TRAPEZ RÓWNORAMIENNY: WŁAŚCIWOŚCI, ZALEŻNOŚCI I WZORY, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Trapezu równoramiennego jest A czworoboku, w którym dwa boki są równoległe do siebie, a ponadto, dwa kąty przylega do jednej z tych równoległych boków mają ten sam środek.

Na rycinie 1 mamy czworokąt ABCD, w którym boki AD i BC są równoległe. Dodatkowo kąty ∠DAB i ∠ADC sąsiadujące z równoległym bokiem AD mają tę samą miarę α.

Rysunek 1. Trapez równoramienny. Źródło: F. Zapata.

Tak więc ten czworoboczny lub czteroboczny wielokąt jest w efekcie trapezem równoramiennym.

W trapezie równoległe boki nazywane są podstawami, a nierównoległe boki nazywane są bocznymi. Kolejną ważną cechą jest wysokość, czyli odległość dzieląca równoległe boki.

Oprócz trapezu równoramiennego istnieją inne rodzaje trapezów:

-T rapezoid scalene, który ma wszystkie kąty i różne boki.

-Prostokątny rapezoid, w którym po jednej stronie znajdują się prostopadłe kąty.

Kształt trapezu jest powszechny w różnych dziedzinach projektowania, architektury, elektroniki, obliczeń i wielu innych, jak zobaczymy później. Stąd tak ważne jest zapoznanie się z jego właściwościami.

Nieruchomości

Wyłącznie w trapezie równoramiennym

Jeśli trapez jest równoramienny, to ma następujące charakterystyczne właściwości:

1.- Boki mają ten sam wymiar.

2.- Kąty sąsiadujące z podstawami są równe.

3.- Przeciwne kąty są uzupełniające.

4.- Przekątne mają tę samą długość, dwa segmenty, które łączą przeciwległe wierzchołki, są takie same.

5.- Kąty utworzone między podstawami i przekątnymi mają tę samą miarę.

6. - Ma ograniczony obwód.

I odwrotnie, jeśli trapez spełnia którąkolwiek z powyższych właściwości, jest to trapez równoramienny.

Jeśli w trapezie równoramiennym jeden z kątów jest prosty (90º), to wszystkie pozostałe również będą proste, tworząc prostokąt. Oznacza to, że prostokąt jest szczególnym przypadkiem trapezu równoramiennego.

Rysunek 2. Pojemnik na popcorn i szkolne stoły mają kształt trapezu równoramiennego. Źródło: Pxfuel (po lewej) / McDowell Craig przez Flickr. (dobrze)

Do wszystkich trapezów

Poniższy zestaw właściwości jest ważny dla każdego trapezu:

7.- Mediana trapezu, to znaczy odcinka łączącego punkty środkowe jego nierównoległych boków, jest równoległa do dowolnej z podstaw.

8.- Długość mediany jest równa półroczu (sumie podzielonej przez 2) jej podstaw.

9.- Środek trapezu przecina jego przekątne w punkcie środkowym.

10.- Przekątne trapezu przecinają się w punkcie, który dzieli je na dwie części proporcjonalnie do ilorazów podstaw.

11.- Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów jego boków plus podwójny iloczyn jego podstaw.

12.- Segment, który łączy punkty środkowe przekątnych ma długość równą połowie różnicy podstaw.

13.- Kąty przylegające do boków mają charakter uzupełniający.

14.- Trapez ma wpisany obwód wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego boków.

15.- Jeżeli trapez ma wpisany obwód, wówczas kąty z wierzchołkiem w środku wspomnianego obwodu i bokami przechodzącymi przez końce tego samego boku są kątami prostymi.

Relacje i formuły

Poniższy zestaw zależności i wzorów jest odniesiony do ryc. 3, na której oprócz trapezu równoramiennego pokazano inne ważne segmenty, o których już wspomniano, takie jak przekątne, wysokość i mediana.

Rysunek 3. Mediana, przekątne, wysokość i ograniczony obwód w trapezie równoramiennym. Źródło: F. Zapata.

Unikalne relacje trapezu równoramiennego

1. - AB = DC = c = d

2. - ∡DAB = ∡CDA i ∡ABC = ∡BCD

3. - ∡DAB + ∡BCD = 180º i ∡CDA + ∡ABC = 180º

4. - BD = AC

5. - ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6. - A, B, C i D należą do określonego koła.

Relacje na każdym trapezie

1. Jeśli AK = KB i DL = LC ⇒ KL - AD i KL - BC

8. - KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 i DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC i DO / OB = AD / BC

11. - AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12. - MN = (AD - BC) / 2

13. - ∡DAB + ∡ABC = 180º i ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Jeśli AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R niż w równej odległości od AD, BC, AB i DC

15. - Jeśli ∃ R jest równoodległy od AD, BC, AB i DC, to:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Relacje dla trapezu równoramiennego z wpisanym obwodem

Jeśli w trapezie równoramiennym suma podstaw jest równa dwukrotnej wartości bocznej, to istnieje wpisany obwód.

Rysunek 4. Trapez z wpisanym obwodem. Źródło: F. Zapata.

Następujące właściwości mają zastosowanie, gdy trapez równoramienny ma wpisany obwód (patrz rysunek 4 powyżej):

16. - KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Przekątne przecinają się pod kątem prostym: AC ⊥ BD

18.- Wysokość jest taka sama jak mediana: HF = KL, czyli h = m.

19.- Kwadrat wysokości jest równy iloczynowi podstaw: h ² = BC⋅AD

20.- W tych szczególnych warunkach pole powierzchni trapezu jest równe kwadratowi wysokości lub iloczynowi podstaw: Powierzchnia = h ² = BC⋅AD.

Wzory na określenie jednej strony, znajomość pozostałych i kąt

Znając podstawę, bok i kąt, drugą podstawę można określić na podstawie:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Jeśli długość podstaw i kąt są podane jako znane dane, to długości obu stron wynoszą:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Określenie jednej strony, znajomość innych i przekątna

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Gdzie d ₁ jest długością przekątnych.

Podstawa z wysokości, obszaru i innej podstawy

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Znane podstawy boczne, powierzchnia i kąt

c = (2A) /

Znana boczna środkowa, powierzchnia i kąt

c = A / (m sin α)

Znana wysokość boków

h = √

Znana wysokość, kąt i dwa boki

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Znane przekątne ze wszystkich stron lub dwa boki i kąt

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Obwód trójkąta równoramiennego

P = a + b + 2c

Obszar trapezu równoramiennego

Istnieje kilka formuł do obliczania powierzchni, w zależności od znanych danych. Najbardziej znane, w zależności od podstaw i wysokości, są następujące:

A = h⋅ (a + b) / 2

Możesz także użyć tych innych:

-Jeśli boki są znane

A = √

-Gdy masz dwa boki i kąt

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Jeśli promień wpisanego okręgu i kąt są znane

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Gdy podstawy i kąt są znane

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Jeśli trapez można wpisać na obwodzie

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Znajdź przekątne i kąt, jaki tworzą ze sobą

A = (D ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) ADi Sen

-Gdy masz boczne, środkową i kąt

A = mc.sen α = mc.sen β

Promień opisanego okręgu

Tylko trapezoidy równoramienne mają ograniczony obwód. Jeśli _{znana jest} większa podstawa a, boczna c i przekątna d ₁ , wówczas promień R koła przechodzącego przez cztery wierzchołki trapezu wynosi:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Gdzie p = (a + c + d ₁ ) / 2

Przykłady wykorzystania trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny pojawia się w dziedzinie projektowania, jak pokazano na rysunku 2. A oto kilka dodatkowych przykładów:

W architekturze i budownictwie

Starożytni Inkowie znali trapez równoramienny i używali go jako elementu budowlanego w tym oknie w Cuzco w Peru:

Rycina 5. Okno trapezowe z Coricancha, Cuzco. Źródło: Wikimedia Commons.

I tutaj trapez pojawia się ponownie w tak zwanej blasze trapezowej, materiale często używanym w budownictwie:

Rysunek 6. Blacha trapezowa zabezpieczająca tymczasowo okna budynku. Źródło: Wikimedia Commons.

W projektowaniu

Widzieliśmy już, że trapez równoramienny pojawia się w przedmiotach codziennego użytku, w tym w żywności takiej jak ta tabliczka czekolady:

Rysunek 7. Batonik czekoladowy, którego twarze mają kształt trapezu równoramiennego. Źródło: Pxfuel.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Trapez równoramienny ma podstawę większą niż 9 cm, podstawę mniejszą niż 3 cm i przekątne po 8 cm. Oblicz:

na bok

b) Wysokość

c) Obwód

d) Powierzchnia

Rysunek 8. Schemat ćwiczenia 1. Źródło: F. Zapata

Rozwiązanie

Wykreślana jest wysokość CP = h, gdzie stopa wysokości określa segmenty:

PD = x = (ab) / 2 lata

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Używając twierdzenia Pitagorasa do prawego trójkąta DPC:

C ² = H ² + (a - b) ² /4

A także do prawego trójkąta APC:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (a + b) ² /4

Na koniec element po elemencie jest odejmowany, drugie równanie od pierwszego i uproszczone:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Rozwiązanie b

h ² = D ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Rozwiązanie c

Obwód = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Rozwiązanie d

Powierzchnia = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Ćwiczenie 2

Istnieje trapez równoramienny, którego większa podstawa jest dwukrotnie mniejsza, a jej mniejsza podstawa jest równa wysokości, która wynosi 6 cm. Decydować się:

a) Długość boku

b) Obwód

c) Powierzchnia

d) Kąty

Rysunek 8. Schemat ćwiczenia 2. Źródło: F. Zapata

Rozwiązanie

Dane: a = 12, b = a / 2 = 6 i h = b = 6

Postępujemy w następujący sposób: narysujemy wysokość h i zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta przeciwprostokątnego „c” oraz odnóg h i x:

c ² = h ² + xc ²

Następnie musisz obliczyć wartość wysokości z danych (h = b) i nogi x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Zastępując poprzednie wyrażenia mamy:

C ² = B ² + (ab ') ² /2 ²

Teraz wprowadzamy wartości liczbowe i jest to uproszczone:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Uzyskanie:

c = 3√5 = 6,71 cm

Rozwiązanie b

Obwód P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Rozwiązanie c

Powierzchnia w funkcji wysokości i długości podstaw to:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Rozwiązanie d

Kąt α, który boczna tworzy z większą podstawą, uzyskuje się za pomocą trygonometrii:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Drugi kąt, ten, który tworzy bok z mniejszą podstawą, to β, który jest uzupełnieniem α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Bibliografia

1. EA 2003. Elementy geometrii: z ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematyka 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Odkryj wielokąty. Firma edukacyjna Benchmark.
4. Hendrik, V. 2013. Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. Matematyka w pierwszym semestrze Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. 2014. Wielokąty. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren i Hornsby. 2006. Matematyka: rozumowanie i zastosowania. 10. Wydanie. Edukacja Pearson.
8. Patiño, M. 2006. Matematyka 5. Od redakcji Progreso.
9. Wikipedia. Trapez. Odzyskany z: es.wikipedia.com