TWIERDZENIE VARIGNONA: PRZYKŁADY I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Twierdzenie Varignon stwierdza, że jeśli każdy czworokąt stale połączony środkami boków, równoległobok jest generowany. To twierdzenie zostało sformułowane przez Pierre'a Varignona i opublikowane w 1731 roku w książce Elements of mathematics ”.

Publikacja książki miała miejsce lata po jego śmierci. Ponieważ to Varignon wprowadził to twierdzenie, równoległobok został nazwany jego imieniem. Twierdzenie jest oparte na geometrii euklidesowej i przedstawia zależności geometryczne czworoboków.

Co to jest twierdzenie Varignona?

Varignon stwierdził, że figura zdefiniowana przez środki czworoboku zawsze będzie skutkowała równoległobokiem, a obszar równoległoboku będzie zawsze stanowił połowę powierzchni czworoboku, jeśli jest płaski i wypukły. Na przykład:

Na rysunku widać czworobok z obszarem X, gdzie środki boków są reprezentowane przez E, F, G i H, a po połączeniu tworzą równoległobok. Obszar czworoboku będzie sumą powierzchni utworzonych trójkątów, a połowa z tego odpowiada powierzchni równoległoboku.

Ponieważ powierzchnia równoległoboku stanowi połowę powierzchni czworoboku, można określić obwód tego równoległoboku.

Zatem obwód jest równy sumie długości przekątnych czworoboku; Dzieje się tak dlatego, że środkowe czworoboku będą przekątnymi równoległoboku.

Z drugiej strony, jeśli długości przekątnych czworoboku są dokładnie takie same, równoległobok będzie rombem. Na przykład:

Z rysunku widać, że łącząc punkty środkowe boków czworoboku, uzyskuje się romb. Z drugiej strony, jeśli przekątne czworoboku są prostopadłe, równoległobok będzie prostokątem.

Równoległobok będzie również kwadratem, gdy czworokąt ma przekątne o tej samej długości i są one również prostopadłe.

Twierdzenie to spełnia się nie tylko w płaskich czworobokach, ale jest również implementowane w geometrii przestrzennej lub w dużych wymiarach; to znaczy w tych czworobokach, które nie są wypukłe. Przykładem może być ośmiościan, w którym punkty środkowe są centroidami każdej ściany i tworzą równoległościan.

W ten sposób, łącząc punkty środkowe różnych figur, można uzyskać równoległoboki. Łatwym sposobem sprawdzenia, czy to prawda, jest to, że przeciwległe boki muszą być równoległe po rozciągnięciu.

Przykłady

Pierwszy przykład

Przedłużenie przeciwległych boków, aby pokazać, że jest to równoległobok:

Drugi przykład

Łącząc punkty środkowe rombu, otrzymujemy prostokąt:

Twierdzenie jest używane w sumowaniu punktów znajdujących się w środku boków czworoboku, ale może być również używane do innych typów punktów, takich jak trisekcja, penta-sekcja, a nawet nieskończona liczba przekrojów ( nth), aby podzielić boki dowolnego czworoboku na segmenty, które są proporcjonalne.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Na rysunku mamy czworobok ABCD obszaru Z, gdzie środki boków tego obszaru to PQSR. Sprawdź, czy utworzono równoległobok Varignon.

Rozwiązanie

Można zauważyć, że łącząc punkty PQSR, powstaje równoległobok Varignon, właśnie dlatego, że w instrukcji podane są punkty środkowe czworoboku.

Aby to zademonstrować, najpierw łączy się punkty środkowe PQSR, dzięki czemu widać, że powstaje kolejny czworobok. Aby udowodnić, że jest to równoległobok, wystarczy narysować prostą od punktu C do punktu A, aby można było zobaczyć, że CA jest równoległe do PQ i RS.

W ten sam sposób, podczas rozszerzania boków PQRS można zauważyć, że PQ i RS są równoległe, jak pokazano na poniższym obrazku:

Ćwiczenie 2

Mamy taki prostokąt, że długości wszystkich jego boków są równe. Łącząc punkty środkowe tych boków, powstaje romb ABCD, który jest podzielony dwiema przekątnymi AC = 7 cm i BD = 10 cm, które pokrywają się z wymiarami boków prostokąta. Określ obszary rombu i prostokąta.

Rozwiązanie

Pamiętając, że powierzchnia powstałego równoległoboku jest połową czworoboku, można je określić, wiedząc, że miara przekątnych pokrywa się z bokami prostokąta. Więc musisz:

AB = D

CD = d

_Prostokąt = (AB _* CD) = (10cm _* 7 cm) = 70cm ²

_Rombu = A _prostokąt / 2

_Rombu = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Ćwiczenie 3

Na rysunku znajduje się czworokąt, który ma połączenie punktów EFGH, podano długości segmentów. Określić, czy suma EFGH jest równoległobokiem.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę długość segmentów, można sprawdzić, czy istnieje proporcjonalność między segmentami; to znaczy możesz wiedzieć, czy są równoległe, odnosząc segmenty czworoboku w następujący sposób:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Następnie sprawdzana jest proporcjonalność, ponieważ:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Podobnie, rysując linię od punktu B do punktu D, można zauważyć, że EH jest równoległa do BD, tak jak BD jest równoległa do FG. Z drugiej strony EF jest równoległy do ​​GH.

W ten sposób można stwierdzić, że EFGH jest równoległobokiem, ponieważ przeciwległe boki są równoległe.

Bibliografia

1. Andres, T. (2010). Olimpiada Matematyczna Tresure. Skoczek. Nowy Jork.
2. Barbosa, JL (2006). Płaska geometria euklidesowa. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Badanie geometrii. Meksyk: Hiszpanie - Amerykanie.
4. Ramo, GP (1998). Nieznane rozwiązania problemów Fermata-Torricellego. ISBN - praca niezależna.
5. Vera, F. (1943). Elementy geometrii. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Niektóre przygody w geometrii euklidesowej. Afryka Południowa.