TEORIA KOLEJEK: HISTORIA, MODEL, DO CZEGO SŁUŻY I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Teoria kolejek jest gałęzią matematyki badająca zjawiska i zachowania w kolejek. Są definiowane, gdy użytkownik żądający określonej usługi decyduje się czekać na przetworzenie serwera.

Zbadaj elementy, które są obecne w dowolnych kolejkach oczekujących, niezależnie od tego, czy są to elementy ludzkie, przetwarzanie danych lub operacje. Jego wnioski dotyczą ciągłego stosowania w liniach produkcyjnych, rejestracyjnych i technologicznych.

Czcionka Pexels

Jego wartości służą do parametryzacji procesów przed ich wdrożeniem, stanowiąc kluczowy element organizacyjny do prawidłowego zarządzania planowaniem.

Historia

Głównym odpowiedzialnym za jego rozwój był urodzony w Danii matematyk Agner Kramp Erlang, który pracował w firmie telekomunikacyjnej Copenhagen Telephone Exchange.

Agner zwrócił uwagę na rosnące potrzeby pojawiające się w systemie dostarczania usług telefonicznych firmy. Dlatego też rozpoczęto badanie zjawisk matematycznych, które można określić ilościowo w systemie oczekujących.

Jego pierwszą oficjalną publikacją był artykuł zatytułowany Teoria kolejek, który ukazał się w 1909 roku. Skupił się głównie na problemie rozmiarów linii i centrów telefonicznych dla obsługi połączeń.

Model i elementy

Istnieją różne modele kolejek, w których pewne aspekty są odpowiedzialne za definiowanie i charakteryzowanie każdego z nich. Przed zdefiniowaniem modeli prezentowane są elementy składające się na każdy model kolejki.

-Elementy

Źródło wejścia lub potencjalna populacja

Jest to zbiór potencjalnych kandydatów do usługi. Dotyczy to wszystkich typów zmiennych, od użytkowników po zestawy pakietów danych. Są one podzielone na skończone i nieskończone w zależności od natury zbioru.

Ogon

Odnosi się do zestawu elementów, które są już częścią systemu usługowego. Które już zgodziły się poczekać na dyspozycyjność operatora. Oczekują na rozwiązanie systemowe.

-System ogonowy

Składa się z triady utworzonej przez kolejkę, mechanizm obsługi i dyscyplinę kolejki. Daje strukturę protokołowi systemu, określając kryteria wyboru elementów w kolejce.

- Mechanizm serwisowy

Jest to proces, w którym usługa jest świadczona każdemu użytkownikowi.

-Klient

Jest to każdy element należący do potencjalnej populacji, który wymaga usługi. Ważne jest, aby znać współczynnik napływu klientów, a także prawdopodobieństwo, że źródło ich wygeneruje.

-Queue pojemność

Odnosi się do maksymalnej pojemności przedmiotów, które mogą czekać na doręczenie. Można go uznać za skończony lub nieskończony, w większości przypadków nieskończony według kryteriów praktyczności.

-Dyscyplina kolejki

Jest to protokół, według którego ustala się kolejność obsługi klienta. Służy jako kanał przetwarzania i zamawiania dla użytkowników, odpowiadając za ich dyspozycję i ruch w kolejce. Zgodnie z twoimi kryteriami może być różnych typów.

- FIFO: od akronimu w języku angielskim „First in first out”, znanego również jako FCFS, kto pierwszy ten lepszy. Co oznacza odpowiednio: „Pierwszy na wejściu” i „Pierwszy na wejściu”. Oba formularze oznaczają, że pierwszy klient, który przybędzie, będzie pierwszym obsługiwanym.

- LIFO: Ostatni na wejściu, pierwszy wyszedł, znany również jako stack lub LCFS, ostatni ten lepszy. Tam, gdzie klient, który przybył ostatni, jest obsługiwany jako pierwszy.

- RSS: Losowy wybór usługi zwanej również usługą SIRO w kolejności losowej, w której klienci są wybierani według losowych lub losowych kryteriów.

Modele

Istnieją 3 aspekty, które rządzą modelem kolejkowania do rozważenia. Są to następujące:

- Rozkład czasu między przyjazdami: odnosi się do tempa, z jakim jednostki są dodawane do kolejki. Są wartościami funkcjonalnymi i podlegają różnym zmiennym w zależności od ich charakteru.

- Rozkład czasu obsługi: czas używany przez serwer do przetwarzania usługi żądanej przez klienta. Różni się w zależności od liczby ustalonych operacji lub procedur.

Te 2 aspekty mogą przyjąć następujące wartości:

M: wykładniczy rozkład wykładniczy (Markoviana).

D: Rozkład zdegenerowany (czasy stałe).

E _k : rozkład Erlanga z parametrem kształtu k.

G: Dystrybucja ogólna (dowolna dystrybucja).

- Liczba serwerów: bramy usług są otwarte i dostępne do przetwarzania klientów. Są one niezbędne do strukturalnej definicji każdego modelu kolejkowania.

W ten sposób definiuje się modele kolejek, najpierw biorąc inicjały dużymi literami w odniesieniu do rozkładu czasu przybycia i rozkładu czasu obsługi. Na koniec badana jest liczba serwerów.

Dość powszechnym przykładem jest MM 1, który odnosi się do wykładniczego typu dystrybucji czasu przybycia i obsługi podczas pracy z pojedynczym serwerem.

Inne typy modeli kolejek to między innymi MM s, MG 1, ME 1, DM 1.

Rodzaje systemów kolejkowych

Istnieje kilka typów systemów kolejkowych, w których wiele zmiennych służy jako wskaźniki typu przedstawionego systemu. Ale zasadniczo zależy to od liczby kolejek i liczby serwerów. Obowiązuje również liniowa struktura, której podlega użytkownik, aby otrzymać usługę.

- Kolejka i serwer. Jest to typowa struktura, w której użytkownik poprzez system przybycia wchodzi do kolejki, gdzie po zakończeniu oczekiwania zgodnie z dyscypliną kolejki jest przetwarzany przez jedyny serwer.

- Jedna kolejka i wiele serwerów. Na koniec czasu oczekiwania użytkownik może przejść do różnych serwerów, które mogą być wykonawcami tych samych procesów, jak również mogą być prywatne dla różnych procedur.

- Wiele kolejek i wiele serwerów. Struktura może być podzielona na różne procesy lub służyć jako szeroki kanał w celu pokrycia dużego zapotrzebowania na wspólną usługę.

- Kolejka z sekwencyjnymi serwerami. Użytkownicy przechodzą przez różne etapy. Wchodzą i zajmują miejsce w kolejce, a gdy są obsługiwani przez pierwszy serwer, przechodzą do nowego etapu, który wymaga wcześniejszych wypełnień dokonanych w pierwszej usłudze.

Terminologia

- λ: Ten symbol (Lambda) reprezentuje w teorii kolejkowania oczekiwaną wartość wejść w przedziale czasu.

- 1 / λ: Odpowiada oczekiwanej wartości między czasami przybycia każdego użytkownika, który wchodzi do systemu.

- μ: symbol Mu odpowiada oczekiwanej liczbie klientów, którzy ukończyli usługę w jednostce czasu. Dotyczy to każdego serwera.

- 1 / μ: czas obsługi oczekiwany przez system.

- ρ: symbol Rho oznacza współczynnik wykorzystania serwera. Służy do mierzenia czasu, przez jaki serwer będzie przetwarzał użytkowników.

ρ = λ / sμ

Jeśli p> 1, system będzie przejściowy, będzie się rozwijał, ponieważ wskaźnik użyteczności serwera jest poniżej liczby użytkowników wchodzących do systemu.

Jeśli p <1 system pozostanie stabilny.

Do czego służy teoria

Powstał w celu optymalizacji procesów świadczenia usług telefonicznych. Wyznacza to użyteczność w odniesieniu do zjawisk oczekujących w kolejkach, gdzie dąży się do redukcji wartości czasu i anulowania wszelkiego rodzaju przeróbek lub zbędnych procesów, które spowalniają proces użytkowników i operatorów.

Czcionka Pexels

Na bardziej złożonych poziomach, gdzie zmienne wejściowe i usługowe przyjmują wartości mieszane, obliczenia wykonywane poza teorią kolejek są prawie nie do pomyślenia. Formuły dostarczone przez teorię otworzyły zaawansowany rachunek różniczkowy w tej dziedzinie.

Elementy występujące we wzorach

- Pn: wartość odnosząca się do prawdopodobieństwa, że ​​w systemie znajduje się „n” jednostek.

- Lq: długość kolejki lub średnia wartość znajdujących się w niej użytkowników.

- Ls: Średnia jednostek w systemie.

- Wq: średni wskaźnik oczekiwania w kolejce.

- Ws: średni czas oczekiwania w systemie.

- _λ: średnia liczba klientów, którzy wchodzą do usługi.

- Ws (t): wartość odnosząca się do prawdopodobieństwa, że ​​klient pozostanie w systemie więcej niż jednostek „t”.

- Wq (t): wartość odnosząca się do prawdopodobieństwa, że ​​klient pozostanie w kolejce więcej niż jednostek „t”.

Przykłady

Rejestr ma jeden serwer do przetwarzania paszportów przybywających użytkowników. W rejestrze uczestniczy średnio 35 użytkowników na godzinę. Serwer może obsłużyć 45 użytkowników na godzinę. Wcześniej wiadomo, że użytkownicy spędzają w kolejce średnio 5 minut.

Chcesz wiedzieć:

1. Średni czas spędzany przez każdego użytkownika w systemie
2. Średnia liczba klientów w kolejce

Mamy λ = 35/45 Klientów / min

μ = 45/60 klientów / minuty

Wq = 5 minut

Część A.

Średni czas w systemie można obliczyć za pomocą Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minut + 1,33 = 6,33 minuty

W ten sposób definiuje się łączny czas, przez jaki użytkownik będzie w systemie, gdzie 5 minut będzie w kolejce, a 1,33 minuty na serwerze.

Część B.

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 minut klienta) x (5 minut) = 3,89 klienta

W kolejce może jednocześnie znajdować się więcej niż 3 klientów.

Bibliografia

1. Zarządzanie operacyjne. Od redakcji Vértice, 16 kwietnia. 2007
2. Teoria kolejek lub kolejki. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. Teoria systemów rozwiązała problemy. Roberto Sanchis Llopis. Publikacje Universitat Jaume I, 2002
4. Ilościowe metody organizacji przemysłu II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. z Catalunya, 2009
5. Teoria zapasów i jej zastosowanie. Od redakcji Pax-México, 1967