SYMETRIA OSIOWA: WŁAŚCIWOŚCI, PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Symetria osiowa jest, gdy punkty na figurze pokrywają się z punktami innej figury przez prosty dwusiecznej zwana osią symetrii. Nazywa się to również symetrią promieniową, obrotową lub cylindryczną.

Zwykle jest stosowany w figurach geometrycznych, ale w naturze jest łatwo obserwowalny, ponieważ istnieją zwierzęta, takie jak motyle, skorpiony, biedronki lub ludzie, które wykazują symetrię osiową.

Symetria osiowa jest pokazana na tym zdjęciu panoramy Toronto i jego odbicia w wodzie. (Źródło: pixabay)

Jak znaleźć symetrię osiową

Aby znaleźć symetrię osiową P 'punktu P względem prostej (L), wykonuje się następujące operacje geometryczne:

1. - Prostopadła do linii (L) przechodzącej przez punkt P.

2. - Przechwycenie dwóch linii wyznacza punkt O.

3. - Mierzona jest długość odcinka PO, a następnie ta długość jest kopiowana na linię (PO) zaczynając od O w kierunku od P do O, wyznaczając punkt P '.

4.- Punkt P 'jest symetrią osiową punktu P względem osi (L), ponieważ linia (L) jest dwusieczną odcinka PP', będącego O środkiem tego odcinka.

Rysunek 1. Dwa punkty P i P 'są osiowo symetryczne do osi (L), jeśli wspomniana oś jest dwusieczną segmentu PP'

Właściwości symetrii osiowej

- Symetria osiowa jest izometryczna, to znaczy odległości figury geometrycznej i odpowiadająca jej symetria są zachowane.

- Miara kąta i jego symetria są równe.

- Symetria osiowa punktu na osi symetrii to sam punkt.

- Linia symetryczna linii równoległej do osi symetrii jest również linią równoległą do tej osi.

- Sieczna do osi symetrii ma jako symetryczną linię inną sieczną linię, która z kolei przecina oś symetrii w tym samym punkcie oryginalnej linii.

- Symetryczny obraz linii to kolejna linia tworząca kąt z osią symetrii o takiej samej miary, jak linia pierwotna.

- Symetryczny obraz linii prostopadłej do osi symetrii to kolejna linia, która zachodzi na pierwszą.

- Prosta i jej osiowo symetryczna linia tworzą kąt, którego dwusieczna jest osią symetrii.

Rysunek 2. Symetria osiowa zachowuje odległości i kąty.

Przykłady symetrii osiowej

Przyroda wykazuje liczne przykłady symetrii osiowej. Na przykład można zobaczyć symetrię twarzy, między innymi owadów, takich jak motyle, odbicie na spokojnych taflach wody i lusterkach lub liściach roślin.

Rysunek 3. Motyl ten wykazuje prawie idealną symetrię osiową. (Źródło: pixabay)

Rysunek 4. Twarz tej dziewczyny ma symetrię osiową. (Źródło: pixabay)

Ćwiczenia symetrii osiowej

Ćwiczenie 1

Mamy trójkąt wierzchołków A, B i C, których współrzędne kartezjańskie to odpowiednio A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3). Znajdź współrzędne kartezjańskie trójkąta symetryczne względem osi Y (oś rzędnych).

Rozwiązanie: Jeśli punkt P ma współrzędne (x, y), to jego symetria względem osi rzędnych (osi Y) wynosi P '= (- x, y). Innymi słowy, wartość jego odciętej zmienia znak, podczas gdy wartość rzędnej pozostaje taka sama.

W tym przypadku trójkąt symetryczny z wierzchołkami A ', B' i C 'będzie miał współrzędne:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3), jak widać na rysunku 6.

Rysunek 6. Jeśli punkt ma współrzędne (x, y), jego symetria względem osi Y (oś rzędnych) będzie miała współrzędne (-x, y).

Ćwiczenie 2

W odniesieniu do trójkąta ABC i jego symetrii A'B'C 'z ćwiczenia 1, sprawdź, czy odpowiednie boki oryginalnego trójkąta i jego symetrii mają taką samą długość.

Rozwiązanie: Aby obliczyć odległość lub długość boków, używamy wzoru na odległość euklidesową:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Długość odpowiedniego symetrycznego boku A'B 'oblicza się poniżej:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

W ten sposób sprawdza się, czy symetria osiowa zachowuje odległość między dwoma punktami. Procedurę można powtórzyć dla pozostałych dwóch boków trójkąta i jego symetrii, aby sprawdzić niezmienność długości. Na przykład -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Ćwiczenie 3

W odniesieniu do trójkąta ABC i jego symetrii A'B'C 'z ćwiczenia 1, sprawdź, czy odpowiadające sobie kąty oryginalnego trójkąta i jego symetrii mają tę samą miarę kątową.

Rozwiązanie: Aby wyznaczyć miary kątów BAC i B'A'C ', najpierw obliczymy iloczyn skalarny wektorów AB z AC, a następnie iloczyn skalarny A'B' z A'C ' .

Pamiętając, że:

A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3).

To ma:

AB = <1-2, 1-5> i AC = <3-2, 3-5>

podobnie

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> i AC = <-3 + 2, 3-5>

Następnie znajdują się następujące iloczyny skalarne:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

podobnie

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Miarą kąta BAC jest:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4123 - 2236)) = 40,6º

Podobnie miara kąta B'A'C 'to:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4123 - 2236)) = 40,6º

Wnioskując, że symetria osiowa zachowuje miarę kątów.

Ćwiczenie 4

Niech punkt P będzie miał współrzędne (a, b). Znajdź współrzędne jego symetrii osiowej P 'względem prostej y = x.

Rozwiązanie: Nazwiemy (a ', b') współrzędne punktu symetrycznego P 'względem prostej y = x. Środek M odcinka PP 'ma współrzędne ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) i również znajduje się na linii y = x, więc zachodzi następująca równość:

a + a '= b + b'

Z drugiej strony odcinek PP 'ma nachylenie -1, ponieważ jest prostopadły do ​​prostej y = x ze spadkiem 1, więc zachodzi następująca równość:

b - b '= a' -a

Rozwiązując dwie poprzednie równości a 'i b', stwierdza się, że:

a '= przez to b' = a.

To znaczy, biorąc pod uwagę punkt P (a, b), jego symetria osiowa względem prostej y = x wynosi P '(b, a).

Bibliografia

1. Arce M., Blázquez S i inni. Transformacje samolotu. Odzyskany z: educationutmxli.files.wordpress.com
2. Obliczenie cc. Symetria osiowa. Odzyskany z: calco.cc
3. Superprof. Symetria osiowa. Odzyskany z: superprof.es
4. wikipedia. Symetria osiowa. Odzyskany z: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Symetria kołowa. Odzyskany z: en.wikipedia.com