WŁASNOŚĆ ASOCJACYJNA: DODAWANIE, MNOŻENIE, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Łączność dodawania reprezentuje asocjacyjną charakter operacji dodawania w różnych zestawach matematycznych. W nim trzy (lub więcej) elementy wspomnianych zbiorów są ze sobą powiązane, zwane a, b i c, tak że jest to zawsze prawda:

a + (b + c) = (a + b) + c

W ten sposób gwarantuje się, że niezależnie od sposobu grupowania w celu wykonania operacji, wynik jest taki sam.

Rysunek 1. Używamy asocjacyjnej własności dodawania wiele razy podczas wykonywania operacji arytmetycznych i algebraicznych. (Rysunek: skład freepik: F.Zapata)

Należy jednak zauważyć, że własność asocjacyjna nie jest synonimem własności przemiennej. Oznacza to, że wiemy, że kolejność sum nie zmienia sumy lub że kolejność czynników nie zmienia iloczynu. Zatem sumę można zapisać w ten sposób: a + b = b + a.

Jednak we właściwości asocjacyjnej jest inaczej, ponieważ kolejność dodawanych elementów jest zachowana, a to, co się zmienia, to operacja, która jest wykonywana jako pierwsza. Oznacza to, że dodanie pierwszego (b + c) i dodanie a do tego wyniku nie ma znaczenia, niż rozpoczęcie dodawania a z by do wyniku dodania c.

Wiele ważnych operacji, takich jak dodawanie, jest asocjacyjnych, ale nie wszystkie. Na przykład przy odejmowaniu liczb rzeczywistych zdarza się, że:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Jeśli a = 2, b = 3, c = 1, to:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Łączna właściwość mnożenia

Podobnie jak w przypadku dodawania, łączna właściwość mnożenia stwierdza, że:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

W przypadku zbioru liczb rzeczywistych łatwo jest zweryfikować, że tak jest zawsze. Na przykład, używając wartości a = 2, b = 3, c = 1, otrzymujemy:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Liczby rzeczywiste spełniają asocjacyjną właściwość zarówno dodawania, jak i mnożenia. Z drugiej strony, w innym zbiorze, takim jak zbiór wektorów, suma jest asocjacyjna, ale iloczyn wektorowy lub iloczyn wektorowy nie.

Zastosowania asocjacyjnej własności mnożenia

Zaletą operacji, w których spełniona jest właściwość asocjacyjna, jest możliwość grupowania w najwygodniejszy sposób. To znacznie ułatwia rozdzielczość.

Na przykład załóżmy, że w małej bibliotece są 3 półki po 5 półek każda. Na każdej półce znajduje się 8 książek. Ile jest wszystkich książek?

Możemy przeprowadzić operację w następujący sposób: wszystkie książki = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 książek.

Lub tak: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 książek.

Rysunek 2. Jednym z zastosowań asocjacyjnej właściwości mnożenia jest obliczenie liczby książek na każdej półce. Obraz stworzony przez F. Zapata.

Przykłady

-W zbiorach liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, łączna właściwość dodawania i mnożenia jest spełniona.

Rysunek 3. Dla liczb rzeczywistych asocjacyjna właściwość dodawania jest spełniona. Źródło: Wikimedia Commons.

-Do wielomianów mają również zastosowanie w tych operacjach.

-W przypadku operacji odejmowania, dzielenia i potęgowania własność asocjacyjna nie zachowuje się dla liczb rzeczywistych lub wielomianów.

-W przypadku macierzy, własność asocjacji jest spełniona dla dodawania i mnożenia, chociaż w tym drugim przypadku przemienność nie jest spełniona. Oznacza to, że biorąc pod uwagę macierze A, B i C, prawdą jest, że:

(A x B) x C = A x (B x C)

Ale … A x B ≠ B x A

Właściwość asocjacyjna wektorów

Wektory tworzą inny zbiór niż liczby rzeczywiste lub zespolone. Operacje zdefiniowane dla zbioru wektorów są nieco inne: są dodawanie, odejmowanie i trzy rodzaje iloczynów.

Suma wektorów spełnia właściwość asocjacji, podobnie jak liczby, wielomiany i macierze. Jeśli chodzi o iloczyn skalarny, skalar po wektorze i krzyż, który jest tworzony między wektorami, ten ostatni nie spełnia tego, ale iloczyn skalarny, który jest innym rodzajem operacji między wektorami, spełnia go, biorąc pod uwagę:

- Iloczyn skalara i wektora daje wektor.

-A gdy pomnożymy skalarnie dwa wektory, otrzymamy skalar.

Dlatego mając wektory v , u i w oraz dodatkowo skalar λ można napisać:

- Suma wektorów: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

- Iloczyn skalarny: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

To ostatnie jest możliwe dzięki temu, że v • u jest skalarem, a λ v jest wektorem.

Jednak:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Faktoryzacja wielomianów przez grupowanie terminów

Ta aplikacja jest bardzo interesująca, ponieważ jak powiedziano wcześniej, własność asocjacyjna pomaga rozwiązać pewne problemy. Suma jednomianów jest asocjacyjna i może być używana do faktorowania, gdy oczywisty wspólny czynnik nie pojawia się na pierwszy rzut oka.

Na przykład załóżmy, że masz wziąć pod uwagę: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Ten wielomian nie ma wspólnego czynnika, ale zobaczmy, co się stanie, jeśli zostanie zgrupowany w następujący sposób:

Pierwszy nawias ma wspólny dzielnik ax ² :

W drugim przypadku wspólnym czynnikiem jest 3:

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Budynek szkoły ma 4 piętra, a każda z nich ma 12 sal lekcyjnych z 30 ławkami w środku. Ile ławek ma w sumie szkoła?

Rozwiązanie

Ten problem rozwiązuje się, stosując asocjacyjną właściwość mnożenia, zobaczmy:

Całkowita liczba biurek = 4 piętra x 12 sal lekcyjnych / piętro x 30 biurek / salę lekcyjną = (4 x 12) x 30 biurek = 48 x 30 = 1440 stołów.

Lub jeśli wolisz: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 biurek

- Ćwiczenie 2

Biorąc pod uwagę wielomiany:

A (X) = 5 x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Zastosuj asocjacyjną właściwość dodawania, aby znaleźć A (x) + B (x) + C (x).

Rozwiązanie

Możesz zgrupować pierwsze dwa i dodać trzeci do wyniku:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Natychmiast dodaje się wielomian C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Czytelnik może sprawdzić, czy wynik jest identyczny, jeśli rozwiązuje go opcja A (x) +.

Bibliografia

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matematyka to zabawa. Prawa przemienne, asocjacyjne i rozdzielcze. Odzyskany z: mathisfun.com.
3. Magazyn Math. Definicja własności skojarzonej. Odzyskany z: mathwarehouse.com.
4. Nauka. Asocjacyjna i przemienna właściwość dodawania i mnożenia (z przykładami). Odzyskany z: sciencing.com.
5. Wikipedia. Łączność. Odzyskane z: en.wikipedia.org.