WEKTOR DYREKTORA: RÓWNANIE PROSTEJ, ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Przez wektor kierunkowy rozumie się taki, który określa kierunek linii w płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dlatego wektor równoległy do ​​prostej można traktować jako wektor kierujący do niej.

Jest to możliwe dzięki aksjomatowi geometrii euklidesowej, który mówi, że dwa punkty definiują linię. Wówczas zorientowany odcinek utworzony przez te dwa punkty również określa wektor kierunkowy wspomnianej linii.

Rysunek 1. Wektor kierunkowy prostej. (Opracowanie własne)

Mając punkt P należący do prostej (L) i mając wektor kierunkowy u tej prostej, prosta jest całkowicie określona.

Równanie prostej i wektora kierunkowego

Rysunek 2. Równanie linii i wektora kierunkowego. (Opracowanie własne)

Mając punkt P o współrzędnych P: (Xo, I) i kierunek wektora u linii (L), każdy punkt Q współrzędnych Q: (X, Y) musi spełniać, że wektor PQ jest równoległy do ​​u. Ten ostatni warunek jest gwarantowany, jeśli PQ jest proporcjonalne do u :

PQ = t⋅ u

w powyższym wyrażeniu t jest parametrem należącym do liczb rzeczywistych.

Jeśli kartezjańskich składników PQ i U są zapisywane, powyższe równanie zapisać w następujący sposób:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Jeżeli składowe równości wektorów zostaną wyrównane, otrzymamy następującą parę równań:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Równanie parametryczne prostej

Współrzędne X i Y punktu należącego do prostej (L) przechodzącej przez punkt współrzędnych (Xo, Yo) i równoległej do wektora kierunkowego u = (a, b) wyznaczane są poprzez przypisanie rzeczywistych wartości parametrowi zmiennej t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Przykład 1

Aby zilustrować znaczenie parametrycznego równania prostej, bierzemy jako wektor kierujący

u = (a, b) = (2, -1)

a jako znany punkt prostej to punkt

P = (Xo, I) = (1, 5).

Równanie parametryczne linii to:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Aby zilustrować znaczenie tego równania, pokazano rysunek 3, na którym parametr t zmienia swoją wartość, a punkt Q współrzędnych (X, Y) przyjmuje różne pozycje na linii.

Rysunek 3. PQ = t u. (Opracowanie własne)

Linia w postaci wektorowej

Mając punkt P na prostej i jego wektor kierunkowy u, równanie prostej można zapisać w postaci wektorowej:

OQ = OP + λ⋅ u

W powyższym równaniu Q jest dowolnym punktem, ale należącym do prostej, a λ jest liczbą rzeczywistą.

Równanie wektora prostej ma zastosowanie do dowolnej liczby wymiarów, można nawet zdefiniować hiperlinię.

W trójwymiarowym przypadku dla wektora kierunkowego u = (a, b, c) i punktu P = (Xo, Yo, Zo) współrzędne ogólnego punktu Q = (X, Y, Z) należącego do prostej są :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Przykład 2

Rozważmy ponownie linię, która ma jako wektor kierujący

u = (a, b) = (2, -1)

a jako znany punkt prostej to punkt

P = (Xo, I) = (1, 5).

Równanie wektorowe tej linii to:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Ciągła postać linii i wektor reżysera

Wychodząc od postaci parametrycznej, po wyczyszczeniu i zrównaniu parametru λ otrzymujemy:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

To jest symetryczna postać równania prostej. Zauważ, że a, b i c są składowymi wektora kierunkowego.

Przykład 3

Rozważmy linię, która ma jako wektor kierujący

u = (a, b) = (2, -1)

a jako znany punkt prostej to punkt

P = (Xo, I) = (1, 5). Znajdź jego symetryczny kształt.

Symetryczna lub ciągła postać linii to:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Ogólna postać równania prostej

Ogólna postać linii na płaszczyźnie XY jest znana jako równanie, które ma następującą strukturę:

A⋅X + B⋅Y = C

Wyrażenie dla postaci symetrycznej można przepisać tak, aby miało postać ogólną:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

w porównaniu z ogólnym kształtem linii jest to:

A = b, B = -a i C = b⋅Xo - a⋅Yo

Przykład 3

Znajdź ogólną postać prostej, której wektor kierunkowy to u = (2, -1)

i to przechodzi przez punkt P = (1, 5).

Aby znaleźć ogólną formę, możemy skorzystać z podanych wzorów, jednak zostanie wybrana alternatywna ścieżka.

Zaczynamy od znalezienia podwójnego wektora w wektora kierunkowego u, zdefiniowanego jako wektor otrzymany przez zamianę składników u i pomnożenie drugiego przez -1:

w = (-1, -2)

podwójny wektor w odpowiada rotacji wektora kierunkowego v o 90 ° w prawo .

Mnożymy skalarnie w przez (X, Y) i przez (Xo, Yo) i ustawiamy równe:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1-2⋅5 = -11

pozostając ostatecznie:

X + 2Y = 11

Standardowa postać równania prostej

Znany jest jako standardowa forma linii w płaszczyźnie XY, która ma następującą strukturę:

Y = m⋅X + d

gdzie m oznacza nachylenie, ad punkt przecięcia z osią Y.

Biorąc pod uwagę wektor kierunkowy u = (a, b), nachylenie m wynosi b / a.

Y d otrzymuje się podstawiając X i Y zamiast znanego punktu Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Krótko mówiąc, m = b / a id = I - (b / a) Xo

Zauważ, że nachylenie m jest ilorazem składowej y wektora kierunkowego i jego składowej x.

Przykład 4

Znajdź standardową postać prostej, której wektor kierunkowy to u = (2, -1)

i to przechodzi przez punkt P = (1, 5).

m = -½ id = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Rozwiązane ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Znajdź wektor kierunkowy prostej (L) będącej przecięciem płaszczyzny (Π): X - Y + Z = 3 i płaszczyzny (Ω): 2X + Y = 1.

Następnie napisz ciągłą postać równania prostej (L).

Rozwiązanie

Z równania płaszczyzny (Ω) prześwit Y: Y = 1 -2X

Następnie podstawiamy w równaniu płaszczyzny (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Następnie parametryzujemy X, wybieramy parametryzację X = λ

Oznacza to, że linia ma równanie wektorowe podane przez:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

który można przepisać jako:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

dzięki czemu jest jasne, że wektor u = (1, -2, -3) jest wektorem kierującym prostej (L).

Ciągła postać linii (L) to:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Ćwiczenie 2

Biorąc pod uwagę płaszczyznę 5X + a Y + 4Z = 5

i prosta, której równanie to X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Określ wartość a tak, aby płaszczyzna i prosta były równoległe.

Rozwiązanie 2

Wektor n = (5, a, 4) jest wektorem normalnym do płaszczyzny.

Wektor u = (1, 3, -2) jest wektorem kierującym prostej.

Jeśli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Bibliografia

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Algebra liniowa. Edukacja Pearson.
3. Leal, JM i Viloria, NG (2005). Geometria analityczna płaszczyzny. Mérida - Wenezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Wektory. Odzyskane z: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Podstawowe pojęcia geometrii. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.