ZABLOKUJ WŁASNOŚĆ ALGEBRY: DOWÓD, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Właściwość blokady Algebra jest zjawiskiem, które dotyczy dwa elementy zestawu z pracy, w którym niezbędnym warunkiem jest to, że po 2 elementy są przetwarzane w ramach wymienionego działania, wynik należy również do początkowej konfiguracji.

Na przykład, jeśli weźmiemy liczby parzyste jako zbiór, a sumę jako operację, otrzymamy blokadę tego zbioru w odniesieniu do sumy. Dzieje się tak, ponieważ suma 2 liczb parzystych zawsze da inną liczbę parzystą, spełniając tym samym warunek blokady.

Źródło: unsplash.com

cechy

Istnieje wiele właściwości określających przestrzenie lub ciała algebraiczne, takie jak struktury lub pierścienie. Jednak właściwość blokady jest jedną z najlepiej znanych w podstawowej algebrze.

Nie wszystkie zastosowania tych właściwości opierają się na elementach lub zjawiskach numerycznych. Wiele codziennych przykładów można opracować z czysto algebraiczno-teoretycznego podejścia.

Przykładem mogą być obywatele kraju, którzy zawarli jakikolwiek stosunek prawny, taki jak między innymi związek partnerski lub małżeństwo. Po przeprowadzeniu tej operacji lub zarządzania pozostają obywatelami kraju. W ten sposób obywatelstwo i operacje zarządzania w odniesieniu do dwóch obywateli stanowią blokadę.

Algebra numeryczna

Jeśli chodzi o liczby, istnieje wiele aspektów, które były przedmiotem badań w różnych kierunkach matematyki i algebry. Z badań tych wyłoniła się duża liczba aksjomatów i twierdzeń, które służą jako teoretyczna podstawa współczesnych badań i prac.

Jeśli pracujemy z zestawami liczbowymi, możemy ustalić inną poprawną definicję właściwości blokady. O zestawie A mówi się, że jest zamkiem innego zestawu B, jeśli A jest najmniejszym zbiorem zawierającym wszystkie zbiory i operacje, które zawiera B.

Demonstracja

Dowód blokady jest stosowany dla elementów i operacji występujących w zbiorze liczb rzeczywistych R.

Niech A i B będą dwoma liczbami należącymi do zbioru R, domknięcie tych elementów jest zdefiniowane dla każdej operacji zawartej w R.

Suma

- Suma: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Jest to algebraiczny sposób powiedzenia, że ​​dla wszystkich A i B, które należą do liczb rzeczywistych, mamy sumę A plus B równa się C, która również należy do liczb rzeczywistych.

Łatwo jest sprawdzić, czy to zdanie jest prawdziwe; wystarczy przeprowadzić sumę między dowolną liczbą rzeczywistą i sprawdzić, czy wynik należy również do liczb rzeczywistych.

3 + 2 = 5 ∈ R.

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R.

Obserwuje się, że warunek blokady jest spełniony dla liczb rzeczywistych i sumy. W ten sposób można wywnioskować: Suma liczb rzeczywistych to zamek algebraiczny.

Mnożenie

- Mnożenie: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Dla wszystkich A i B, które należą do liczb rzeczywistych, mamy, że pomnożenie A przez B jest równe C, które również należy do liczb rzeczywistych.

Podczas weryfikacji z tymi samymi elementami z poprzedniego przykładu obserwuje się następujące wyniki.

3 x 2 = 6 ∈ R.

-2 x (-7) = 14 ∈ R.

-3 x 1/3 = -1 ∈ R.

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

To wystarczający dowód, aby wywnioskować, że: Mnożenie liczb rzeczywistych jest blokadą algebraiczną.

Definicję tę można rozszerzyć na wszystkie operacje na liczbach rzeczywistych, chociaż znajdziemy pewne wyjątki.

Źródło: pixabay.com

Przypadki szczególne w R.

Podział

Pierwszym przypadkiem specjalnym jest dzielenie, w którym występuje następujący wyjątek:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Dla wszystkich A i B należących do R mamy, że A wśród B nie należy do liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy B jest równe zero.

Ten przypadek odnosi się do ograniczenia polegającego na niemożności dzielenia przez zero. Ponieważ zero należy do liczb rzeczywistych, wynika z tego, że: dzielenie nie jest blokadą liczb rzeczywistych.

Piłowanie

Istnieją również operacje wzmacniające, a dokładniej te dotyczące radykalizacji, w których przedstawiono wyjątki dla radykalnych uprawnień o równym wskaźniku:

Dla całego A, które należy do liczb rzeczywistych, n-ty pierwiastek A należy do liczb rzeczywistych, wtedy i tylko wtedy, gdy A należy do dodatnich liczb rzeczywistych połączonych ze zbiorem, którego jedynym elementem jest zero.

W ten sposób zaznaczono, że pierwiastki parzyste mają zastosowanie tylko do liczb rzeczywistych dodatnich i wyciągnięto wniosek, że wzmocnienie nie jest blokadą w R.

Logarytm

W sposób homologiczny można to zobaczyć dla funkcji logarytmicznej, która nie jest zdefiniowana dla wartości mniejszych lub równych zero. Aby sprawdzić, czy logarytm jest blokadą R, wykonaj następujące czynności:

Dla całego A, które należy do liczb rzeczywistych, logarytm z A należy do liczb rzeczywistych, wtedy i tylko wtedy, gdy A należy do liczb rzeczywistych dodatnich.

Wyłączając wartości ujemne i zero, które również należą do R, można stwierdzić, że:

Logarytm nie jest blokadą liczb rzeczywistych.

Przykłady

Sprawdź blokadę dodawania i odejmowania liczb naturalnych:

Suma w N

Pierwszą rzeczą jest sprawdzenie stanu blokady dla różnych elementów danego zestawu, gdzie w przypadku zaobserwowania, że ​​jakiś element łamie warunek, można automatycznie zaprzeczyć istnieniu blokady.

Ta właściwość jest prawdziwa dla wszystkich możliwych wartości A i B, jak widać w następujących operacjach:

1 + 3 = 4 ∈ N.

5 + 7 = 12 ∈ N.

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Nie ma wartości naturalnych, które łamią warunek blokady, więc stwierdza się:

Suma jest blokadą w N.

Odejmij w N

Poszukiwane są naturalne elementy zdolne do złamania stanu; A - B należy do tubylców.

Obsługując łatwo jest znaleźć pary elementów naturalnych, które nie spełniają warunku zamka. Na przykład:

7 - 10 = -3 ∉ a N.

W ten sposób możemy stwierdzić, że:

Odejmowanie nie jest blokadą zbioru liczb naturalnych.

Proponowane ćwiczenia

1-Pokaż, czy właściwość blokady jest spełniona dla zbioru liczb wymiernych Q, dla operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

2-Wyjaśnij, czy zbiór liczb rzeczywistych jest blokadą zbioru liczb całkowitych.

3-Określ, który zestaw liczbowy może być blokadą liczb rzeczywistych.

4-Udowodnij właściwość zamka dla zbioru liczb urojonych, uwzględniając dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Bibliografia

1. Panorama czystej matematyki: wybór Bourbaków. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebraiczna teoria liczb. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. National Autonomous University of Mexico, 1975.
3. Algebra liniowa i jej zastosowania. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Struktury algebraiczne V: teoria ciała. Hector A. Merklen. Organizacja Stanów Zjednoczonych, Sekretariat Generalny, 1979.
5. Wprowadzenie do algebry przemiennej. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.