TRAPEZ PRAWY: WŁAŚCIWOŚCI, ZALEŻNOŚCI I WZORY, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Prawo trapezu jest płaską postać czterech boków tak, że dwa z nich są równoległe do siebie, nazywane zasadami i jednym z pozostałych boków jest prostopadła do podstawy.

Z tego powodu dwa z kątów wewnętrznych są proste, to znaczy mierzą 90º. Stąd nazwa „prostokąt” nadana figurze. Poniższy obraz prawego trapezu wyjaśnia te cechy:

Elementy trapezowe

Elementy trapezu to:

-Podstawy

-Vertices

-Wysokość

-Kąty wewnętrzne

-Środkowa podstawa

-Diagonals

Wyszczególnimy te elementy za pomocą rysunków 1 i 2:

Rysunek 1. Prawy trapez, charakteryzujący się dwoma kątami wewnętrznymi 90º: A i B. Źródło: F. Zapata.

Boki prawego trapezu są oznaczone małymi literami a, b, c i d. Narożniki figury lub wierzchołków są oznaczone wielkimi literami. Wreszcie kąty wewnętrzne są wyrażone greckimi literami.

Zgodnie z definicją podstawami tego trapezu są boki a i b, które, jak zaobserwowano, są równoległe i mają również różne długości.

Bok prostopadły do ​​obu podstaw to bok c po lewej stronie, czyli wysokość h trapezu. I wreszcie jest bok d, który tworzy kąt ostry α z bokiem a.

Suma kątów wewnętrznych czworoboku wynosi 360º. Łatwo zauważyć, że brakujący kąt C na rysunku wynosi 180 - α.

Środkowa podstawa to odcinek łączący punkty środkowe nierównoległych boków (odcinek EF na Rysunku 2).

Rysunek 2. Elementy prawego trapezu. Źródło: F. Zapata.

I na koniec mamy przekątne d ₁ id ₂ , odcinki, które łączą przeciwległe wierzchołki i przecinają się w punkcie O (patrz rysunek 2).

Relacje i formuły

Wysokość trapezu h

Obwód P

Jest miarą konturu i jest obliczana przez dodanie boków:

Bok d jest wyrażony jako wysokość lub bok c przez twierdzenie Pitagorasa:

Podstawiając na obwodzie:

Środkowa podstawa

Jest to półsuma podstaw:

Czasami można znaleźć średnią podstawę wyrażoną w ten sposób:

Powierzchnia

Pole A trapezu jest iloczynem średniej podstawy pomnożonej przez wysokość:

Przekątne, boki i kąty

Na rysunku 2 pojawia się kilka trójkątów, zarówno prawych, jak i nieprawych. Twierdzenie Pitagorasa można zastosować do tych, które są prostokątami prostokątnymi, i do tych, które nimi nie są, twierdzeń o cosinusie i sinusoidzie.

W ten sposób znajdują się relacje między bokami i między bokami a wewnętrznymi kątami trapezu.

Trójkąt CPA

Jest to prostokąt, jego nogi są równe i warte b, podczas gdy przeciwprostokątna to przekątna d ₁ , dlatego:

Trójkąt DAB

Jest to również prostokąt, nogi są a i c (lub również ayh), a przeciwprostokątna to d ₂ , więc:

Trójkąt CDA

Ponieważ ten trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym, stosuje się do niego twierdzenie cosinus lub również twierdzenie o sinusoidzie.

Zgodnie z twierdzeniem cosinus:

Trójkąt CDP

Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, a jego bokami są zbudowane stosunki trygonometryczne kąta α:

Ale strona PD = a - b, więc:

Masz także:

Trójkąt CBD

W tym trójkącie mamy kąt, którego wierzchołek jest w C. Nie jest zaznaczony na rysunku, ale na początku zaznaczono, że wynosi 180 - α. Ten trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym, więc można zastosować twierdzenie cosinus lub twierdzenie o sinusoidzie.

Teraz można łatwo wykazać, że:

Stosując twierdzenie cosinus:

Przykłady prawidłowych trapezów

Trapezoidy, aw szczególności trapezoidy prawe, występują z wielu stron, czasem nie zawsze w namacalnej formie. Tutaj mamy kilka przykładów:

Trapez jako element projektu

W architekturze wielu budynków obfitują figury geometryczne, na przykład ten kościół w Nowym Jorku, który przedstawia strukturę w kształcie prostokątnego trapezu.

Podobnie kształt trapezowy jest częsty w projektowaniu pojemników, pojemników, ostrzy (nożowych lub dokładnych), płyt oraz w projektach graficznych.

Rysunek 3. Anioł wewnątrz prostokątnego trapezu w kościele w Nowym Jorku. Źródło: David Goehring przez Flickr.

Generator fal trapezowych

Sygnały elektryczne mogą być nie tylko kwadratowe, sinusoidalne czy trójkątne. Istnieją również sygnały trapezowe, które są przydatne w wielu obwodach. Na rysunku 4 znajduje się sygnał trapezowy złożony z dwóch prawych trapezów. Między nimi tworzą pojedynczy trapez równoramienny.

Rysunek 4. Sygnał trapezowy. Źródło: Wikimedia Commons.

W obliczeniach numerycznych

Aby obliczyć w postaci liczbowej całkę oznaczoną funkcji f (x) między a i b, stosuje się regułę trapezu w celu przybliżenia pola pod wykresem funkcji f (x). Na poniższym rysunku po lewej całka jest aproksymowana jednym prawym trapezem.

Lepszym przybliżeniem jest to na prawej figurze, z wieloma prawymi trapezami.

Rysunek 5. Całka oznaczona między a i b to nic innego jak pole powierzchni pod krzywą f (x) między tymi wartościami. Prawidłowy trapez może służyć jako pierwsze przybliżenie takiego obszaru, ale im więcej trapezoidów użytych, tym lepsze przybliżenie. Źródło: Wikimedia Commons.

Belka z obciążeniem trapezowym

Siły nie zawsze są skupione w jednym punkcie, ponieważ ciała, na które one działają, mają znaczące rozmiary. Tak jest w przypadku mostu, po którym stale krążą pojazdy, wody basenu na pionowych ścianach tego samego lub dachu, na którym gromadzi się woda lub śnieg.

Z tego powodu siły rozkładane są na jednostkę długości, powierzchni lub objętości, w zależności od ciała, na które działają.

W przypadku belki siła rozłożona na jednostkę długości może mieć różne rozkłady, na przykład prawy trapez pokazany poniżej:

Rysunek 6. Obciążenia belki. Źródło: Bedford, A. 1996. Static. Addison Wesley Interamericana.

W rzeczywistości rozkłady nie zawsze odpowiadają regularnym kształtom geometrycznym, takim jak ten, ale w wielu przypadkach mogą być dobrym przybliżeniem.

Jako narzędzie edukacyjne i edukacyjne

Klocki i obrazki o geometrycznych kształtach, w tym trapezoidy, są bardzo pomocne w oswajaniu dzieci z fascynującym światem geometrii od najmłodszych lat.

Rysunek 7. Bloki o prostych kształtach geometrycznych. Ile odpowiednich trapezów jest ukrytych w blokach? Źródło: Wikimedia Commons.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

W prawym trapezie na ryc. 1 większa podstawa ma 50 cm, a mniejsza 30 cm, wiadomo również, że skośny bok ma 35 cm. Odnaleźć:

a) Kąt α

b) Wysokość

c) Obwód

d) Średnia podstawa

e) Powierzchnia

f) Przekątne

Rozwiązanie

Dane wyciągu podsumowano w następujący sposób:

a = większa podstawa = 50 cm

b = mniejsza podstawa = 30 cm

d = bok skośny = 35 cm

Aby znaleźć kąt α, odwiedzamy sekcję ze wzorami i równaniami, aby zobaczyć, który z nich najlepiej pasuje do dostarczonych danych. Poszukiwany kąt znajduje się w kilku z analizowanych trójkątów, na przykład w CDP.

Tam mamy tę formułę, która zawiera nieznane, a także dane, które znamy:

A zatem:

Czyści h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

A dla przekątnej d ₂ :

Bibliografia

1. Baldor, A. 2004. Geometria płaszczyzny i przestrzeni z trygonometrią. Publikacje kulturalne.
2. Bedford, A. 1996. Statyka. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. geometria. 2014. Wielokąty. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Prostokątny trapez. Odzyskane z: es.onlinemschool.com.
5. Automatyczne rozwiązywanie problemów z geometrią. Trapez. Odzyskany z: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapez (geometria). Odzyskane z: es.wikipedia.org.