SERIE POTĘGOWE: PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Szereg potęgowy składa się z sumowania wyrazów w postaci potęg zmiennej x lub bardziej ogólnie xc, gdzie c jest stałą liczbą rzeczywistą. W podsumowaniu szereg uprawnień jest wyrażony w następujący sposób:

Gdzie współczynniki a _o , a ₁ , a ₂ … są liczbami rzeczywistymi, a szereg zaczyna się od n = 0.

Rysunek 1. Definicja szeregu potęgowego. Źródło: F. Zapata.

Ta seria jest wyśrodkowana na wartości c, która jest stała, ale możesz wybrać, że c jest równe 0, w takim przypadku szereg potęg upraszcza się do:

Seria zaczyna się odpowiednio od a _lub (xc) ⁰ i a _lub x ⁰ . Ale wiemy, że:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Dlatego a _o (xc) ⁰ = a _lub x ⁰ = a _o (termin niezależny)

Zaletą szeregów potęg jest to, że można za ich pomocą wyrażać funkcje, co ma wiele zalet, zwłaszcza jeśli chcesz pracować ze skomplikowaną funkcją.

W takim przypadku zamiast bezpośrednio używać funkcji, użyj jej rozwinięcia szeregu potęg, które może być łatwiejsze do wyprowadzenia, zintegrowania lub pracy numerycznej.

Oczywiście wszystko jest uwarunkowane zbieżnością szeregu. Szereg jest zbieżny, gdy dodawanie pewnej dużej liczby terminów daje stałą wartość. A jeśli dodamy jeszcze więcej terminów, nadal będziemy uzyskiwać tę wartość.

Działa jako seria Power

Jako przykład funkcji wyrażonej jako szereg potęgowy weźmy f (x) = e ^x .

Funkcję tę można wyrazić w postaci szeregu uprawnień w następujący sposób:

i ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Gdzie! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… i potrzeba 0! = 1.

Za pomocą kalkulatora sprawdzimy, czy rzeczywiście szereg pokrywa się z wyraźnie podaną funkcją. Na przykład zacznijmy od zrobienia x = 0.

Wiemy, że e ⁰ = 1. Zobaczmy, co robi seria:

i ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

A teraz spróbujmy x = 1. Kalkulator zwraca, że ​​e ¹ = 2,71828, a następnie porównajmy z szeregiem:

i ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Mając tylko 5 wyrażeń, mamy już dokładne dopasowanie w e ≈ 2,71. Nasza seria ma jeszcze tylko trochę więcej do zrobienia, ale im więcej terminów jest dodawanych, szereg z pewnością zbiega się z dokładną wartością e. Reprezentacja jest dokładna, gdy n → ∞.

Jeśli poprzednia analiza zostanie powtórzona dla n = 2, otrzymamy bardzo podobne wyniki.

W ten sposób mamy pewność, że funkcja wykładnicza f (x) = e ^x może być reprezentowana przez następujący ciąg potęg:

Rysunek 2. Na tej animacji możemy zobaczyć, jak szereg potęgowy zbliża się do funkcji wykładniczej, im więcej wyrazów jest branych. Źródło: Wikimedia Commons.

Geometryczne szeregi potęg

Funkcja f (x) = e ^x nie jest jedyną funkcją obsługującą reprezentację szeregów potęg. Na przykład funkcja f (x) = 1/1 - x wygląda bardzo podobnie do dobrze znanego zbieżnego szeregu geometrycznego:

Wystarczy zrobić a = 1 i r = x, aby otrzymać szereg odpowiedni dla tej funkcji, który jest wyśrodkowany w punkcie c = 0:

Wiadomo jednak, że ten szereg jest zbieżny dla │r│ <1, dlatego reprezentacja jest ważna tylko w przedziale (-1,1), chociaż funkcja jest ważna dla wszystkich x, z wyjątkiem x = 1.

Jeśli chcesz zdefiniować tę funkcję w innym zakresie, po prostu skup się na odpowiedniej wartości i gotowe.

Jak znaleźć szereg rozszerzeń potęg funkcji

Dowolną funkcję można rozwinąć w szeregi potęgowe skupione na c, o ile ma pochodne wszystkich rzędów przy x = c. Procedura korzysta z następującego twierdzenia, zwanego twierdzeniem Taylora:

Niech f (x) będzie funkcją z pochodnymi rzędu n, oznaczoną jako f ⁽ⁿ⁾ , która dopuszcza szeregowe rozszerzenie potęg na przedziale I. Jego seryjny rozwój Taylora to:

Po to aby:

Gdzie R _n , który jest n-tym członem szeregu, nazywa się resztą:

Gdy c = 0, szereg nazywa się szeregiem Maclaurina.

Podany tutaj szereg jest identyczny z szeregiem podanym na początku, tylko teraz mamy sposób, aby jednoznacznie znaleźć współczynniki każdego składnika, podane przez:

Musimy jednak zapewnić zbieżność szeregu z funkcją, która ma być reprezentowana. Zdarza się, że nie każdy szereg Taylora zbiega się koniecznie z f (x), o którym myśleliśmy przy obliczaniu współczynników przy _n .

Dzieje się tak, ponieważ być może pochodne funkcji oszacowane przy x = c pokrywają się z tą samą wartością pochodnych innego, również przy x = c. W tym przypadku współczynniki byłyby takie same, ale rozwój byłby niejednoznaczny, ponieważ nie jest pewne, której funkcji odpowiada.

Na szczęście jest sposób, aby wiedzieć:

Kryterium konwergencji

Aby uniknąć niejednoznaczności, jeśli R _n → 0 jako n → ∞ dla wszystkich x w przedziale I, szereg zbiega się do f (x).

Ćwiczenie

- Ćwiczenie rozwiązane 1

Znajdź szereg geometryczny potęgowy funkcji f (x) = 1/2 - x wyśrodkowany w punkcie c = 0.

Rozwiązanie

Dana funkcja musi być wyrażona w taki sposób, aby jak najbliżej pokrywała się z 1 / 1- x, którego szereg jest znany. Więc przepiszmy licznik i mianownik, nie zmieniając oryginalnego wyrażenia:

1/2 - x = (1/2) /

Ponieważ ½ jest stała, pochodzi z sumowania i jest zapisana w kategoriach nowej zmiennej x / 2:

Zauważ, że x = 2 nie należy do dziedziny funkcji i zgodnie z kryterium zbieżności podanym w sekcji Geometric Power Series, rozwinięcie jest ważne dla │x / 2│ <1 lub równoważnie -2 <x <2.

- Ćwiczenie rozwiązane 2

Znajdź pierwsze 5 wyrazów rozwinięcia funkcji f (x) = sin x w szeregu Maclaurina.

Rozwiązanie

Krok 1

Pierwsza to pochodne:

-Pochodna rzędu 0: jest to ta sama funkcja f (x) = sin x

-Pierwsza pochodna: (sin x) ´ = cos x

-Druga pochodna: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Trzecia pochodna: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Czwarta pochodna: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Krok 2

Następnie każda pochodna jest oceniana przy x = c, podobnie jak rozwinięcie Maclaurina, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Krok 3

_{Konstruuje się} współczynniki a _n ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; a ₄ = 0/4! = 0

Krok 4

Ostatecznie seria jest montowana zgodnie z:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Czy czytelnik potrzebuje więcej terminów? O ile więcej, seria jest bliższa funkcji.

Zwróć uwagę, że we współczynnikach jest wzór, następny niezerowy składnik to _5, a wszystkie te z nieparzystym indeksem również różnią się od 0, naprzemiennie znakami, tak że:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Pozostawia się zadanie sprawdzenia, czy jest zbieżny, kryterium ilorazu można zastosować do zbieżności szeregów.

Bibliografia

1. Fundacja CK-12. Seria potęg: reprezentacja funkcji i operacji. Odzyskany z: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Rachunek całkowy. National University of the Litoral.
3. Larson, R. 2010. Obliczanie zmiennej. 9. Wydanie. McGraw Hill.
4. Darmowe teksty matematyczne. Seria potęg. Odzyskany z: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Seria potęg. Odzyskane z: es.wikipedia.org.