DYSKRETNA TRANSFORMATA FOURIERA: WŁAŚCIWOŚCI, ZASTOSOWANIA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Dyskretnej transformacji Fouriera jest sposób liczbowy próbki w celu określenia odnoszące się do widma częstotliwości, które składają się na sygnał. Bada funkcje okresowe w zamkniętych parametrach, dając kolejny dyskretny sygnał.

Aby otrzymać dyskretną transformatę Fouriera N punktów, na dyskretnym sygnale, na sekwencji x muszą być spełnione następujące 2 warunki

TDF

Dyskretną transformatę Fouriera można zdefiniować jako N-punktowe próbkowanie transformaty Fouriera.

Interpretacja dyskretnej transformaty Fouriera

Źródło: Pexels

Istnieją 2 punkty widzenia, z których wyniki uzyskane na ciągu x _s można interpretować za pomocą dyskretnej transformaty Fouriera.

-Pierwszy odpowiada współczynnikom widmowym, znanym już z szeregu Fouriera. Jest to obserwowane w dyskretnych sygnałach okresowych, z próbkami pokrywającymi się z sekwencją x _s .

-Drugi dotyczy widma dyskretnego sygnału aperiodycznego, z próbkami odpowiadającymi sekwencji x _s .

Dyskretna transformacja jest przybliżeniem widma oryginalnego sygnału analogowego. Jego faza zależy od momentów próbkowania, podczas gdy jej wielkość zależy od interwału próbkowania.

Nieruchomości

Algebraiczne podstawy struktury stanowią uzasadnienie dla następnych sekcji.

Liniowość

DO. S _n → C. FA; Jeśli ciąg zostanie pomnożony przez skalar, jego transformacja również będzie.

T _n + V _n = F + F; Przekształcenie sumy jest równe sumie przekształceń.

Dwoistość

F → (1 / N) S-k _; Jeśli dyskretna transformata Fouriera zostanie ponownie obliczona na już przekształcone wyrażenie, otrzymane zostanie to samo wyrażenie, przeskalowane w N i odwrócone względem osi pionowej.

Skręt

Dążąc do podobnych celów, jak w transformacie Laplace'a, splot funkcji odnosi się do iloczynu między ich transformatami Fouriera. Konwolucja dotyczy również czasów dyskretnych i jest odpowiedzialna za wiele nowoczesnych procedur.

X _n * R _n → F .F; Przekształcenie splotu jest równe iloczynowi przekształceń.

X _n . R _n → F * F; Przekształcenie iloczynu jest równe splotowi przekształceń.

Przemieszczenie

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Jeśli sekwencja jest opóźniona o m próbek, jej wpływ na transformację dyskretną będzie modyfikacją kąta określonego przez (2π / N) km.

Symetria

X _t = X * _t = X _t

Modulacja

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Produkt

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Symetria

X ↔ X _t = X * _t

Sprzężony

x * ↔ X * _t

Równanie Parseval

W stosunku do konwencjonalnej transformaty Fouriera ma kilka podobieństw i różnic. Transformata Fouriera przekształca sekwencję w linię ciągłą. W ten sposób mówi się, że wynik zmiennej Fouriera jest złożoną funkcją zmiennej rzeczywistej.

Dyskretna transformata Fouriera, w przeciwieństwie do tego, odbiera dyskretny sygnał i przekształca go w inny dyskretny sygnał, czyli sekwencję.

Do czego służy dyskretna transformata Fouriera?

Służą one przede wszystkim do znacznego uproszczenia równań, podczas przekształcania pochodnych wyrażeń w elementy potęgowe. Oznaczanie wyrażeń różniczkowych w postaciach całkowalnych wielomianów.

W optymalizacji, modulacji i modelowaniu wyników działa jak znormalizowane wyrażenie, będące częstym źródłem informacji inżynierskich po kilku pokoleniach.

Źródło: pixabay

Historia

Tę matematyczną koncepcję wprowadził Joseph B. Fourier w 1811 r., Opracowując traktat o rozchodzeniu się ciepła. Szybko został przyjęty przez różne gałęzie nauki i inżynierii.

Ustanowiono go jako główne narzędzie pracy w badaniu równań z pochodnymi cząstkowymi, nawet porównując je z istniejącą zależnością roboczą między transformatą Laplace'a a równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.

Każda funkcja, z którą można pracować z transformacją Fouriera, musi mieć wartość null poza zdefiniowanym parametrem.

Dyskretna transformata Fouriera i jej odwrotność

Dyskretną transformację uzyskuje się za pomocą wyrażenia:

Po podaniu dyskretnej sekwencji X

Odwrotność dyskretnej transformaty Fouriera jest definiowana przez wyrażenie:

Odwrotny WOM

Po osiągnięciu transformacji dyskretnej umożliwia zdefiniowanie sekwencji w dziedzinie czasu X.

Skrzydlaty

Proces parametryzacji odpowiadający dyskretnej transformacie Fouriera polega na okienkowaniu. Aby przetworzyć transformację, musimy ograniczyć sekwencję w czasie. W wielu przypadkach omawiane sygnały nie mają tych ograniczeń.

Sekwencja, która nie spełnia kryteriów rozmiaru, które należy zastosować do transformacji dyskretnej, może zostać pomnożona przez funkcję „okna” V, definiującą zachowanie sekwencji w kontrolowanym parametrze.

X. V

Szerokość widma będzie zależna od szerokości okna. Wraz ze wzrostem szerokości okna obliczona transformacja będzie węższa.

Aplikacje

Obliczanie rozwiązania podstawowego

Dyskretna transformata Fouriera jest potężnym narzędziem w badaniu dyskretnych sekwencji.

Dyskretna transformata Fouriera przekształca ciągłą funkcję zmiennej w dyskretną transformację zmiennej.

Problem Cauchy'ego dla równania ciepła przedstawia częste pole zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera . Gdzie generowana jest funkcja rdzenia ciepła lub rdzenia Dirichleta, co ma zastosowanie do wartości próbkowania w określonym parametrze.

Teoria sygnałów

Ogólny powód zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera w tej gałęzi wynika głównie z charakterystycznej dekompozycji sygnału jako nieskończonej superpozycji łatwiejszych do leczenia sygnałów.

Może to być fala dźwiękowa lub fala elektromagnetyczna, dyskretna transformata Fouriera wyraża ją w postaci superpozycji fal prostych. Ta reprezentacja jest dość częsta w elektrotechnice.

Szereg Fouriera

Są to szeregi zdefiniowane za pomocą cosinusów i sinusów. Służą do ułatwienia pracy przy ogólnych funkcjach okresowych. Po zastosowaniu stanowią część technik rozwiązywania zwykłych i cząstkowych równań różniczkowych.

Szeregi Fouriera są jeszcze bardziej ogólne niż szeregi Taylora, ponieważ rozwijają okresowe nieciągłe funkcje, które nie mają reprezentacji szeregów Taylora.

Inne formy szeregu Fouriera

Aby zrozumieć transformację Fouriera analitycznie, ważne jest, aby przejrzeć inne sposoby, w jakie można znaleźć szereg Fouriera, dopóki nie będziemy mogli zdefiniować szeregu Fouriera w jego złożonej notacji.

-Cztery szeregi w funkcji okresu 2L:

Uwzględniany jest przedział, co zapewnia korzyści przy korzystaniu z symetrycznych charakterystyk funkcji.

Jeśli f jest parzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg cosinusów.

Jeśli f jest nieparzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg sinusów.

-Złożona notacja szeregu Fouriera

Jeśli mamy funkcję f (t), która spełnia wszystkie wymagania szeregu Fouriera, to można ją oznaczyć w przedziale za pomocą jej złożonej notacji:

Przykłady

Jeśli chodzi o obliczenie rozwiązania podstawowego, przedstawiono następujące przykłady:

Z drugiej strony poniżej przedstawiono przykłady zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera w dziedzinie teorii sygnałów:

- Problemy z identyfikacją systemu. Założona f i g

-Problem ze spójnością sygnału wyjściowego

-Problemy z filtrowaniem sygnału

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Obliczyć dyskretną transformatę Fouriera dla następującej sekwencji.

Możesz zdefiniować PTO x jako:

X _t = {4, -j2, 0, j2} dla k = 0, 1, 2, 3

Ćwiczenie 2

Chcemy wyznaczyć sygnał widmowy zdefiniowany przez wyrażenie x (t) = e ^-t za pomocą algorytmu cyfrowego . Gdzie maksymalny współczynnik żądania częstotliwości wynosi f _m = 1 Hz. Harmoniczna odpowiada f = 0,3 Hz. Błąd jest ograniczony do mniej niż 5%. Oblicz f _s , D i N.

Biorąc pod uwagę twierdzenie o próbkowaniu f _s = 2f _m = 2 Hz

Wybiera się rozdzielczość częstotliwości f ₀ = 0,1 Hz, z której otrzymujemy D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz to częstotliwość odpowiadająca indeksowi k = 3, gdzie N = 3 × 8 = 24 próbki. Wskazując, że f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Ponieważ celem jest uzyskanie najniższej możliwej wartości N, za rozwiązanie można uznać następujące wartości:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Bibliografia

1. Opanowanie dyskretnej transformacji Fouriera w jednym, dwóch lub kilku wymiarach: pułapki i artefakty. Izaak Amidror. Springer Science & Business Media, 19 lipca. 2013
2. DFT: Podręcznik właściciela dyskretnej transformaty Fouriera. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 stycznia. 1995
3. Cyfrowe przetwarzanie sygnału: teoria i praktyka. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformacje i szybkie algorytmy analizy i reprezentacji sygnałów. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 grudnia. 2012
5. Dyskretne i ciągłe transformacje Fouriera: analiza, zastosowania i szybkie algorytmy. Eleanor Chu. CRC Press, 19 marca. 2008