TWIERDZENIE MOIVRE'A: DOWÓD I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Twierdzenie Moivre stosowane algebry zasadnicze procesy, takie jak prawo i ekstrakcji korzeni w liczbach zespolonych. Twierdzenie to sformułował znany francuski matematyk Abraham de Moivre (1730), który wiązał liczby zespolone z trygonometrią.

Abraham Moivre dokonał tego skojarzenia poprzez wyrażenia sinusa i cosinusa. Ten matematyk wygenerował rodzaj formuły, dzięki której można podnieść liczbę zespoloną z do potęgi n, która jest dodatnią liczbą całkowitą większą lub równą 1.

Co to jest twierdzenie Moivre'a?

Twierdzenie Moivre'a stwierdza, co następuje:

Jeśli mamy liczbę zespoloną w postaci biegunowej z = r _Ɵ , gdzie r jest modułem liczby zespolonej z, a kąt Ɵ nazywamy amplitudą lub argumentem dowolnej liczby zespolonej z 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, aby obliczyć jej n– potęgi nie będzie konieczne jej mnożenie przez siebie n-krotnie; to znaczy nie jest konieczne wykonanie następującego produktu:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-razy.

Wręcz przeciwnie, twierdzenie mówi, że pisząc z w postaci trygonometrycznej, aby obliczyć n-tą potęgę, postępujemy w następujący sposób:

Jeśli z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), to z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Na przykład, jeśli n = 2, to z ² = r ² . Jeśli n = 3, to z ³ = z ² _* z. Również:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

W ten sposób można uzyskać stosunki trygonometryczne sinusa i cosinusa dla wielokrotności kąta, o ile znane są stosunki trygonometryczne kąta.

W ten sam sposób można go użyć do znalezienia bardziej precyzyjnych i mniej mylących wyrażeń dla n-tego pierwiastka liczby zespolonej z, tak że z ⁿ = 1.

Aby udowodnić twierdzenie Moivre'a, stosuje się zasadę indukcji matematycznej: jeśli liczba całkowita „a” ma właściwość „P” i jeśli dla dowolnej liczby całkowitej „n” jest większa niż „a”, która ma właściwość „P” Spełnia to, że n + 1 ma również właściwość „P”, wtedy wszystkie liczby całkowite większe lub równe „a” mają właściwość „P”.

Demonstracja

Zatem dowód twierdzenia odbywa się za pomocą następujących kroków:

Podstawa indukcyjna

Najpierw sprawdza się n = 1.

Ponieważ z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , twierdzenie obowiązuje dla n = 1.

Hipoteza indukcyjna

Zakłada się, że wzór jest prawdziwy dla pewnej dodatniej liczby całkowitej, to znaczy n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Weryfikacja

Udowodniono, że jest to prawdą dla n = k + 1.

Ponieważ z ^{k + 1} = z ^k _* z, to z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Następnie wyrażenia są mnożone:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Przez chwilę współczynnik r ^{k + 1} jest ignorowany i przyjmuje się wspólny współczynnik i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Ponieważ i ² = -1, podstawiamy go w wyrażeniu i otrzymujemy:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Teraz część rzeczywista i część urojona są uporządkowane:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Aby uprościć wyrażenie, trygonometryczne tożsamości sumy kątów są stosowane do cosinusa i sinusa, które są:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

W tym przypadku zmiennymi są kąty Ɵ i kƟ. Stosując tożsamości trygonometryczne, mamy:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

W ten sposób wyrażenie to:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Można zatem wykazać, że wynik jest prawdziwy dla n = k + 1. Z zasady indukcji matematycznej wynika, że ​​wynik jest prawdziwy dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych; to znaczy n ≥ 1.

Ujemna liczba całkowita

Twierdzenie Moivre'a jest również stosowane, gdy n ≤ 0. Rozważmy ujemną liczbę całkowitą „n”; wtedy „n” można zapisać jako „-m”, to znaczy n = -m, gdzie „m” jest dodatnią liczbą całkowitą. A zatem:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Aby otrzymać wykładnik „m” w sposób dodatni, wyrażenie zapisujemy odwrotnie:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Teraz jest używane, że jeśli z = a + b * i jest liczbą zespoloną, to 1 ÷ z = ab * i. A zatem:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Używając tego cos (x) = cos (-x) i tego -sen (x) = sin (-x), otrzymujemy:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Można zatem powiedzieć, że twierdzenie to ma zastosowanie do wszystkich wartości całkowitych „n”.

Rozwiązane ćwiczenia

Obliczanie dodatnich mocy

Jedną z operacji na liczbach zespolonych w postaci biegunowej jest pomnożenie przez dwa z nich; w takim przypadku moduły są mnożone, a argumenty są dodawane.

Jeśli masz dwie liczby zespolone Z _{1 i} Z ₂ i chcesz obliczyć (z ₁ * z ₂ ) ² , a następnie postępować w następujący sposób:

z ₁ z ₂ = *

Właściwość rozdzielcza ma zastosowanie:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Są one pogrupowane, biorąc termin „i” jako wspólny czynnik wyrażeń:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Ponieważ i ² = -1, jest podstawiane w wyrażeniu:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Realne terminy są przegrupowywane z rzeczywistymi, a wyimaginowane z wyobrażonymi:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Wreszcie mają zastosowanie właściwości trygonometryczne:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Podsumowując:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Ćwiczenie 1

Napisz liczbę zespoloną w postaci biegunowej, jeśli z = - 2 -2i. Następnie, korzystając z twierdzenia Moivre'a, oblicz z ⁴ .

Rozwiązanie

Liczba zespolona z = -2 -2i jest wyrażona w postaci prostokątnej z = a + bi, gdzie:

a = -2.

b = -2.

Wiedząc, że postać biegunowa to z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), musimy wyznaczyć wartość modułu „r” oraz wartość argumentu „Ɵ”. Ponieważ r = √ (a² + b²), podane wartości są podstawiane:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Następnie, aby określić wartość «Ɵ», przyjmuje się prostokątny kształt, który jest określony wzorem:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Ponieważ tan (Ɵ) = 1 i mamy <0, to mamy:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Ponieważ wartość „r” i „Ɵ” została już uzyskana, liczbę zespoloną z = -2 -2i można wyrazić w postaci polarnej przez podstawienie wartości:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Teraz używamy twierdzenia Moivre'a do obliczenia z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Ćwiczenie 2

Znajdź iloczyn liczb zespolonych, wyrażając go w postaci biegunowej:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Następnie oblicz (z1 * z2) ².

Rozwiązanie

Najpierw tworzony jest iloczyn podanych liczb:

z ₁ z ₂ = *

Następnie moduły są mnożone przez siebie, a argumenty są dodawane:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Wyrażenie jest uproszczone:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Wreszcie, ma zastosowanie twierdzenie Moivre'a:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Obliczanie ujemnych mocy

Aby podzielić dwóch liczb zespolonych ż _{1 i} ż ₂ w ich postaci polarnym moduł jest podzielona i argumenty są odejmowane. Zatem iloraz wynosi z ₁ ÷ z ₂ i wyraża się następująco:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Podobnie jak w poprzednim przypadku, jeśli chcemy obliczyć (z1 ÷ z2) ³, najpierw dokonuje się podziału, a następnie stosuje się twierdzenie Moivre'a.

Ćwiczenie 3

Kości:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

obliczyć (z1 ÷ z2) ³.

Rozwiązanie

Postępując zgodnie z opisanymi powyżej krokami można stwierdzić, że:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Bibliografia

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
2. Croucher, M. (nd). Z twierdzenia Moivre'a o tożsamościach trygonometrycznych. Projekt demonstracji Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyklopedia matematyki.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra i trygonometria.
5. Pérez, CD (2010). Edukacja Pearson.
6. Stanley, G. (nd). Algebra liniowa. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.