ORTOEDR: WZORY, POLE, OBJĘTOŚĆ, PRZEKĄTNA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Orthohedron jest objętościowe lub trójwymiarowe geometrycznej, która charakteryzuje się sześć prostokątne powierzchnie, tak że przeciwległe powierzchnie są w równoległych płaszczyznach i są jednakowe lub przystające prostokąty. Z drugiej strony ściany przylegające do danej ściany są w płaszczyznach prostopadłych do powierzchni początkowej.

Ortogonalny pryzmat można również uważać za prostopadły pryzmat o prostokątnej podstawie, w którym dwuścienne kąty utworzone przez płaszczyzny dwóch ścian przylegających do wspólnej krawędzi mają wartość 90º. Kąt dwuścienny między dwiema ścianami jest mierzony na przecięciu ścian ze wspólną dla nich prostopadłą płaszczyzną.

Rysunek 1. Ortoedr. Źródło: F. Zapata z Geogebra.

Podobnie ortoedr jest prostokąta równoległościanem, ponieważ w ten sposób równoległościan definiuje się jako wolumetryczną figurę sześciu ścian, które są równoległe dwa na dwa.

W każdym równoległościanie ściany są równoległobokami, ale w równoległościanach prostokątnych ściany muszą być prostokątne.

Części ortoedru

Części wielościanu, takie jak ortokan, to:

-Aristas

-Vertices

-Twarze

Kąt między dwiema krawędziami powierzchni prostokąta pokrywa się z kątem dwuściennym utworzonym przez jego pozostałe dwie powierzchnie przylegające do każdej z krawędzi, tworząc kąt prosty. Poniższy obraz wyjaśnia każdą koncepcję:

Rysunek 2. Części prostokąta. Źródło: F. Zapata z Geogebra.

-W sumie ortoedr ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków.

-Kąt pomiędzy dowolnymi dwoma krawędziami jest kątem prostym.

-Kąt dwuścienny między dowolnymi dwiema ścianami jest również prosty.

-W każdej twarzy znajdują się cztery wierzchołki, a na każdym wierzchołku znajdują się trzy wzajemnie prostopadłe ściany.

Wzory ortodontyczne

Powierzchnia

Powierzchnia ortoedru to suma pól jego ścian.

Jeśli trzy krawędzie, które stykają się w wierzchołku, mają wymiary a, b i c, jak pokazano na rysunku 3, wówczas powierzchnia przednia ma pole c⋅b, a powierzchnia dolna również ma obszar c⋅b.

Następnie obie boczne powierzchnie mają pole a⋅b każda. I wreszcie, powierzchnia podłogi i sufitu ma powierzchnię tienenc.

Rysunek 3. Ortoedr o wymiarach a, b, c. Przekątna wewnętrzna D i przekątna zewnętrzna d.

Dodanie obszaru wszystkich twarzy daje:

Biorąc wspólny czynnik i porządkując warunki:

Tom

Jeśli ortodon jest traktowany jako pryzmat, to jego objętość jest obliczana w następujący sposób:

W tym przypadku podłoga o wymiarach c i a jest traktowana jako prostokątna podstawa, więc powierzchnia podstawy wynosi c⋅a.

Wysokość jest określona przez długość b krawędzi prostopadłych do powierzchni boków a i c.

Po pomnożeniu pola powierzchni podstawy (a⋅c) przez wysokość b otrzymujemy objętość V ortoedru:

Przekątna wewnętrzna

W prostokącie występują dwa rodzaje przekątnych: zewnętrzne i wewnętrzne.

Zewnętrzne przekątne znajdują się na prostokątnych ścianach, podczas gdy wewnętrzne przekątne to segmenty, które łączą dwa przeciwległe wierzchołki, rozumiane przez przeciwległe wierzchołki, które nie mają żadnej krawędzi.

W prostokącie znajdują się cztery wewnętrzne przekątne, wszystkie jednakowej wielkości. Długość wewnętrznych przekątnych można uzyskać, stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.

Długość d zewnętrznej przekątnej lica stropu prostokąta spełnia zależność Pitagorasa:

d ² = a ² + c ²

Podobnie wewnętrzna przekątna miary D spełnia zależność pitagorejską:

D ² = d ² + b ² .

Łącząc dwa poprzednie wyrażenia, mamy:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Wreszcie, długość dowolnej z wewnętrznych przekątnych prostokąta jest określona następującym wzorem:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Przykłady

- Przykład 1

Murarz buduje zbiornik w kształcie prostokąta o wymiarach wewnętrznych: 6 mx 4 mw podstawie i 2 m wysokości. Pyta:

a) Określić wewnętrzną powierzchnię zbiornika, czy jest ona całkowicie otwarta od góry.

b) Obliczyć objętość wewnętrznej przestrzeni zbiornika.

c) Znajdź długość wewnętrznej przekątnej.

d) Jaka jest pojemność zbiornika w litrach?

Rozwiązanie

Przyjmiemy wymiary podstawy prostokątnej a = 4 mi c = 6 m oraz wysokość jako b = 2 m

Pole prostokąta o podanych wymiarach określa zależność:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

To jest do powiedzenia:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Poprzednim wynikiem jest powierzchnia zamkniętego prostokąta o podanych wymiarach, ale ponieważ jest to zbiornik całkowicie odsłonięty w jego górnej części, aby uzyskać powierzchnię ścian wewnętrznych zbiornika, należy odjąć obszar brakującego wieczka, czyli:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Ostatecznie powierzchnia wewnętrzna zbiornika będzie wynosić: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Rozwiązanie b

Objętość wewnętrzna zbiornika jest określona przez objętość prostokąta wewnętrznych wymiarów zbiornika:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Rozwiązanie c

Wewnętrzna przekątna ośmiościanu o wymiarach wnętrza zbiornika ma długość D określoną wzorem:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Wykonując wskazane operacje posiadamy:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Rozwiązanie d

Aby obliczyć pojemność zbiornika w litrach, należy wiedzieć, że objętość decymetra sześciennego jest równa pojemności litra. Wcześniej obliczono go jako objętość w metrach sześciennych, ale należy go przekształcić na decymetry sześcienne, a następnie na litry:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4800 dm ³ = 4800 l

- Ćwiczenie 2

Szklane akwarium ma kształt sześcienny o boku 25 cm. Określić powierzchnię wm ² , objętość w litrach i długość przekątnej wewnętrznej w cm.

Rysunek 4. Szklane akwarium w kształcie sześcianu.

Rozwiązanie

Powierzchnia jest obliczana przy użyciu tego samego wzoru na ortodon, ale biorąc pod uwagę, że wszystkie wymiary są identyczne:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1250 cm ²

Objętość sześcianu określa:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Długość D wewnętrznej przekątnej wynosi:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Bibliografia

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Odzyskany z: youtube.com.
2. Calculation.cc. Ćwiczenia i rozwiązane problemy powierzchni i objętości. Odzyskany z: calco.cc.
3. Salvador R. Pyramid + orthohedron with GEOGEBRA (IHM). Odzyskany z: youtube.com
4. Weisstein, Eric. „Ortoedr”. MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Ortoedr Odzyskany z: es.wikipedia.com