PARKIETAŻ: CHARAKTERYSTYKA, TYPY (REGULARNE, NIEREGULARNE), PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

W Tilings są powierzchnie powlekane jedną lub więcej postacie zwane tester. Są wszędzie: na ulicach i wszelkiego rodzaju budynkach. Płytki lub płytki to płaskie elementy, zwykle wielokąty z przystającymi lub izometrycznymi kopiami, które są układane według regularnego wzoru. W ten sposób nie ma pustych przestrzeni, a płytki lub mozaiki nie nachodzą na siebie.

W przypadku użycia jednego rodzaju mozaiki utworzonej przez regularny wielokąt, to występuje teselacja regularna, ale jeśli stosuje się dwa lub więcej typów wielokątów regularnych, jest to teselacja półregularna.

Rysunek 1. Podłoga z płytek z nieregularną mozaiką, ponieważ prostokąty są nieregularnymi wielokątami, mimo że kwadraty są. Źródło: Pixabay.

Wreszcie, kiedy wielokąty, które tworzą teselacja, nie są regularne, jest to nieregularna mozaika.

Najpopularniejszym rodzajem teselacji są mozaiki prostokątne, a zwłaszcza kwadratowe. Na rysunku 1 mamy dobry przykład.

Historia teselacji

Tesselacja była używana od tysięcy lat do pokrywania podłóg i ścian pałaców i świątyń z różnych kultur i religii.

Na przykład cywilizacja sumeryjska, która rozkwitła około 3500 rpne na południe od Mezopotamii, między rzekami Eufrat i Tygrys, wykorzystywała teselacje w swojej architekturze.

Rysunek 2. Sumeryjskie teselacje przy bramie Istar. Źródło: Wikimedia Commons.

Parkietaż wzbudził również zainteresowanie matematyków w każdym wieku: począwszy od Archimedesa w III wieku pne, następnie Johannesa Keplera w 1619 r., Camille'a Jordana w 1880 r., Aż po współczesność z Rogerem Penrose.

Penrose stworzył nieokresową teselację znaną jako teselacja Penrose'a. To tylko kilka nazwisk naukowców, którzy wnieśli duży wkład w teselację.

Regularne teselacje

Regularne teselacje są tworzone tylko z jednego typu regularnego wielokąta. Z drugiej strony, aby teselacja była uważana za regularną, każdy punkt płaszczyzny musi:

-Belong wewnątrz wielokąta

-Lub do krawędzi dwóch sąsiednich wielokątów

-Wreszcie może należeć do wspólnego wierzchołka co najmniej trzech wielokątów.

Mając powyższe ograniczenia, można wykazać, że tylko trójkąty równoboczne, kwadraty i sześciokąty mogą tworzyć regularną teselację.

Nomenklatura

Istnieje nomenklatura oznaczająca teselacje, która polega na wypisaniu w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i oddzielonych punktem, liczby boków wielokątów otaczających każdy węzeł (lub wierzchołek) mozaikowania, zawsze zaczynając od wielokąta o najniższym numerze boki.

To nazewnictwo dotyczy teselacji regularnych i półregularnych.

Przykład 1: Trójkątna teselacja

Rysunek 3 przedstawia regularną teselację trójkątną. Należy zauważyć, że każdy węzeł trójkątnej teselacji jest wspólnym wierzchołkiem sześciu trójkątów równobocznych.

Sposób oznaczenia tego typu teselacji to 3.3.3.3.3.3, który jest również oznaczony przez 3 ⁶ .

Rysunek 3. Regularna teselacja trójkątna 3.3.3.3.3.3. Źródło: wikimedia commons

Przykład 2: Teselacja kwadratu

Rysunek 4 przedstawia regularną teselację złożoną tylko z kwadratów. Należy zauważyć, że każdy węzeł w teselacji jest otoczony czterema przystającymi kwadratami. Notacja stosowana do tego typu mozaikowania kwadratów to: 4.4.4.4 lub alternatywnie 4 ⁴

Rysunek 4. Teselacja kwadratu 4.4.4.4. Źródło: wikimedia commons.

Przykład 3: Teselacja sześciokątna

W sześciokątnym teselacji każdy węzeł jest otoczony przez trzy regularnych sześciokątów, jak pokazano na figurze 5. nomenklaturę dla sześciokąta foremnego teselacja 6.6.6 lub alternatywnie 6 ³ .

Rysunek 5. Teselacja sześciokątna 6.6.6. Źródło: wikimedia commons.

Półregularne teselacje

Teselacje półregularne lub Archimedesa składają się z dwóch lub więcej typów wielokątów regularnych. Każdy węzeł jest otoczony typami wielokątów tworzących mozaikę, zawsze w tej samej kolejności, a warunek krawędzi jest całkowicie wspólny z sąsiadem.

Istnieje osiem półregularnych teselacji:

1. 3.6.3.6 (trójheksagonalna teselacja)
2. 3.3.3.3.6 (tępa teselacja sześciokątna)
3. 3.3.3.4.4 (wydłużona trójkątna teselacja)
4. 3.3.4.3.4 (tępa mozaika kwadratów)
5. 3.4.6.4 (teselacja rombo-tri-heksagonalna)
6. 4.8.8 (teselacja z obciętym kwadratem)
7. 3.12.12 (teselacja sześciokątna obcięta)
8. 4.6.12 (teselacja obcięta trójheksagonalna)

Poniżej przedstawiono kilka przykładów teselacji półregularnych.

Przykład 4: Trójheksagonalna teselacja

To ten, który składa się z trójkątów równobocznych i sześciokątów foremnych w strukturze 3.6.3.6, co oznacza, że ​​węzeł teselacji jest otoczony (do zakończenia jednego obrotu) trójkątem, sześciokątem, trójkątem i sześciokątem. Rysunek 6 przedstawia taką teselację.

Rysunek 6. Trójheksagonalna teselacja (3.6.3.6) jest przykładem teselacji półregularnej. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykład 5: Tępa sześciokątna mozaika

Podobnie jak teselacja w poprzednim przykładzie, ta również składa się z trójkątów i sześciokątów, ale ich rozmieszczenie wokół węzła wynosi 3.3.3.3.6. Rysunek 7 wyraźnie ilustruje ten typ mozaikowania.

Rysunek 7. Tępa teselacja sześciokątna składa się z sześciokąta otoczonego 16 trójkątami w konfiguracji 3.3.3.3.6. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykład 6: teselacja rombo-tri-heksagonalna

Jest to teselacja składająca się z trójkątów, kwadratów i sześciokątów w konfiguracji 3.4.6.4, co pokazano na rysunku 8.

Rysunek 8. Półregularna teselacja złożona z trójkąta, kwadratu i sześciokąta w konfiguracji 3.4.6.4. Źródło: Wikimedia Commons.

Nieregularne teselacje

Nieregularne teselacje to takie, które są utworzone przez nieregularne wielokąty lub regularne wielokąty, ale nie spełniają kryterium, że węzeł jest wierzchołkiem co najmniej trzech wielokątów.

Przykład 7

Rysunek 9 przedstawia przykład nieregularnej teselacji, w której wszystkie wielokąty są regularne i przystające. Jest nieregularny, ponieważ węzeł nie jest wspólnym wierzchołkiem co najmniej trzech kwadratów, a także sąsiednie kwadraty, które nie mają całkowicie wspólnej krawędzi.

Rysunek 9. Mimo że wszystkie kafelki są przystającymi kwadratami, jest to wyraźny przykład nieregularnej teselacji. Źródło: F. Zapata.

Przykład 8

Równoległobok układa płaską powierzchnię, ale jeśli nie jest kwadratem, nie może tworzyć regularnej teselacji.

Rysunek 10. Teselacja utworzona przez równoległoboki jest nieregularna, ponieważ jej mozaiki są nieregularnymi wielokątami. Źródło: F. Zapata.

Przykład 9

Nieregularne sześciokąty z centralną symetrią tesselują płaską powierzchnię, jak pokazano na poniższym rysunku:

Rysunek 11. Sześciokąty z centralną symetrią, nawet jeśli nie są regularnymi mozaikami płaszczyzny. Źródło: F. Zapata.

Przykład 10: mozaika Kairu

Jest to bardzo interesująca teselacja, złożona z pięciokątów o bokach równej długości, ale o nierównych kątach, z których dwa są proste, a pozostałe trzy mają po 120º każdy.

Jej nazwa pochodzi od tego, że mozaika ta znajduje się na chodnikach niektórych ulic Kairu w Egipcie. Rysunek 12 przedstawia mozaikę Kairu.

Rysunek 12. Parkietaż kairski. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykład 11: Teselacja Al-Andalus

Parkietaż w niektórych częściach Andaluzji i Afryki Północnej charakteryzuje się geometrią i epigrafią, oprócz elementów ozdobnych, takich jak roślinność.

Teselacja pałaców, takich jak Alhambra, składała się z płytek wykonanych z kawałków ceramiki w wielu kolorach, z wieloma (jeśli nie nieskończonymi) kształtami, które uwalniały się w geometryczne wzory.

Rysunek 13. Parkietaż pałacu Alhambra. Tartaglia / domena publiczna

Przykład 12: teselacja w grach wideo

Znana również jako tesellation, jest jedną z najpopularniejszych nowości w grach wideo. Chodzi o tworzenie tekstur symulujących teselację różnych scenariuszy pojawiających się w symulatorze.

Jest to wyraźne odzwierciedlenie, że powłoki te nadal ewoluują, przekraczając granice rzeczywistości.

Bibliografia

1. Ciesz się matematyką. Parkietaż. Odzyskany z: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Parkietaż rozwiązał przykłady. Odzyskane z: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. „Demiregular teselacja”. Weisstein, Eric W, wyd. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Parkietaż. Odzyskany z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Regularna teselacja. Odzyskany z: es.wikipedia.com