PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE: WZÓR I RÓWNANIA, WŁASNOŚCI, PRZYKŁADY - DUDAS - 2026

Prawdopodobieństwo warunkowe jest możliwość zaistnienia pewnego zdarzenia, biorąc pod uwagę, że inny występuje jako warunek. Te dodatkowe informacje mogą (ale nie muszą) modyfikować postrzegania, że ​​coś się wydarzy.

Na przykład, możemy zadać sobie pytanie: „Jakie jest prawdopodobieństwo, że dzisiaj będzie padać, biorąc pod uwagę, że nie padał deszcz od dwóch dni?” Zdarzeniem, dla którego chcemy poznać prawdopodobieństwo, jest to, że dziś pada, a dodatkową informacją, która warunkowałaby odpowiedź, jest to, że „nie padało od dwóch dni”.

Rysunek 1. Prawdopodobieństwo wystąpienia deszczu dzisiaj, biorąc pod uwagę, że padał wczoraj, jest również przykładem prawdopodobieństwa warunkowego. Źródło: Pixabay.

Niech przestrzeń prawdopodobieństwa będzie się składać z Ω (przestrzeń próbkowa), ℬ (zdarzenia losowe) i P (prawdopodobieństwo każdego zdarzenia) oraz zdarzenia A i B należące do ℬ.

Warunkowe prawdopodobieństwo wystąpienia A, biorąc pod uwagę, że wystąpiło B, które jest oznaczone jako P (A│B), definiuje się następująco:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B)

Gdzie: P (A) jest prawdopodobieństwem wystąpienia A, P (B) jest prawdopodobieństwem zdarzenia B i jest różne od 0, a P (A∩B) jest prawdopodobieństwem przecięcia się A i B, czyli , prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń (prawdopodobieństwo łączne).

Jest to wyrażenie twierdzenia Bayesa zastosowanego do dwóch wydarzeń, zaproponowanego w 1763 r. Przez angielskiego teologa i matematyka Thomasa Bayesa.

Nieruchomości

-Wszystkie prawdopodobieństwo warunkowe zawiera się w przedziale od 0 do 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, biorąc pod uwagę to zdarzenie, wynosi oczywiście 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Jeśli dwa zdarzenia są wykluczające się, to znaczy zdarzenia, które nie mogą wystąpić jednocześnie, wówczas warunkowe prawdopodobieństwo, że jedno z nich się wydarzy, wynosi 0, ponieważ przecięcie wynosi zero:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Jeśli B jest podzbiorem A, to prawdopodobieństwo warunkowe również wynosi 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Ważny

P (A│B) generalnie nie jest równe P (B│A), dlatego musimy uważać, aby nie zamienić zdarzeń podczas znajdowania prawdopodobieństwa warunkowego.

Ogólna zasada mnożenia

Często chcesz znaleźć wspólne prawdopodobieństwo P (A∩B), a nie prawdopodobieństwo warunkowe. Następnie, poprzez następujące twierdzenie, mamy:

P (A∩B) = P (A i B) = P (A│B). P (B)

Twierdzenie można rozszerzyć na trzy zdarzenia A, B i C:

P (A∩B∩C) = P (A i B i C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

A także dla różnych wydarzeń, takich jak A ₁ , A ₂ , A ₃ i więcej, można to wyrazić w następujący sposób:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Gdy chodzi o zdarzenia, które zachodzą w kolejności i na różnych etapach, wygodnie jest uporządkować dane w postaci diagramu lub tabeli. Ułatwia to wizualizację opcji osiągnięcia żądanego prawdopodobieństwa.

Przykładami są diagram drzewa i tabela awaryjna. Z jednego z nich możesz zbudować drugi.

Przykłady prawdopodobieństwa warunkowego

Spójrzmy na kilka sytuacji, w których prawdopodobieństwo jednego zdarzenia zmienia się przez wystąpienie innego:

- Przykład 1

W sklepie ze słodyczami sprzedawane są dwa rodzaje ciast: truskawkowe i czekoladowe. Rejestrując preferencje 50 klientów obojga płci, określono następujące wartości:

-27 kobiet, z których 11 preferuje ciasto truskawkowe, a 16 czekoladowe.

-23 mężczyźni: 15 wybiera czekoladę i 8 truskawek.

Prawdopodobieństwo wyboru przez klienta ciasta czekoladowego można określić stosując regułę Laplace'a, zgodnie z którą prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wynosi:

P = liczba korzystnych wydarzeń / całkowita liczba wydarzeń

W tym przypadku na 50 klientów 31 preferuje czekoladę, więc prawdopodobieństwo wyniesie P = 31/50 = 0,62. Oznacza to, że 62% klientów woli ciasto czekoladowe.

Ale czy byłoby inaczej, gdyby klientem była kobieta? Jest to przypadek prawdopodobieństwa warunkowego.

Tabela awaryjna

Korzystając z takiej tabeli kontyngentów, można łatwo wyświetlić sumy:

Następnie obserwuje się korzystne przypadki i stosuje się regułę Laplace'a, ale najpierw definiujemy zdarzenia:

-B jest zdarzeniem „klientki”.

-A to impreza „preferuj ciasto czekoladowe” jako kobieta.

Przechodzimy do kolumny „kobiety” i tam widzimy, że w sumie jest 27.

Następnie poszukiwany jest korzystny przypadek w rzędzie „czekolada”. Istnieje 16 takich zdarzeń, dlatego poszukiwane prawdopodobieństwo jest bezpośrednio następujące:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% klientek woli ciasto czekoladowe.

Ta wartość jest zgodna, gdy porównamy ją z pierwotnie podaną definicją prawdopodobieństwa warunkowego:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Upewniamy się, korzystając z reguły Laplace'a i wartości tabeli:

P (B) = 27/50

P (A i B) = 16/50

Gdzie P (A i B) to prawdopodobieństwo, że klient woli czekoladę i jest kobietą. Teraz wartości są podstawiane:

P (A│B) = P (A i B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Udowodniono, że wynik jest taki sam.

- Przykład 2

W tym przykładzie obowiązuje zasada mnożenia. Załóżmy, że w sklepie są wystawione spodnie w trzech rozmiarach: małym, średnim i dużym.

W partii z 24 spodniami, z których jest 8 w każdym rozmiarze i wszystkie są mieszane, jakie byłoby prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch z nich i że oba byłyby małe?

Oczywiste jest, że prawdopodobieństwo zdjęcia małych spodni za pierwszym razem wynosi 8/24 = 1/3. Teraz druga ekstrakcja jest uwarunkowana pierwszym zdarzeniem, ponieważ podczas zdejmowania pary spodni nie ma już 24, ale 23. A jeśli usuniesz małe spodnie, będzie ich 7 zamiast 8.

Wydarzenie A polega na wyciągnięciu jednego małego spodni, po pociągnięciu drugiego za pierwszym razem. A wydarzenie B to ten z małymi spodniami po raz pierwszy. A zatem:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Na koniec, używając zasady mnożenia:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Ćwiczenie rozwiązane

W badaniu punktualności w komercyjnych lotach lotniczych dostępne są następujące dane:

-P (B) = 0,83, to prawdopodobieństwo, że samolot wystartuje na czas.

-P (A) = 0,81, to prawdopodobieństwo lądowania na czas.

-P (B∩A) = 0,78 to prawdopodobieństwo, że lot przyleci na czas i wystartuje na czas.

Należy obliczyć:

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że samolot wyląduje na czas, biorąc pod uwagę, że wystartował na czas?

b) Czy powyższe prawdopodobieństwo jest takie samo jak prawdopodobieństwo, że wyjechałeś na czas, jeśli zdążyłeś wylądować na czas?

c) I wreszcie: jakie jest prawdopodobieństwo, że dotrze na czas, biorąc pod uwagę, że nie odjechał na czas?

Rysunek 2. Punktualność lotów komercyjnych jest ważna, ponieważ opóźnienia generują miliony dolarów strat. Źródło: Pixabay.

Rozwiązanie

Aby odpowiedzieć na to pytanie, stosuje się definicję prawdopodobieństwa warunkowego:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Rozwiązanie b

W takim przypadku następuje zamiana wydarzeń z definicji:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A i B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Zauważ, że prawdopodobieństwo to różni się nieco od poprzedniego, jak wskazaliśmy wcześniej.

Rozwiązanie c

Prawdopodobieństwo nie wyjazdu na czas wynosi 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, nazwiemy to P (B ^C ), ponieważ jest to zdarzenie uzupełniające, aby wystartować na czas. Poszukiwane prawdopodobieństwo warunkowe wynosi:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A i B ^C ) / P (B ^C )

Z drugiej strony:

P (A∩B ^C ) = P (lądowanie na czas) - P (lądowanie na czas i start o czasie) = 0,81-0,78 = 0,03

W tym przypadku poszukiwane prawdopodobieństwo warunkowe wynosi:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Bibliografia

1. Canavos, G. 1988. Prawdopodobieństwo i statystyka: zastosowania i metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauki. 8th. Wydanie. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Seria Schauma: Prawdopodobieństwo. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria prawdopodobieństwa. Redakcja Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk. Osoba.
6. Wikipedia. Warunkowe prawdopodobieństwo. Odzyskane z: es.wikipedia.org.