PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA: WŁAŚCIWOŚCI, ZASTOSOWANIA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA

Transformaty Fouriera jest analityczna metoda zorientowana adekwatność do zabudowy funkcji, które należy do rodziny integralnych transformacji. Składa się z redefinicji funkcji f (t) w kategoriach Cos (t) i Sen (t).

Tożsamości trygonometryczne tych funkcji, wraz z ich wyprowadzeniem i charakterystyką anty-pierwotną, służą do zdefiniowania transformaty Fouriera poprzez następującą złożoną funkcję:

Co jest prawdą, o ile wyrażenie ma sens, to znaczy, gdy całka niewłaściwa jest zbieżna. Algebraicznie mówi się, że transformata Fouriera jest liniowym homeomorfizmem.

Każda funkcja, z którą można pracować z transformacją Fouriera, musi mieć wartość null poza zdefiniowanym parametrem.

Nieruchomości

Źródło: pexels

Transformacja Fouriera spełnia następujące właściwości:

Istnienie

Aby zweryfikować istnienie transformaty Fouriera w funkcji f (t) określonej w liczbach rzeczywistych R , muszą zostać spełnione następujące 2 aksjomaty:

f (t) jest odcinkowo ciągła dla wszystkich R
f (t) jest całkowalne w R

Liniowość transformacji Fouriera

Niech M (t) i N (t) będą dowolnymi dwiema funkcjami z określonymi transformatami Fouriera, z dowolnymi stałymi a i b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Co jest również wspierane przez liniowość całki o tej samej nazwie.

Transformacja Fouriera pochodnej

Istnieje funkcja f, która jest ciągła i całkowalna we wszystkich liczbach rzeczywistych, gdzie:

A pochodna f (f ') jest ciągła i fragmentarycznie zdefiniowana w R

Transformację Fouriera pochodnej definiuje się przez całkowanie przez części za pomocą następującego wyrażenia:

F (z) = iz F (z)

W wyprowadzeniach wyższego rzędu będzie stosowana w sposób homologiczny, gdzie dla wszystkich n 1 mamy:

F (z) = (iz) ⁿF (z)

Różniczkowanie przez transformację Fouriera

Istnieje funkcja f, która jest ciągła i całkowalna we wszystkich liczbach rzeczywistych, gdzie:

Transformacja Fouriera tłumaczenia

Dla każdego θ należącego do zbioru S i T, który należy do zbioru S ', mamy:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Z τ _a działającym jako operator translacji na wektorze a.

Tłumaczenie transformaty Fouriera

Dla każdego θ należącego do zbioru S i T, który należy do zbioru S ', mamy:

τ _a F = F τ _a F = F

Dla wszystkich z należących do badania

Transformacja Fouriera grupy skal

Dla wszystkich θ, które należą do zbioru S. T, który należy do zbioru S '

λ należący do R - {0} mamy:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Jeśli f jest funkcją ciągłą i wyraźnie integrowalną, gdzie a> 0. Wtedy:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Aby zademonstrować ten wynik, możemy przejść do zmiany zmiennej.

Kiedy T → +, to s = w → + ∞

Gdy T → - to s = at → - ∞

Symetria

Aby zbadać symetrię transformaty Fouriera, należy zweryfikować tożsamość wzoru Parsevala i Plancherela.

Mamy θ i δ, które należą do S. Stąd można wywnioskować, że:

Dostać

1 / (2π) ^d { F, F } Tożsamość parsevalu

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L²_R^d Wzór Plancherela

Przekształcenie Fouriera iloczynu splotu

Dążąc do podobnych celów, jak w transformacie Laplace'a, splot funkcji odnosi się do iloczynu między ich transformatami Fouriera.

Mamy f i g jako 2 ograniczone, zdefiniowane i całkowicie integrowalne funkcje:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Ciągłość i upadek w nieskończoność

Do czego służy transformata Fouriera?

Służy przede wszystkim do znacznego uproszczenia równań, przy przekształcaniu wyrażeń pochodnych na elementy potęgowe, oznaczając wyrażenia różniczkowe w postaci całkowalnych wielomianów.

W optymalizacji, modulacji i modelowaniu wyników działa jak znormalizowane wyrażenie, będące częstym źródłem informacji inżynierskich po kilku pokoleniach.

Szereg Fouriera

Są to szeregi zdefiniowane w kategoriach cosinusów i sinusów; Służą do ułatwienia pracy przy ogólnych funkcjach okresowych. Po zastosowaniu stanowią część technik rozwiązywania zwykłych i cząstkowych równań różniczkowych.

Szeregi Fouriera są jeszcze bardziej ogólne niż szeregi Taylora, ponieważ rozwijają okresowe nieciągłe funkcje, które nie mają reprezentacji szeregów Taylora.

Inne formy szeregu Fouriera

Aby zrozumieć transformację Fouriera analitycznie, ważne jest, aby przejrzeć inne formy, w których można znaleźć szereg Fouriera, dopóki szereg Fouriera nie zostanie zdefiniowany w jego złożonej notacji.

-Fourier szereg w funkcji okresu 2L

Wielokrotnie konieczne jest dostosowanie struktury szeregu Fouriera do funkcji okresowych, których okres wynosi p = 2L> 0 w przedziale.

-Fourier Serie w funkcjach nieparzystych i parzystych

Uwzględniany jest przedział, co zapewnia korzyści przy korzystaniu z symetrycznych charakterystyk funkcji.

Jeśli f jest parzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg cosinusów.

Jeśli f jest nieparzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg sinusów.

-Złożona notacja szeregu Fouriera

Jeśli mamy funkcję f (t), która spełnia wszystkie wymagania rozwijalności szeregu Fouriera, to można ją oznaczyć w przedziale za pomocą jej złożonej notacji:

Aplikacje

Źródło: pexels

Obliczanie rozwiązania podstawowego

Transformata Fouriera jest potężnym narzędziem do badania równań różniczkowych cząstkowych typu liniowego o stałych współczynnikach. Stosują się jednakowo do funkcji z nieograniczonymi domenami.

Podobnie jak transformata Laplace'a, transformata Fouriera przekształca pochodną funkcję częściową w zwykłe równanie różniczkowe, które jest znacznie prostsze w obsłudze.

Problem Cauchy'ego dla równania ciepła przedstawia pole częstego stosowania transformaty Fouriera, w której generowane jest jądro ciepła lub jądro Dirichleta.

Jeśli chodzi o obliczanie rozwiązania podstawowego, przedstawiono następujące przypadki, w których często znajduje się transformata Fouriera:

Teoria sygnałów

Ogólny powód zastosowania transformaty Fouriera w tej gałęzi jest w dużej mierze związany z charakterystyczną dekompozycją sygnału jako nieskończoną superpozycję łatwiejszych do leczenia sygnałów.

Może to być fala dźwiękowa lub fala elektromagnetyczna, transformata Fouriera wyraża to jako superpozycja fal prostych. Ta reprezentacja jest dość częsta w elektrotechnice.

Z drugiej strony są przykłady zastosowania transformaty Fouriera w dziedzinie teorii sygnałów:

Przykłady

Przykład 1

Zdefiniuj transformatę Fouriera dla następującego wyrażenia:

Możemy to również przedstawić w następujący sposób:

F (t) = Sen (t)

Prostokątny impuls jest zdefiniowany:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Przekształcenie Fouriera jest stosowane do następującego wyrażenia, które przypomina twierdzenie o modulacji.

f (t) = p (t) Sen (t)

Gdzie: F = (1/2) i

A transformata Fouriera jest zdefiniowana przez:

F = (1/2) i

Przykład 2

Zdefiniuj transformatę Fouriera dla wyrażenia:

Ponieważ f (h) jest funkcją parzystą, można to stwierdzić

Całkowanie przez części jest stosowane przez wybranie zmiennych i ich różniczek w następujący sposób

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = H (E ^-H ) ² v = (E ^-H ) ² /2

Zastępując masz

Po ocenie zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego

Stosując wcześniejszą wiedzę dotyczącą równań różniczkowych pierwszego rzędu, wyrażenie jest oznaczone jako

Aby otrzymać K, oceniamy

Wreszcie transformata Fouriera wyrażenia jest zdefiniowana jako

Proponowane ćwiczenia

Uzyskaj transformację wyrażenia W / (1 + w ² )

Bibliografia

Duoandikoetxea Zuazo, J., analiza Fouriera. Addison– Wesley Iberoamericana, Autonomous University of Madrid, 1995.
Lions, JL, analiza matematyczna i metody numeryczne w nauce i technologii. Springer - Verlag, 1990.
Jądra Lieb, EH, Gaussa mają tylko maksymalizatory gaussowskie. Wymyślać. Math. 102 , 179-208, 1990.
Dym, H., McKean, HP, szereg Fouriera i całki. Academic Press, Nowy Jork, 1972.
Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed Hermann, Paryż, 1966.

PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA: WŁAŚCIWOŚCI, ZASTOSOWANIA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026