PRAWDOPODOBIEŃSTWO TEORETYCZNE: JAK JE ZDOBYĆ, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - DUDAS - 2026

Teoretycznej (lub Laplace'a), prawdopodobieństwo , że zdarzenie e zdarza się, że należy do przestrzeni próbki S, w którym wszystkie zdarzenia mają takie samo prawdopodobieństwo wystąpieniu, jest określony w notacji matematycznej: p (E) = N (E) / N (S)

Gdzie P (E) to prawdopodobieństwo, podane jako iloraz całkowitej liczby możliwych wyników zdarzenia E, które nazywamy n (E), podzielone przez całkowitą liczbę N (S) możliwych wyników w przestrzeni próbnej S.

Rysunek 1. W rzucie sześciościenną kostką teoretyczne prawdopodobieństwo, że głowa z trzema kropkami jest na górze, wynosi ⅙. Źródło: Pixabay.

Teoretyczne prawdopodobieństwo to liczba rzeczywista z przedziału od 0 do 1, ale często jest wyrażane jako wartość procentowa, w którym to przypadku prawdopodobieństwo będzie wynosić od 0% do 100%.

Obliczanie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia jest bardzo ważne w wielu dziedzinach, takich jak handel, firmy ubezpieczeniowe, hazard i wiele innych.

Jak uzyskać teoretyczne prawdopodobieństwo?

Przykładem są loterie lub loterie. Załóżmy, że na losowanie smartfona wydano 1000 biletów. Ponieważ losowanie odbywa się losowo, każdy kupon ma równe szanse na wygraną.

Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba, która kupi bilet z numerem 81, jest zwycięzcą, przeprowadza się następujące teoretyczne obliczenie prawdopodobieństwa:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Powyższy wynik interpretujemy w następujący sposób: gdyby losowanie powtarzano nieskończenie wiele razy, co 1000 razy los 81 byłby wybierany średnio raz.

Jeśli z jakiegoś powodu ktoś zdobędzie wszystkie bilety, to na pewno zdobędzie nagrodę. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody w przypadku posiadania wszystkich biletów oblicza się w następujący sposób:

P (1000) = 1000/1000 = 1 = 100%.

To znaczy, że prawdopodobieństwo 1 lub 100% oznacza, że ​​jest całkowicie pewne, że taki wynik wystąpi.

Jeśli ktoś posiada 500 kuponów, szanse na wygraną lub przegraną są takie same. Teoretyczne prawdopodobieństwo zdobycia nagrody w tym przypadku oblicza się następująco:

P (500) = 500/1 000 = ½ = 0,5 = 50%.

Kto nie kupi żadnego kuponu, nie ma szans na wygraną, a jego prawdopodobieństwo teoretyczne jest określane w następujący sposób:

P (0) = 0/1000 = 0 = 0%

Przykłady

Przykład 1

Masz monetę z twarzą po jednej stronie i tarczą lub pieczęcią po drugiej. Jakie jest teoretyczne prawdopodobieństwo, że po rzucie monetą wypadnie reszka?

P (twarz) = n (twarz) / N (twarz + osłona) = ½ = 0,5 = 50%

Wynik jest interpretowany w następujący sposób: jeśli wykonano dużą liczbę rzutów, średnio na każde 2 rzuty jeden z nich wypadłby głową.

W ujęciu procentowym interpretacja wyniku jest taka, że ​​wykonując nieskończenie dużą liczbę rzutów, średnio na 100 z nich 50 kończy się orłami.

Przykład 2

W pudełku znajdują się 3 niebieskie kulki, 2 czerwone i 1 zielona. Jakie jest teoretyczne prawdopodobieństwo, że kulka wyjmowana z pudełka będzie czerwona?

Rysunek 2. Prawdopodobieństwo ekstrakcji kolorowych kulek. Źródło: F. Zapata.

Prawdopodobieństwo, że wyjdzie na czerwono to:

P (czerwony) = liczba korzystnych przypadków / liczba możliwych przypadków

To jest do powiedzenia:

P (czerwony) = liczba czerwonych kulek / całkowita liczba kulek

Wreszcie prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kulki wynosi:

P (czerwony) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Chociaż prawdopodobieństwo, że podczas rysowania zielonej kulki wynosi:

P (zielony) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Wreszcie, teoretyczne prawdopodobieństwo uzyskania niebieskiego marmuru w ślepej ekstrakcji wynosi:

P (niebieski) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Oznacza to, że na każde 2 próby wynik będzie niebieski w jednej z nich i inny kolor przy innej próbie, przy założeniu, że wyekstrahowany marmur jest wymieniony, a liczba prób jest bardzo, bardzo duża.

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Określ prawdopodobieństwo, że rzut kostką przyniesie wartość mniejszą lub równą 4.

Rozwiązanie

Aby obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia, zostanie zastosowana definicja prawdopodobieństwa teoretycznego:

P (≤4) = liczba korzystnych przypadków / liczba możliwych przypadków

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Ćwiczenie 2

Znajdź prawdopodobieństwo, że przy dwóch kolejnych rzutach zwykłą sześciościenną kostką 5 wyrzuci 2 razy.

Rozwiązanie

Aby odpowiedzieć na to ćwiczenie, przygotuj tabelę pokazującą wszystkie możliwości. Pierwsza cyfra oznacza wynik pierwszej kostki, a druga wynik drugiej.

Aby obliczyć teoretyczne prawdopodobieństwo, musimy znać całkowitą liczbę możliwych przypadków, w tym przypadku, jak widać z poprzedniej tabeli, istnieje 36 możliwości.

Obserwując również tabelę można wywnioskować, że liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu, że w dwóch kolejnych startach wypadnie 5 to tylko 1, zaznaczone kolorem, stąd prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia wynosi:

P (5 x 5) = 1/36.

Ten wynik można było również uzyskać przy użyciu jednej z właściwości prawdopodobieństwa teoretycznego, która stwierdza, że ​​połączone prawdopodobieństwo dwóch niezależnych zdarzeń jest iloczynem ich indywidualnych prawdopodobieństw.

W tym przypadku prawdopodobieństwo, że przy pierwszym rzucie wypadnie 5, wynosi ⅙. Drugi rzut jest całkowicie niezależny od pierwszego, dlatego prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 w drugim również wynosi ⅙. Zatem połączone prawdopodobieństwo wynosi:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Ćwiczenie 3

Znajdź prawdopodobieństwo, że przy pierwszym losowaniu wypadnie liczba mniejsza niż 2, a przy drugim wyrzucona liczba większa niż 2.

Rozwiązanie

Ponownie, należy zbudować tabelę możliwych zdarzeń, w której te, w których pierwszy rzut był mniejszy niż 2, aw drugim większy niż 2, są podkreślone.

W sumie są 4 możliwości z łącznej liczby 36. Oznacza to, że prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Używając twierdzenia o prawdopodobieństwie, które stwierdza:

Otrzymuje się ten sam wynik:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Wartość uzyskana tą procedurą pokrywa się z wynikiem poprzednim, za pomocą teoretycznej lub klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Ćwiczenie 4

Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwoma kośćmi suma wartości wynosi 7.

Rozwiązanie

Aby znaleźć rozwiązanie w tym przypadku, sporządzono tabelę możliwości, w której zaznaczono kolorem przypadki spełniające warunek, że suma wartości wynosi 7.

Patrząc na tabelę, można policzyć 6 możliwych przypadków, więc prawdopodobieństwo wynosi:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Bibliografia

1. Canavos, G. 1988. Prawdopodobieństwo i statystyka: zastosowania i metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauki. 8th. Wydanie. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Seria Schauma: Prawdopodobieństwo. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria prawdopodobieństwa. Redakcja Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk. Osoba.