TWIERDZENIE STEINERA: WYJAŚNIENIE, ZASTOSOWANIA, ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2025

Twierdzenie Steinera , znane również jako twierdzenie o osi równoległej, do oceny momentu bezwładności rozciągniętego ciała, wokół osi równoległej do innej, przechodzącej przez środek masy obiektu.

Został odkryty przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Steinera (1796–1863) i stwierdza, co następuje: Niech I _{CM będzie} momentem bezwładności obiektu względem osi przechodzącej przez jego środek masy CM oraz I _z moment bezwładności względem innej osi równolegle do tego.

Rysunek 1. Prostokątne drzwi obracające się na zawiasach mają moment bezwładności, który można obliczyć stosując twierdzenie Steinera. Źródło: Pixabay.

Znając odległość D dzielącą obie osie oraz masę M ciała, o którym mowa, moment bezwładności względem nieznanej osi wynosi:

Moment bezwładności wskazuje, jak łatwo obiekt obraca się wokół określonej osi. Zależy to nie tylko od masy ciała, ale także od sposobu jego dystrybucji. Z tego powodu jest również znany jako bezwładność obrotowa, będąc jej jednostkami w międzynarodowym układzie Kg. m ² .

Z twierdzenia wynika, że ​​moment bezwładności I _z jest zawsze większy od momentu bezwładności I _CM o wielkość podaną przez MD ² .

Aplikacje

Ponieważ obiekt może obracać się wokół wielu osi, a w tabelach zwykle podaje się tylko moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości, twierdzenie Steinera ułatwia obliczenia, kiedy konieczne jest obracanie ciał wokół osi które nie pasują do tego.

Na przykład drzwi zwykle nie obracają się wokół osi przechodzącej przez środek ich masy, ale wokół osi bocznej, do której przylegają zawiasy.

Znając moment bezwładności można obliczyć energię kinetyczną związaną z obrotem wokół wspomnianej osi. Jeżeli K jest energią kinetyczną, ja moment bezwładności wokół danej osi i ω prędkość kątowa, to wynika, że:

Równanie to jest bardzo podobne do bardzo znanego wzoru na energię kinetyczną obiektu o masie M poruszającego się z prędkością v: K = ½ Mv ² . Chodzi o to, że moment bezwładności lub bezwładności obrotowej I odgrywa taką samą rolę w ruchu obrotowym jak masa M w translacji.

Dowód twierdzenia Steinera

Moment bezwładności rozciągniętego obiektu definiuje się jako:

I = ∫ r ² dm

Gdzie dm jest nieskończenie małą częścią masy, a r jest odległością między dm a osią obrotu z. Na rysunku 2 oś ta przecina środek masy CM, jednak może to być dowolny.

Rysunek 2. Obiekt rozciągnięty w ruchu obrotowym wokół dwóch równoległych osi. Źródło: F. Zapata.

Wokół innej osi z 'moment bezwładności wynosi:

Ja _z = ∫ (r ') ² dm

Teraz, zgodnie z trójkątem utworzonym przez wektory D , r i r ' (patrz rysunek 2 po prawej), mamy sumę wektorów:

r + r ' = D → r' = D - r

Trzy wektory leżą na płaszczyźnie obiektu, którą może być xy. Początek układu współrzędnych (0,0) wybiera się w CM, aby ułatwić dalsze obliczenia.

W ten sposób kwadratowy moduł wektora r ' to:

Teraz ten rozwój jest podstawiany w całkę z momentu bezwładności I _z, a także używana jest definicja gęstości dm = ρ.dV:

Termin M. D ² występujący w twierdzeniu Steinera pochodzi od pierwszej całki, druga to moment bezwładności względem osi przechodzącej przez CM.

Ze swojej strony trzecia i czwarta całka są warte 0, ponieważ z definicji stanowią one położenie ŚP, które zostało wybrane jako początek układu współrzędnych (0,0).

Rozwiązane ćwiczenia

-Rozwiązane ćwiczenie 1

Prostokątne drzwi na rysunku 1 mają masę 23 kg, 1,30 szerokości i 2,10 m wysokości. Wyznacz moment bezwładności drzwi względem osi przechodzącej przez zawiasy zakładając, że drzwi są cienkie i jednolite.

Rysunek 3. Schemat praktycznego przykładu 1. Źródło: zmodyfikowano na podstawie Pixabay.

Rozwiązanie

Z tabeli momentów bezwładności dla prostokątnej płyty o masie M i wymiarach a i b moment bezwładności względem osi przechodzącej przez jej środek masy wynosi: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Zakładana będzie jednorodna bramka (przybliżenie, ponieważ brama na rysunku prawdopodobnie nie jest). W takim przypadku środek masy przechodzi przez jej środek geometryczny. Na rysunku 3 narysowano oś przechodzącą przez środek masy, która jest również równoległa do osi przechodzącej przez zawiasy.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 kg. M ²

Stosując twierdzenie Steinera do zielonej osi obrotu:

I = I _CM + MD ² = 11,7 kg. M ² + 23 kg x 0,652 m ² = 21,4 kg.

-Rozwiązane ćwiczenie 2

Znajdź moment bezwładności jednorodnego cienkiego pręta, gdy obraca się on wokół osi przechodzącej przez jeden z jego końców, patrz rysunek. Czy jest większy czy mniejszy niż moment bezwładności, gdy obraca się wokół swojego środka? Czemu?

Rysunek 4. Schemat rozwiązanego przykładu 2. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Zgodnie z tabelą momentów bezwładności, moment bezwładności I _CM cienkiego pręta o masie M i długości L wynosi: I _CM = (1/12) ML ²

Twierdzenie Steinera stwierdza, że ​​gdy jest obracany wokół osi przechodzącej przez jeden koniec D = L / 2, pozostaje:

Jest większa, choć nie tylko dwukrotnie, ale 4 razy więcej, ponieważ druga połowa pręta (nie zacieniowana na rysunku) obraca się opisując większy promień.

Wpływ odległości do osi obrotu nie jest liniowy, lecz kwadratowy. Masa, która jest dwukrotnie większa od innej masy, będzie miała moment bezwładności proporcjonalny do (2D) ² = 4D ² .

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Ruch obrotowy. Odzyskany z: phys.nthu.edu.tw.
3. Twierdzenie o osi równoległej. Odzyskane z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. Osoba. 190-200.
5. Wikipedia. Twierdzenie o osi równoległej. Odzyskane z: en.wikipedia.org