- Pierwsze twierdzenie Talesa
- Podanie
- Przykłady
- Drugie twierdzenie Talesa
- Obwodowy obwód
- Podanie
- Przykład
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Pierwsze i drugie twierdzenie Talesa z Miletu opierają się na określaniu trójkątów z podobnych (pierwsze twierdzenie) lub z okręgów (drugie twierdzenie). Były bardzo przydatne w różnych dziedzinach. Na przykład pierwsze twierdzenie było bardzo przydatne do pomiaru dużych konstrukcji, gdy nie było wyrafinowanych przyrządów pomiarowych.
Tales z Miletu był greckim matematykiem, który wniósł wielki wkład do geometrii, z której wyróżniają się te dwa twierdzenia (w niektórych tekstach jest również napisany jako Tales) i ich przydatnych zastosowań. Wyniki te były używane w historii i umożliwiły rozwiązanie wielu różnorodnych problemów geometrycznych.
Tales z Miletu
Pierwsze twierdzenie Talesa
Pierwsze twierdzenie Talesa jest bardzo przydatnym narzędziem, które między innymi pozwala na skonstruowanie trójkąta podobnego do innego, znanego wcześniej. Stąd wyprowadzane są różne wersje twierdzenia, które można zastosować w wielu kontekstach.
Zanim wydasz swoje oświadczenie, przypomnijmy sobie kilka pojęć podobieństwa trójkątów. Zasadniczo dwa trójkąty są podobne, jeśli ich kąty są przystające (mają tę samą miarę). Skutkuje to tym, że jeśli dwa trójkąty są podobne, to ich odpowiadające im (lub homologiczne) boki są proporcjonalne.
Pierwsze twierdzenie Talesa stwierdza, że jeśli linia jest narysowana równolegle do dowolnego z jej boków w danym trójkącie, nowy uzyskany trójkąt będzie podobny do trójkąta początkowego.
Uzyskuje się również zależność między utworzonymi kątami, jak pokazano na poniższym rysunku.
Podanie
Spośród wielu jego zastosowań, jedno szczególnie interesujące wyróżnia się i dotyczy jednego ze sposobów wykonywania pomiarów dużych konstrukcji w starożytności, w czasach, w których żył Tales i w których nie było nowoczesnych urządzeń pomiarowych, które istnieją teraz.
Mówi się, że w ten sposób Talesowi udało się zmierzyć najwyższą piramidę w Egipcie, Cheopsa. W tym celu Thales przypuszczał, że odbicia promieni słonecznych dotknęły ziemi, tworząc równoległe linie. Przy takim założeniu przybił pionowo do ziemi kij lub laskę.
Następnie wykorzystał podobieństwo dwóch powstałych trójkątów, jeden utworzony przez długość cienia piramidy (którą można łatwo obliczyć) i wysokość piramidy (nieznany), a drugi utworzony przez długość cienia i wysokość pręta (którą również można łatwo obliczyć).
Stosując proporcjonalność między tymi długościami, wysokość piramidy można rozwiązać i poznać.
Chociaż ta metoda pomiaru może dać znaczny błąd aproksymacji w odniesieniu do dokładności wysokości i zależy od równoległości promieni słonecznych (która z kolei zależy od dokładnego czasu), należy uznać, że jest to bardzo genialny pomysł i że stanowiło dobrą alternatywę pomiaru w tym czasie.
Przykłady
Znajdź wartość x w każdym przypadku:
Drugie twierdzenie Talesa
Drugie twierdzenie Talesa określa trójkąt prostokątny wpisany w okrąg w każdym jego punkcie.
Trójkąt wpisany w obwód to trójkąt, którego wierzchołki znajdują się na obwodzie, pozostając w nim zawartym.
W szczególności drugie twierdzenie Talesa stwierdza, co następuje: biorąc pod uwagę obwód środka O i średnicę AC, każdy punkt B obwodu (inny niż A i C) wyznacza trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym
Dla uzasadnienia zwróćmy uwagę, że zarówno OA, jak i OB i OC odpowiadają promieniu koła; dlatego ich pomiary są takie same. Z tego wynika, że trójkąty OAB i OCB są równoramienne, gdzie
Wiadomo, że suma kątów trójkąta jest równa 180º. Używając tego z trójkątem ABC mamy:
2b + 2a = 180º.
Równoważnie mamy, że b + a = 90º i b + a =
Zauważ, że trójkąt prostokątny dostarczony przez drugie twierdzenie Talesa jest dokładnie tym, którego przeciwprostokątna jest równa średnicy obwodu. Dlatego jest całkowicie określony przez półkole zawierające punkty trójkąta; w tym przypadku górne półkole.
Zauważmy również, że w trójkącie prostokątnym otrzymanym za pomocą drugiego twierdzenia Talesa przeciwprostokątna jest podzielona na dwie równe części przez OA i OC (promień). Z kolei miara ta jest równa odcinkowi OB (również promieniowi), który odpowiada medianie trójkąta ABC o B.
Innymi słowy, długość środkowej trójkąta prostokątnego ABC odpowiadającego wierzchołkowi B jest całkowicie określona przez połowę przeciwprostokątnej. Przypomnijmy, że mediana trójkąta to odcinek od jednego z wierzchołków do środka przeciwległej strony; w tym przypadku segment BO.
Obwodowy obwód
Innym sposobem spojrzenia na drugie twierdzenie Talesa jest obwód ograniczony do trójkąta prostokątnego.
Ogólnie rzecz biorąc, obwód opisany wielokątem składa się z obwodu przechodzącego przez każdy z jego wierzchołków, gdy tylko można go narysować.
Korzystając z drugiego twierdzenia Talesa, biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny, możemy zawsze skonstruować obwód do niego ograniczony, o promieniu równym połowie przeciwprostokątnej i środku obwodu (środek obwodu) równym środkowi przeciwprostokątnej.
Podanie
Bardzo ważnym zastosowaniem drugiego twierdzenia Talesa i być może najczęściej używanym jest znalezienie stycznych do danego okręgu, przechodzących przez zewnętrzny do niego punkt P (znany).
Zauważ, że biorąc pod uwagę okrąg (narysowany na niebiesko na poniższym rysunku) i zewnętrzny punkt P, istnieją dwie linie styczne do okręgu przechodzącego przez P. Niech T i T 'będą punktami styczności, r promieniem okręgu i Albo centrum.
Wiadomo, że odcinek, który biegnie od środka koła do jego punktu styczności, jest prostopadły do tej stycznej. Więc kąt OTP jest właściwy.
Z tego, co widzieliśmy wcześniej w pierwszym twierdzeniu Talesa i jego różnych wersjach, widzimy, że jest możliwe wpisanie trójkąta OTP w innym okręgu (na czerwono).
Podobnie otrzymano, że trójkąt OT'P można wpisać w ten sam poprzedni obwód.
Z drugiego twierdzenia Talesa otrzymujemy również, że średnica tego nowego obwodu jest dokładnie przeciwprostokątną trójkąta OTP (która jest równa przeciwprostokątnej trójkąta OT'P), a środek jest środkiem tej przeciwprostokątnej.
Aby obliczyć środek nowego obwodu, wystarczy obliczyć punkt środkowy między środkiem - powiedzmy M - obwodu początkowego (który już znamy) a punktem P (który również znamy). Wtedy promień będzie odległością między tym punktem M i P.
Mając promień i środek czerwonego koła, możemy znaleźć równanie kartezjańskie, które, jak pamiętamy, jest dane wzorem (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 , gdzie c jest promieniem, a punkt (h, k) środek obwodu.
Znając już równania obu okręgów, możemy je przeciąć rozwiązując utworzony przez nie układ równań, a tym samym uzyskując punkty styczności T i T '. Wreszcie, aby poznać żądane styczne, wystarczy znaleźć równanie prostych przechodzących przez T i P oraz przez T 'i P.
Przykład
Rozważ obwód o średnicy AC, środku O i promieniu 1 cm. Niech B będzie takim punktem na obwodzie, że AB = AC. Jak wysoki jest AB?
Rozwiązanie
Z drugiego twierdzenia Talesa wynika, że trójkąt ABC jest prosty, a przeciwprostokątna odpowiada średnicy, która w tym przypadku wynosi 2 cm (promień wynosi 1 cm). Następnie, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, mamy:
Bibliografia
- Ana Lira, PJ (2006). Geometria i trygonometria. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
- Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
- Gutiérrez, Á. DO. (2004). Metodologia i zastosowania matematyki w ESO Ministerstwo Edukacji.
- IGER. (2014). Matematyka w drugim semestrze Zaculeu. Gwatemala: IGER.
- José Jiménez, LJ (2006). Matematyka 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
- M., S. (1997). Trygonometria i geometria analityczna. Edukacja Pearson.
- Pérez, MA (2009). Historia matematyki: wyzwania i podboje poprzez jej charakter. Wizja redakcyjna Libros.
- Viloria, N. i Leal, J. (2005). Geometria analityczna płaszczyzny. Od redakcji Venezolana CA