PARABOLOID HIPERBOLICZNY: DEFINICJA, WŁAŚCIWOŚCI I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Hiperboliczny paraboloida jest powierzchnię, której ogólne równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y, z) spełnia następujące równanie:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Nazwa „paraboloid” wzięła się stąd, że zmienna z zależy od kwadratów zmiennych x i y. Natomiast przymiotnik „hiperboliczny” wynika z faktu, że przy ustalonych wartościach z mamy równanie hiperboli. Kształt tej nawierzchni przypomina siodło konia.

Rysunek 1. Paraboloid hiperboliczny z = x ² - y ² . Źródło: F. Zapata na podstawie Wolfram Mathematica.

Opis paraboloidy hiperbolicznej

Aby zrozumieć naturę paraboloidy hiperbolicznej, zostanie przeprowadzona następująca analiza:

1. - Weźmiemy konkretny przypadek a = 1, b = 1, to znaczy, że równanie kartezjańskie paraboloidy pozostaje jako z = x ² - y ² .

2.- Płaszczyzny są uważane za równoległe do płaszczyzny ZX, to znaczy y = ctte.

3. - Gdy y = ctte, pozostaje z = x ² - C, które reprezentują parabole z gałęziami do góry i wierzchołkiem poniżej płaszczyzny XY.

Rysunek 2. Rodzina krzywych z = x ² - C. Źródło: F. Zapata za pomocą programu Geogebra.

4. - Gdy x = ctte, pozostaje z = C - y ² , które reprezentują parabole z gałęziami w dół i wierzchołkiem powyżej płaszczyzny XY.

Rysunek 3. Rodzina krzywych z = C - y ² . Źródło: F. Zapata przez Geogebra.

5.- Przy z = ctte pozostaje C = x ² - y ² , które reprezentują hiperbolę w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny XY. Gdy C = 0, istnieją dwie proste (pod kątem + 45º i -45º względem osi X), które przecinają się w punkcie początkowym na płaszczyźnie XY.

Rysunek 4. Rodzina krzywych x ² - y ² = C. Źródło: F. Zapata za pomocą programu Geogebra ..

Właściwości paraboloidy hiperbolicznej

1. - Cztery różne punkty w przestrzeni trójwymiarowej definiują jedną i tylko jedną paraboloidę hiperboliczną.

2.- Paraboloida hiperboliczna to powierzchnia o podwójnych liniach. Oznacza to, że pomimo zakrzywionej powierzchni, dwie różne linie przechodzą przez każdy punkt paraboloidy hiperbolicznej, która całkowicie należy do paraboloidy hiperbolicznej. Druga powierzchnia, która nie jest płaszczyzną i jest podwójnie rządzona, jest hiperboloidą obrotu.

To właśnie ta druga właściwość paraboloidy hiperbolicznej pozwoliła na jej szerokie zastosowanie w architekturze, ponieważ powierzchnia może być utworzona z prostych belek lub strun.

Druga właściwość paraboloidy hiperbolicznej umożliwia jej alternatywną definicję: jest to powierzchnia, którą można wygenerować za pomocą ruchomej linii prostej równoległej do ustalonej płaszczyzny i przeciąć dwie ustalone linie, które służą jako prowadnica. Poniższy rysunek wyjaśnia tę alternatywną definicję paraboloidy hiperbolicznej:

Rysunek 5. Paraboloida hiperboliczna to powierzchnia o podwójnych liniach. Źródło: F. Zapata.

Przykłady praktyczne

- Przykład 1

Pokaż, że równanie: z = xy, odpowiada paraboloidzie hiperbolicznej.

Rozwiązanie

Transformacja zostanie zastosowana do zmiennych xiy odpowiadających obrotowi osi kartezjańskich względem osi Z o + 45º. Stare współrzędne x i y są przekształcane na nowe x 'i y' zgodnie z następującymi zależnościami:

x = x '- y'

y = x '+ y'

podczas gdy współrzędna z pozostaje taka sama, to znaczy z = z '.

Podstawiając w równaniu z = xy otrzymujemy:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Stosując zauważalny iloczyn różnicy przez sumę równą różnicy kwadratów, otrzymujemy:

z '= x' ² - y ' ²

co wyraźnie odpowiada pierwotnie podanej definicji paraboloidy hiperbolicznej.

Przechwycenie płaszczyzn równoległych do osi XY z paraboloidą hiperboliczną z = xy wyznacza hiperbolę równoboczną, której asymptoty są płaszczyzny x = 0 i y = 0.

- Przykład 2

Określ parametry a i b paraboloidy hiperbolicznej przechodzącej przez punkty A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) i D (2, -1, 32/9).

Rozwiązanie

Zgodnie z jego właściwościami, cztery punkty w przestrzeni trójwymiarowej wyznaczają pojedynczą paraboloidę hiperboliczną. Ogólne równanie to:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Zastępujemy podane wartości:

Dla punktu A mamy 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , równanie, które jest spełnione niezależnie od wartości parametrów a i b.

Zastępując punkt B otrzymujemy:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Podczas gdy dla punktu C pozostaje:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Ostatecznie dla punktu D otrzymujemy:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Co jest identyczne z poprzednim równaniem. Ostatecznie układ równań musi zostać rozwiązany:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Odejmowanie drugiego równania od pierwszego daje:

27/9 = 3 / a ^2, co oznacza, że ​​a ² = 1.

W podobny sposób drugie równanie odejmuje się od czwórki pierwszego, uzyskując:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Który jest uproszczony jako:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Krótko mówiąc, paraboloid hiperboliczny, który przechodzi przez dane punkty A, B, C i D, ma równanie kartezjańskie podane przez:

z = x ² - (4/9) y ²

- Przykład 3

Zgodnie z właściwościami paraboloidy hiperbolicznej dwie linie przechodzą przez każdy punkt, który jest w nim całkowicie zawarty. Dla przypadku z = x ^ 2 - y ^ 2 znajdź równanie dwóch prostych przechodzących przez punkt P (0, 1, -1) wyraźnie należące do paraboloidy hiperbolicznej, tak że wszystkie punkty tych prostych również należą do podobnie.

Rozwiązanie

Używając niezwykłego iloczynu różnicy kwadratów, równanie paraboloidy hiperbolicznej można zapisać w następujący sposób:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Gdzie c jest niezerową stałą.

Równanie x + y = anm oraz równanie X - Y = 1 / C odpowiadają dwóm płaszczyzn normalnych wektorów n = <1,1, -c> i m = <1 -1,0>. Iloczyn wektorowy mxn = <- c, -c, -2> daje nam kierunek linii przecięcia dwóch płaszczyzn. Wtedy jedna z prostych przechodzących przez punkt P i należąca do paraboloidy hiperbolicznej ma równanie parametryczne:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Aby określić c, podstawiamy punkt P w równaniu x + y = cz, otrzymując:

c = -1

Podobnie, ale biorąc pod uwagę równania (x - y = kz) i (x + y = 1 / k) mamy równanie parametryczne prostej:

= <0, 1, -1> + s gdzie k = 1.

Podsumowując, dwie linie:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> oraz = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Są one całkowicie zawarte w paraboloidzie hiperbolicznej z = x ² - y ² przechodzącej przez punkt (0, 1, -1).

Dla sprawdzenia załóżmy, że t = 1, co daje nam punkt (1,2, -3) w pierwszej linii. Musisz sprawdzić, czy jest też na paraboloidzie z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Co potwierdza, że ​​rzeczywiście należy on do powierzchni paraboloidy hiperbolicznej.

Paraboloid hiperboliczny w architekturze

Rysunek 6. Oceanografia Walencji (Hiszpania) Źródło: Wikimedia Commons.

Paraboloida hiperboliczna była wykorzystywana w architekturze przez wielkich architektów awangardowych, wśród których wyróżniają się nazwiska hiszpańskiego architekta Antoniego Gaudiego (1852-1926), a szczególnie hiszpańskiego Félixa Candela (1910-1997).

Poniżej kilka prac opartych na paraboloidie hiperbolicznej:

-Kaplica miasta Cuernavaca (Meksyk) dzieło architekta Félix Candela.

-The Oceanographic of Valencia (Hiszpania), również autorstwa Félix Candela.

Bibliografia

1. Encyklopedia matematyki. Rządzona powierzchnia. Odzyskane z: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Paraboloid hiperboliczny. Odzyskany z: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. „Paraboloid hiperboliczny”. Z MathWorld - Zasób sieciowy Wolfram. Odzyskany z: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloida. Odzyskany z: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloida. Odzyskany z: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Rządzona powierzchnia. Odzyskany z: en.wikipedia.com