WEKTORY WSPÓŁBIEŻNE: CHARAKTERYSTYKA, PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

W równoległych wektory są wektorami grup, których osie pokrywają się w jednym punkcie, tworzących między każdej pary wewnętrznych i zewnętrznych innym kątem. Wyraźny przykład widać na poniższym rysunku, gdzie A, B i C są wektorami współbieżnymi.

D i E w przeciwieństwie do reszty nie są. Między współbieżnymi wektorami AB, AC i CB powstają kąty. Nazywa się je kątami zależności między wektorami.

cechy

-Mają punkt wspólny, który pokrywa się z ich pochodzeniem: wszystkie wielkości współbieżnych wektorów zaczynają się od wspólnego punktu do ich odpowiednich końców.

- Początek jest uważany za punkt działania wektora: musi zostać ustalony punkt akcji, na który będzie bezpośrednio oddziaływać każdy z współbieżnych wektorów.

-Jego dziedziną w płaszczyźnie i przestrzeni są odpowiednio R ² i R ³ : współbieżne wektory mogą pokrywać całą przestrzeń geometryczną.

-Zezwala na różne zapisy w tej samej grupie wektorów. Zgodnie z dziedzinami badań, w operacjach z wektorami występują różne zapisy.

Rodzaje wektorów

Gałąź wektorów ma wiele podpodziałów, między innymi można je nazwać: równoległe, prostopadłe, współpłaszczyznowe, odpowiadające, przeciwne i jednolite. Wektory współbieżne są tutaj wymienione i podobnie jak wszystkie wymienione powyżej mają wiele zastosowań w różnych naukach.

Są bardzo powszechne w badaniu wektorów, ponieważ stanowią przydatne uogólnienie w operacjach na nich. Zarówno w płaszczyźnie, jak iw przestrzeni współbieżne wektory są powszechnie używane do reprezentowania różnych elementów i badania ich wpływu na określony układ.

Notacja wektorowa

Istnieje kilka sposobów przedstawienia elementu wektorowego. Główne i najbardziej znane to:

kartezjański

Zaproponowane przez to samo podejście matematyczne oznacza wektory z potrójną odpowiadającą wielkościami każdej osi (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Przestrzeń A: (1, 1) Płaszczyzna

Polarny

Służą one jedynie do oznaczania wektorów w płaszczyźnie, chociaż w rachunku całkowym przypisuje się im składową głębokości. Składa się z liniowej wielkości r i kąta względem osi biegunowej Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Płaszczyzna A: (2, 45 ⁰ , 3) Przestrzeń

Analityczny

Definiują wielkości wektora za pomocą wersorów. Wersory (i + j + k) reprezentują wektory jednostkowe odpowiadające osiom X, Y i

A: 3i + 2j - 3k

Kulisty

Są podobne do notacji biegunowej, ale z dodatkiem drugiego kąta przeciągającego się po płaszczyźnie xy symbolizowanej przez δ.

A: (4, 60 ^lub , π / 4)

Współbieżne operacje wektorowe

Wektory współbieżne są najczęściej używane do definiowania operacji między wektorami, ponieważ łatwiej jest porównać elementy wektorów, gdy są one prezentowane jednocześnie.

Suma (A + B)

Suma współbieżnych wektorów ma na celu znalezienie wynikowego wektora V _r . Co, zgodnie z dziedziną studiów, odpowiada ostatecznemu działaniu

Na przykład: 3 struny {A, B, C} są przywiązane do pudełka, każdy koniec sznurka jest trzymany przez jeden podmiot. Każdy z 3 badanych musi ciągnąć linę w innym kierunku niż pozostali 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Pudełko będzie mogło poruszać się tylko w jednym kierunku, dlatego V _r wskaże kierunek i kierunek ruchu pudełka.

Różnica (A - B)

Istnieje wiele kryteriów dotyczących różnicy między wektorami, wielu autorów decyduje się ją wykluczyć i stwierdza, że ​​podana jest tylko suma między wektorami, gdzie różnica jest mniej więcej sumą przeciwnego wektora. Prawda jest taka, że ​​wektory można odjąć algebraicznie.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Iloczyn skalarny (A. B)

Znany również jako iloczyn skalarny, generuje wartość skalarną, która może być powiązana z różnymi wielkościami w zależności od branży.

W przypadku geometrii należy wskazać obszar równoległoboku utworzony przez parę współbieżnych wektorów metodą równoległoboku. W fizyce mechanicznej określa pracę wykonaną przez siłę F podczas przemieszczania ciała na odległość Δr.

ѡ = F . Δr

Jak sama nazwa wskazuje, generuje wartość skalarną i jest zdefiniowana następująco:

Niech będą wektory A i B.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Formularz analityczny:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Gdzie θ jest wewnętrznym kątem między obydwoma wektorami

-Forma algebraiczna:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Iloczyn poprzeczny (A x B)

Produkt wektora lub iloczyn skalarny dwóch wektorów określa trzeci wektor C , których jakość jest prostopadła do B i C . W fizyce wektor momentu τ jest podstawowym elementem dynamiki obrotów.

-Formularz analityczny:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Forma algebraiczna:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Ruch względny: r _{A / B}

Podstawą teorii względności jest ruch względny, a współbieżne wektory są podstawą ruchu względnego. Względne położenia, prędkości i przyspieszenia można wywnioskować, stosując następującą kolejność pomysłów.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Względna pozycja A w stosunku do B.

v _{A / B} = v _A - v _B ; Względna prędkość A w stosunku do B.

a _{A / B} = a _A - a _B ; Względne przyspieszenie A w stosunku do B.

Przykłady: rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Niech A, B i C będą wektorami współbieżnymi.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definiuj wynikowy wektor V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definiuj iloczyn skalarny (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Oblicz kąt między A i C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Gdzie θ jest najkrótszym kątem między wektorami

θ = 88,63 ⁰

-Znajdź wektor prostopadły do ​​A i B.

W tym celu konieczne jest zdefiniowanie iloczynu wektorowego między (-1, 3, 5) a (3, 5, -2). Jak wyjaśniono wcześniej, konstruuje się macierz 3 x 3, w której pierwszy wiersz składa się z wektorów potrójnych jednostek (i, j, k). Następnie 2 i 3 rzędy składają się z wektorów do działania, z zachowaniem kolejności operacyjnej.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Ćwiczenie 2

Niech V _a i V _{b będą} odpowiednio wektorami prędkości A i B. Oblicz prędkość B widzianą z punktu A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

W tym przypadku wymagana jest prędkość względna B w stosunku do A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

To jest wektor prędkości B widziany z punktu A. Gdzie opisano nowy wektor prędkości B, biorąc odniesienie od obserwatora znajdującego się w punkcie A i poruszającego się z prędkością A.

Proponowane ćwiczenia

1-Skonstruuj 3 wektory A, B i C, które są współbieżne i wiążą 3 operacje między nimi poprzez ćwiczenie praktyczne.

2-Niech wektory A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) i C: (-2, -1, 10). Znajdź wektory prostopadłe do: A i B, C i B, Suma A + B + C.

4-Określ 3 wektory, które są prostopadłe do siebie, bez uwzględniania osi współrzędnych.

5-Określ pracę wykonaną przez siłę, która podnosi blok o wadze 5 kg z dna studni o głębokości 20 m.

6-Pokaż algebraicznie, że odejmowanie wektorów jest równe sumie przeciwnych wektorów. Uzasadnij swoje postulaty.

7-Oznacz wektor we wszystkich notacjach opracowanych w tym artykule. (Kartezjański, polarny, analityczny i sferyczny).

8-Siły magnetyczne wywierane na magnes spoczywający na stole są określone przez następujące wektory; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Określ, w jakim kierunku porusza się magnes, jeśli wszystkie siły magnetyczne działają w tym samym czasie.

Bibliografia

1. Geometria i transformacje euklidesowe. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 stycznia 2004
2. Jak rozwiązywać problemy matematyki stosowanej L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 kwietnia 2013
3. Podstawowe pojęcia geometrii. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 października. 2012
4. Wektory. Rocío Navarro Lacoba, 7 czerwca. 2014
5. Algebra liniowa. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006