ÓVALO (FIGURA GEOMETRYCZNA): CHARAKTERYSTYKA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Symetrycznie owalny jest zdefiniowany jako płaskie i zamkniętej krzywej, która ma dwie prostopadłe osie symetrii -on główną i jedną minor- i składa się z dwóch łuków obwodowych równa dwójkami.

W ten sposób można go narysować za pomocą kompasu i kilku punktów odniesienia na jednej z linii symetrii. W każdym razie istnieje kilka sposobów, aby to narysować, jak zobaczymy później.

Ryc. 1. Widok Koloseum w Rzymie, przykład owalnego kształtu w architekturze. Źródło: Pixabay.

Jest to bardzo dobrze znana krzywa, ponieważ jest rozpoznawana jako kontur elipsy, a jest to szczególny przypadek owalu. Ale owal nie jest elipsą, chociaż czasami jest bardzo podobny, ponieważ jego właściwości i układ różnią się. Na przykład elipsa nie jest zbudowana za pomocą kompasu.

cechy

Owal ma bardzo różnorodne zastosowania: architektura, przemysł, projektowanie graficzne, zegarmistrzostwo i biżuteria to tylko kilka dziedzin, w których wyróżnia się jego zastosowanie.

Najbardziej wyróżniające się cechy tej ważnej krzywej są następujące:

-Należy do grupy krzywych technicznych: jest rysowany poprzez tworzenie łuków obwodowych za pomocą kompasu.

-Wszystkie jego punkty są na tej samej płaszczyźnie.

-Brak krzywych lub krawatów.

-Jego ścieżka jest ciągła.

-Krzywizna owalu powinna być gładka i wypukła.

-Podczas rysowania linii stycznej do owalu, wszystko to znajduje się po tej samej stronie linii.

-Owal dopuszcza co najwyżej dwie równoległe styczne.

Przykłady

Istnieje kilka metod tworzenia owali, które wymagają użycia linijki, kwadratu i kompasu. Następnie wymienimy niektóre z najczęściej używanych.

Budowa owalu za pomocą koncentrycznych okręgów

Rysunek 2. Jak narysować owal za pomocą dwóch koncentrycznych okręgów. Źródło: Wikimedia Commons. Kmhkmh

Rysunek 2 powyżej przedstawia dwa koncentryczne okręgi wyśrodkowane na początku. Większa oś owalu ma taką samą średnicę jak obwód zewnętrzny, podczas gdy oś mniejsza odpowiada średnicy obwodu wewnętrznego.

- Dowolny promień jest rysowany na obwodzie zewnętrznym, który przecina oba okręgi w punktach P ₁ i P ₂ .

-Punkt P ₂ jest następnie rzutowany na oś poziomą.

-W podobny sposób punkt P ₁ jest rzutowany na oś pionową.

-Przecięcie obu linii rzutowania to punkt P i należy do owalu.

-Wszystkie punkty w tej części owalu można prześledzić w ten sposób.

-Reszta owalu jest śledzona analogiczną procedurą, wykonywaną w każdym kwadrancie.

Ćwiczenia

Następnie zbadane zostaną inne sposoby konstruowania owali, biorąc pod uwagę pewien wstępny pomiar, który określi ich rozmiar.

- Ćwiczenie 1

Za pomocą linijki i kompasu narysuj owal, zwany jego główną osią, którego długość wynosi 9 cm.

Rozwiązanie

Na rysunku 3, pokazanym poniżej, powstały owal jest zaznaczony na czerwono. Szczególną uwagę należy zwrócić na przerywane linie, które są konstrukcjami pomocniczymi niezbędnymi do narysowania owalu, którego główna oś jest określona. Wskażemy wszystkie niezbędne kroki, aby dojść do ostatecznego rysunku.

Rysunek 3. Budowa owalu ze względu na jego główną oś. Źródło: F. Zapata.

Krok 1

Narysuj linijką odcinek AB 9 cm.

Krok 2

Trisect odcinek AB, to znaczy podzielić go na trzy segmenty o równej długości. Ponieważ oryginalny odcinek AB ma 9 cm, każdy segment AC, CD i DB musi mieć po 3 cm.

Krok 3

Za pomocą kompasu, wycentrowanego w C i otwartego CA, narysowany jest obwód pomocniczy. Podobnie, obwód pomocniczy ze środkiem D i promieniem DB jest rysowany za pomocą kompasu.

Krok 4

Zaznaczono przecięcia dwóch okręgów pomocniczych zbudowanych w poprzednim kroku. Nazywamy to punktami E i F.

Krok 5

Z reguły rysowane są promienie: [FC), [FD), [EC), [ED).

Krok 6

Promienie z poprzedniego kroku przecinają dwa pomocnicze okręgi odpowiednio w punktach G, H, I, J.

Krok 7

Gdy środek kompasu jest wykonany w F, a przy otwarciu (lub promieniu) FG rysowany jest łuk GH. Podobnie, centrując w E i promieniu EI, narysowany jest łuk IJ.

Krok 8

Połączenie łuków GJ, JI, IH i HG tworzy owal, którego oś główna mierzy 9 cm.

Krok 9

Przystępujemy do usuwania (ukrywania) pomocniczych punktów i linii.

- Ćwiczenie 2

Narysuj owal linijką i kompasem, którego mniejszą oś jest znana, a jego miara to 6 cm.

Rozwiązanie

Rysunek 4. Budowa owalu ze względu na jego mniejszą oś. Źródło: F. Zapata.

Powyższy rysunek (rysunek 4) przedstawia ostateczny wynik konstrukcji owalu (na czerwono), a także konstrukcje pośrednie niezbędne do jego osiągnięcia. Kroki, które wykonano w celu skonstruowania owalu o długości 6 cm w osi mniejszej były następujące:

Krok 1

Segment AB o długości 6 cm jest zaznaczony linijką.

Krok 2

W przypadku kompasu i linijki dwusieczna jest wyznaczana do odcinka AB.

Krok 3

Przecięcie dwusiecznej z odcinkiem AB daje środek C odcinka AB.

Krok 4

Za pomocą kompasu narysowany jest obwód środka C i promień CA.

Krok 5

Obwód narysowany w poprzednim kroku przecina dwusieczną AB w punktach E i D.

Krok 6

Wykreślane są promienie [AD), [AE), [BD) i [BE).

Krok 7

Za pomocą cyrkla rysuje się okręgi środka A i promienia AB oraz okręgi środka B i promienia BA.

Krok 8

Przecięcia okręgów narysowanych w kroku 7 z promieniami zbudowanymi w kroku 6 wyznaczają cztery punkty, a mianowicie: F, G, H, I.

Krok 9

Gdy środek jest w D i promień DI, rysowany jest łuk IF. W ten sam sposób, ze środkiem w E i promieniem EG, rysowany jest łuk GH.

Krok 10

Połączenie łuków obwodu FG, GH, HI i IF określa pożądany owal.

Bibliografia

1. Ed Plastic. Krzywe techniczne: owale, owoidy i spirale. Odzyskany z: drajonavarres.wordpress.com.
2. Mathematische Basteleien. Krzywe i owale jajka. Odzyskane z: mathematische-basteleien.
3. Uniwersytet w Walencji. Stożki i płaskie krzywe techniczne. Odzyskany z: ocw.uv.es.
4. Wikipedia. Owalny. Odzyskane z: es.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Owalny. Odzyskane z: en.wikipedia.org.