- Jak przenieść wektor normalny na płaszczyznę?
- Wektor normalny z produktu wektorowego
- Przykład
- Rozwiązanie
- Obliczanie iloczynu wektorowego
- Równanie samolotu
- Bibliografia
Wektor normalny jest system, który definiuje kierunek prostopadły do pewnego geometrycznej jednostki pod uwagę, które mogą być krzywą, na płaszczyźnie lub na powierzchnię, na przykład.
Jest to bardzo przydatna koncepcja w pozycjonowaniu poruszającej się cząstki lub jakiejś powierzchni w przestrzeni. Na poniższym wykresie można zobaczyć, jak wygląda wektor normalny do dowolnej krzywej C:
Rysunek 1. Krzywa C z wektorem normalnym do krzywej w punkcie P. Źródło: Svjo
Rozważmy punkt P na krzywej C. Punkt może reprezentować poruszającą się cząstkę poruszającą się po ścieżce w kształcie litery C. Styczna do krzywej w punkcie P jest narysowana na czerwono.
Zwróć uwagę, że wektor T jest styczny do C w każdym punkcie, podczas gdy wektor N jest prostopadły do T i wskazuje na środek wyimaginowanego koła, którego łuk jest odcinkiem C. Wektory są oznaczone pogrubioną czcionką w drukowanym tekście, np. odróżnić je od innych wielkości niebędących wektorami.
Wektor T zawsze wskazuje, gdzie porusza się cząstka, dlatego wskazuje prędkość cząstki. Z drugiej strony wektor N zawsze wskazuje kierunek, w którym obraca się cząstka, w ten sposób wskazuje na wklęsłość krzywej C.
Jak przenieść wektor normalny na płaszczyznę?
Wektor normalny niekoniecznie jest wektorem jednostkowym, to znaczy wektorem, którego moduł wynosi 1, ale jeśli tak, nazywa się go wektorem normalnym.
Rysunek 2. Po lewej płaszczyzna P i dwa wektory normalne do tej płaszczyzny. Po prawej wektory jednostkowe w trzech kierunkach określające przestrzeń. Źródło: Wikimedia Commons. Zobacz stronę dla autora
W wielu zastosowaniach konieczna jest znajomość wektora normalnego do płaszczyzny, a nie krzywej. Ten wektor ujawnia orientację wspomnianej płaszczyzny w przestrzeni. Na przykład rozważmy płaszczyznę P (żółtą) na rysunku:
Istnieją dwa wektory normalne na tę płaszczyznę: n 1 i n 2 . Użycie jednej lub drugiej zależy od kontekstu, w jakim znajduje się wspomniana płaszczyzna. Uzyskanie wektora normalnego do płaszczyzny jest bardzo proste, jeśli znane jest równanie płaszczyzny:
Tutaj wektor N jest wyrażony w postaci prostopadłych wektorów jednostkowych i , j i k , skierowanych wzdłuż trzech kierunków wyznaczających przestrzeń xyz, patrz rysunek 2 po prawej.
Wektor normalny z produktu wektorowego
Bardzo prosta procedura znajdowania wektora normalnego wykorzystuje właściwości produktu wektorowego między dwoma wektorami.
Jak wiadomo, trzy różne punkty, a nie współliniowe względem siebie, wyznaczają płaszczyznę P. Teraz można otrzymać dwa wektory u i v, które należą do wspomnianej płaszczyzny mającej te trzy punkty.
Po wektorów uzyskano produkt wektora u x V jest operacja którego wynikiem jest z kolei wektor, który ma tę właściwość, że jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez U i V .
Znany ten wektor jest oznaczony jako N i na jego podstawie będzie można wyznaczyć równanie płaszczyzny dzięki równaniu wskazanemu w poprzedniej sekcji:
N = u x v
Poniższy rysunek ilustruje opisaną procedurę:
Rysunek 3. Na podstawie dwóch wektorów i ich iloczynu wektorowego lub krzyża wyznacza się równanie płaszczyzny zawierającej te dwa wektory. Źródło: Wikimedia Commons. Nie podano autora do odczytu maszynowego. Założył M.Romero Schmidtke (na podstawie roszczeń dotyczących praw autorskich).
Przykład
Znajdź równanie płaszczyzny określonej przez punkty A (2,1,3); B (0, 1, 1); C (4.2.1).
Rozwiązanie
To ćwiczenie ilustruje procedurę opisaną powyżej. Mając 3 punkty, jeden z nich jest wybierany jako wspólny początek dwóch wektorów należących do płaszczyzny określonej przez te punkty. Na przykład punkt A jest ustawiony jako początek i konstruowane są wektory AB i AC .
Wektor AB jest wektorem, którego początek jest punktem A, a punktem końcowym jest punkt B. Współrzędne wektora AB są określane przez odpowiednio odjęcie współrzędnych B od współrzędnych A:
Postępujemy w ten sam sposób, aby znaleźć wektor AC :
Obliczanie iloczynu wektorowego
Istnieje kilka procedur wyszukiwania iloczynu krzyżowego między dwoma wektorami. W tym przykładzie zastosowano procedurę mnemoniczną, która wykorzystuje poniższy rysunek do znalezienia produktów wektorowych między wektorami jednostkowymi i , j oraz k:
Rysunek 4. Wykres do wyznaczania iloczynu wektorowego między wektorami jednostkowymi. Źródło: wykonane samodzielnie.
Na początek warto pamiętać, że iloczyn wektorowy między równoległymi wektorami jest zerowy, dlatego:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
A ponieważ iloczyn wektorowy jest innym wektorem prostopadłym do uczestniczących wektorów, poruszającym się w kierunku czerwonej strzałki mamy:
Jeśli musisz poruszać się w kierunku przeciwnym do strzałki, dodaj znak (-):
W sumie można utworzyć 9 produktów wektorowych z wektorami jednostkowymi i , j oraz k , z których 3 będą zerowe.
AB x AC = -2 ( i + 0 J -2 k ) x (2 I + j -2 K ) = 4 ( I x I ) -2 ( I x J ) +4 ( I x K ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Równanie samolotu
Wektor N został określony przez obliczony wcześniej iloczyn wektorowy:
N = 2 i -8 j -2 k
Zatem a = 2, b = -8, c = -2, poszukiwana płaszczyzna to:
Wartość d pozostaje do ustalenia. Jest to łatwe, jeśli wartości któregokolwiek z dostępnych punktów A, B lub C zostaną podstawione do równania płaszczyzny. Na przykład wybierając C:
x = 4; y = 2; z = 1
Pozostaje:
Krótko mówiąc, poszukiwana mapa to:
Dociekliwy czytelnik może się zastanawiać, czy ten sam wynik zostałby uzyskany, gdyby zamiast wykonać AB x AC , zdecydowano się wykonać AC x AB. Odpowiedź brzmi: tak, płaszczyzna wyznaczona przez te trzy punkty jest unikalna i ma dwa wektory normalne, jak pokazano na rysunku 2.
Jeśli chodzi o punkt wybrany jako początek wektorów, nie ma problemu z wyborem któregokolwiek z pozostałych dwóch.
Bibliografia
- Figueroa, D. (2005). Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. Kinematyka. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB). 31-62.
- Znalezienie normalnej do samolotu. Odzyskany z: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Rachunek różniczkowy i geometria analityczna. Mc Graw Hill. 616-647.
- Linie i samoloty w R 3. Odzyskane z: math.harvard.edu.
- Wektor normalny. Odzyskany z mathworld.wolfram.com.