TRÓJMIAN POSTACI X ^ 2 + BX + C (Z PRZYKŁADAMI) - MATEMATYKA - 2026

Zanim nauczysz się rozwiązywać trójmian postaci x ^ 2 + bx + c , a nawet zanim poznasz pojęcie trójmianu, ważne jest, aby znać dwa podstawowe pojęcia; mianowicie pojęcia jednomianu i wielomianu. Jednomian jest wyrażeniem typu a * x ⁿ , gdzie a jest liczbą wymierną, n jest liczbą naturalną, a x jest zmienną.

Wielomian to liniowa kombinacja jednomianów postaci a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , gdzie każdy a _i , gdzie i = 0,…, n, jest liczbą wymierną, n jest liczbą naturalną, a a_n jest różna od zera. W tym przypadku mówi się, że stopień wielomianu wynosi n.

Wielomian utworzony przez sumę tylko dwóch wyrazów (dwóch jednomianów) o różnym stopniu jest znany jako dwumian.

Trójmian

Wielomian utworzony przez sumę tylko trzech wyrazów (trzech jednomianów) różnych stopni jest nazywany trójomianem. Oto przykłady trójmianów:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Istnieje kilka rodzajów trójmianów. Spośród nich wyróżnia się idealny kwadratowy trójmian.

Idealny kwadratowy trójmian

Idealny trójmian kwadratowy jest wynikiem podniesienia do kwadratu dwumianu. Na przykład:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16 x ⁴ -16x ² Y ⁴ + 4y ⁸
• 1/16 x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ oo + oo ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² 2 (1 / 4xy ⁴ ) z + Z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Charakterystyka trójmianów stopnia 2

Idealny kwadrat

Ogólnie rzecz biorąc, trójmian postaci ax ² + bx + c jest kwadratem idealnym, jeśli jego dyskryminator jest równy zero; to znaczy, jeśli b ² -4ac = 0, ponieważ w tym przypadku będzie miał pojedynczy pierwiastek i można go wyrazić w postaci a (xd) ² = (√a (xd)) ² , gdzie d jest wspomnianym już pierwiastkiem.

Pierwiastek wielomianu to liczba, w której wielomian przyjmuje wartość zero; innymi słowy, liczba, której podstawianie za x w wyrażeniu wielomianowym daje zero.

Formuła rozstrzygająca

Ogólną formułą obliczania pierwiastków wielomianu drugiego stopnia w postaci ax ² + bx + c jest formuła rozdzielcza, która stwierdza, że ​​pierwiastki te są podane przez (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, gdzie b ² -4ac jest znane jako dyskryminator i jest zwykle oznaczane przez ∆. Z tego wzoru wynika, że ​​ax ² + bx + c ma:

- Dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jeśli ∆> 0.

- Pojedynczy pierwiastek rzeczywisty, jeśli ∆ = 0.

- Nie ma prawdziwego pierwiastka, jeśli ∆ <0.

W dalszej części będą brane pod uwagę tylko trójomiany postaci x ² + bx + c, gdzie oczywiście c musi być liczbą inną niż zero (w przeciwnym razie byłby to dwumian). Te typy trójmianów mają pewne zalety podczas rozkładania na czynniki i operacji z nimi.

Interpretacja geometryczna

Geometrycznie trójmianowym x ² + bx + c jest paraboliczny, który otwiera się ku górze i ma wierzchołek w punkcie (-b / 2-b ² /4 + C) kartezjańskiego płaszczyźnie x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + C.

Ta parabola przecina oś Y w punkcie (0, c) i oś X w punktach (d ₁ , 0) i (d ₂ , 0); wtedy d ₁ id ₂ są pierwiastkami trójmianu. Może się zdarzyć, że trójmian ma pojedynczy pierwiastek d, w którym to przypadku jedynym przekrojem na osi X będzie (d, 0).

Może się również zdarzyć, że trójmian nie ma żadnego rzeczywistego pierwiastka, w którym to przypadku nie przecinałby osi X w żadnym punkcie.

Na przykład x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² to parabola z wierzchołkiem w (-3,0), która przecina oś Y w (0, 9) i do osi X w punkcie (-3,0).

Faktoring trójmianowy

Bardzo przydatnym narzędziem podczas pracy z wielomianami jest faktoring, który polega na wyrażeniu wielomianu jako iloczynu czynników. Ogólnie biorąc, biorąc pod uwagę trójmian postaci x ² + bx + c, jeśli ma on dwa różne pierwiastki d ₁ id ₂ , można go rozłożyć na czynniki jako (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Jeśli ma pojedynczy pierwiastek d, można go rozłożyć na czynniki jako (xd) (xd) = (xd) ² , a jeśli nie ma prawdziwego korzenia, pozostaje taki sam; w tym przypadku nie dopuszcza faktoryzacji jako iloczynu czynników innych niż ona sama.

Oznacza to, że znając pierwiastki trójmianu w już ustalonej formie, można łatwo wyrazić jego faktoryzację i jak już wspomniano powyżej, pierwiastki te zawsze można określić za pomocą resolvent.

Jednak istnieje znaczna liczba tego typu trójmianów, które można uwzględnić bez uprzedniej znajomości ich pierwiastków, co upraszcza pracę.

Pierwiastki można określić bezpośrednio na podstawie faktoryzacji bez użycia wzoru na rozpuszczalnik; są to wielomiany postaci x ² + (a + b) x + ab. W tym przypadku mamy:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Z tego łatwo można zauważyć, że korzenie to –a i –b.

Innymi słowy, mając trójmian x ² + bx + c, jeśli istnieją dwie liczby u i v takie, że c = uv i b = u + v, to x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

To znaczy, biorąc pod uwagę trójmian x ² + bx + c, najpierw sprawdza się, czy istnieją dwie liczby takie, które po pomnożeniu dają niezależny człon (c) i dodane (lub odjęte, w zależności od przypadku), dają wyraz towarzyszący x ( b).

Nie ze wszystkimi trójmianami w ten sposób można zastosować tę metodę; w których nie jest to możliwe, stosuje się uchwałę i stosuje się powyższe.

Przykłady

Przykład 1

Aby rozłożyć następujący trójmian x ² + 3x + 2, wykonaj następujące czynności:

Musisz znaleźć dwie liczby takie, że po ich dodaniu wynikiem jest 3, a po ich pomnożeniu wynikiem jest 2.

Po dokonaniu oględzin można stwierdzić, że wyszukiwane liczby to: 2 i 1. Zatem x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Przykład 2

Aby rozłożyć trójmian x ² -5x + 6, szukamy dwóch liczb, których suma wynosi -5, a ich iloczynem 6. Liczby spełniające te dwa warunki to -3 i -2. Dlatego rozkład na czynniki danego trójmianu wynosi x ^{2 -} 5x + 6 = (x-3) (x-2).

Bibliografia

1. Fuentes, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe: Jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF i Paul, RS (2003). Matematyka dla zarządzania i ekonomii. Edukacja Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
5. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearson.