Systemy cząstek. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 5. Oddziaływanie elektryczne. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Rodzaje kątów. Odzyskany z: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trygonometria i geometria analityczna. McGraw Hill Interamericana.