SUMOWANIE TELESKOPOWE: JAK TO JEST ROZWIĄZANE I JAK ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA

Suma teleskopowy to operacje numeryczne gałąź serii. Zajmuje się sumowaniem elementów od wartości początkowej do „n” wyrażeń, których argument jest zgodny z jednym z następujących wzorców:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Jak również:

Źródło: Pixabay.com

Stanowią sumę elementów, które po opracowaniu podlegają anulowaniu przeciwnych terminów. Umożliwiając zdefiniowanie następującej równości dla sumowania teleskopowego:

Jego nazwa pochodzi od związku z wyglądem klasycznego teleskopu, który można było składać i rozkładać, zmieniając w szczególności jego wymiary. W ten sam sposób podsumowania teleskopowe, które mają nieskończoną naturę, można podsumować w uproszczonym wyrażeniu:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstracja

Przy tworzeniu sumowania terminów eliminacja czynników jest dość oczywista. Gdzie dla każdego z przypadków w następnej iteracji pojawią się przeciwne elementy.

Pierwszy przypadek, (F _x - F _{x + 1} ), zostanie przyjęty jako przykład , ponieważ proces działa w sposób homologiczny dla (F _{x + 1} –F _x ).

Rozwinięcie pierwszych trzech wartości {1, 2, 3} pokazuje tendencję do upraszczania

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Gdzie wyrażając sumę opisanych elementów:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Zauważono, że terminy F ₂ i F ₃ są opisane razem z ich przeciwieństwami, co sprawia, że ich uproszczenie jest nieuniknione. W ten sam sposób obserwuje się, że terminy F ₁ i F ₄ są zachowane.

Jeśli suma została utworzona od x = 1 do x = 3, oznacza to, że element F ₄ odpowiada ogólnemu terminowi F _{n + 1.}

W ten sposób demonstrując równość:

Jak to rozwiązano?

Celem sumowania teleskopowego jest ułatwienie pracy, tak aby nie trzeba było opracowywać nieskończonej liczby terminów, ani upraszczać jakiegoś zbyt długiego łańcucha dodatków.

Aby go rozwiązać, trzeba będzie ocenić tylko wyrazy F ₁ i F _{n + 1} . Te proste podstawienia tworzą ostateczny wynik sumowania.

Całość warunków nie zostanie wyrażona, co stanie się konieczne tylko do zademonstrowania wyniku, ale nie do normalnego procesu obliczania.

Ważne jest, aby zwrócić uwagę na zbieżność szeregów liczbowych. Czasami argument sumujący nie będzie wyrażony teleskopowo. W takich przypadkach wdrażanie alternatywnych metod faktoringu jest bardzo powszechne.

Charakterystyczną metodą faktoryzacji w dodatkach teleskopowych jest metoda ułamków prostych. Dzieje się tak, gdy pierwotny ułamek jest rozkładany na sumę kilku ułamków, gdzie można zaobserwować wzór teleskopowy (F _x - F _{x + 1} ) lub (F _{x + 1} - F _x ).

Rozkład na ułamki proste

Aby zweryfikować zbieżność szeregów liczbowych, bardzo często przekształca się wyrażenia wymierne metodą prostego ułamka. Celem jest zamodelowanie działki w formie sumowania teleskopowego.

Na przykład następująca równość reprezentuje rozkład na proste ułamki:

Podczas opracowywania serii liczb i stosowania odpowiednich właściwości wyrażenie przyjmuje następującą postać:

Tam, gdzie ceniony jest kształt teleskopowy (F _x - F _{x + 1} ).

Procedura jest dość intuicyjna i polega na znalezieniu wartości licznika, które bez naruszania równości pozwalają na rozdzielenie iloczynów znajdujących się w mianowniku. Równania, które powstają przy określaniu tych wartości, są podnoszone na podstawie porównań między obiema stronami równości.

Procedura ta jest obserwowana krok po kroku podczas opracowywania ćwiczenia 2.

Historia

Nie ma pewności, czy można określić historyczny moment, w którym zaprezentowano podsumowania teleskopowe. Jednak jego realizację zaczyna się już w XVII wieku w badaniach szeregów numerycznych prowadzonych przez Leibniza i Huygensa.

Obaj matematycy, badając sumowania liczb trójkątnych, zaczynają dostrzegać tendencje w zbieżności pewnych serii kolejnych elementów. Ale jeszcze bardziej interesujący jest początek modelowania tych wyrażeń w elementach, które niekoniecznie następują po sobie.

W rzeczywistości wyrażenie używane wcześniej w odniesieniu do prostych ułamków:

Został wprowadzony przez Huygensa i natychmiast zwrócił uwagę Leibniza. Kto z biegiem czasu mógł obserwować zbieżność do wartości 2. Nie wiedząc o tym, zaimplementował format sumowania teleskopowego.

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Zdefiniuj, do którego terminu zbiega się następująca suma:

Podczas ręcznego opracowywania sumy obserwuje się następujący wzór:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Tam, gdzie czynniki od 2 ⁴ do 2 ¹⁰ przedstawiają części pozytywne i negatywne, dzięki czemu ich anulowanie jest oczywiste. Wtedy jedynymi czynnikami, które nie zostaną uproszczone, będą pierwsze „2 ³ ” i ostatnie „2 ¹¹ ”.

W ten sposób, wdrażając kryterium sumowania teleskopowego, uzyskuje się:

Ćwiczenie 2

Przekształć argument w sumowanie typu teleskopowego i zdefiniuj zbieżność szeregu:

Jak wskazano w oświadczeniu, pierwszą rzeczą do zrobienia jest rozłożenie na proste ułamki, aby powtórzyć argument i wyrazić go w sposób teleskopowy.

Musisz znaleźć 2 ułamki, których mianownikami są odpowiednio „n” i „n + 1”, przy czym metoda zastosowana poniżej musi uzyskać wartości licznika spełniające równość.

Przechodzimy do zdefiniowania wartości A i B. Najpierw dodaj ułamki.

Następnie upraszcza się mianowniki i ustala się równanie liniowe.

W następnym kroku operuje się wyrażeniem po prawej stronie, aż do uzyskania wzoru porównywalnego z „3” po lewej stronie.

Aby zdefiniować równania, które mają być użyte, należy porównać wyniki obu stron równości. Innymi słowy, żadne wartości zmiennej n nie są obserwowane po lewej stronie, w ten sposób A + B będą musiały być równe zero.

A + B = 0; A = -B

Z drugiej strony stała wartość A będzie musiała być równa stałej wartości 3.

A = 3

A zatem.

A = 3 i B = -3

Gdy wartości liczników dla ułamków prostych są już zdefiniowane, podsumowanie jest przekształcane.

Tam, gdzie ogólna forma sumowania teleskopowego została już osiągnięta. Powstaje seria teleskopowa.

Gdzie przy dzieleniu przez bardzo dużą liczbę wynik będzie coraz bliżej zera, obserwując zbieżność szeregu do wartości 3.

Tego typu szeregów nie można było rozwiązać w żaden inny sposób ze względu na nieskończoną liczbę iteracji definiujących problem. Jednak ta metoda, wraz z wieloma innymi, wyznacza gałąź badań szeregów liczbowych, których celem jest wyznaczenie wartości zbieżności lub określenie rozbieżności tych szeregów.

Bibliografia

Lekcje z rachunku różniczkowego nieskończenie małego. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDYCJA, 1994.
Rachunek całkowy: sekwencje i serie funkcji. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 października. 2014.
Kurs rachunku różniczkowego i analizy rzeczywistej. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 czerwca. 2006.
Nieskończona seria. Tomlinson Fort. Clarendon Press, 1930.
Elementy teorii nieskończonych procesów. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.

SUMOWANIE TELESKOPOWE: JAK TO JEST ROZWIĄZANE I JAK ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026