WEKTORY W KOSMOSIE: JAK RYSOWAĆ, APLIKACJE, ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Wektorów w przestrzeni, jest wszystkim, reprezentowane przez układ współrzędnych danej przez x, y i z. W większości przypadków płaszczyzna xy jest poziomą płaszczyzną powierzchni, a oś z reprezentuje wysokość (lub głębokość).

Osie współrzędnych kartezjańskich pokazane na rysunku 1 dzielą przestrzeń na 8 obszarów zwanych oktantami, analogicznie do tego, jak osie x - y dzielą płaszczyznę na 4 ćwiartki. Będziemy wtedy mieć 1 oktant, 2 oktant i tak dalej.

Rysunek 1. Wektor w przestrzeni. Źródło: wykonane samodzielnie.

Rysunek 1 zawiera reprezentację wektora v w przestrzeni. Aby stworzyć iluzję trójwymiarowości na płaszczyźnie ekranu, potrzebna jest pewna perspektywa, co osiąga się, rysując ukośny widok.

Aby wykreślić wektor 3D, należy użyć kropkowanych linii, które wyznaczają na siatce współrzędne odwzorowania lub „cienia” v na powierzchni xy. Ta projekcja zaczyna się w O i kończy w zielonym punkcie.

Tam musisz kontynuować wzdłuż pionu do wymaganej wysokości (lub głębokości) zgodnie z wartością z, aż do osiągnięcia P. Wektor jest rysowany zaczynając od O i kończąc na P, które w przykładzie znajduje się w 1. oktancie.

Aplikacje

Wektory w kosmosie są szeroko stosowane w mechanice i innych gałęziach fizyki i inżynierii, ponieważ otaczające nas struktury wymagają trójwymiarowej geometrii.

Wektory położenia w przestrzeni służą do pozycjonowania obiektów względem punktu odniesienia, zwanego początkiem OR, są więc również niezbędnymi narzędziami nawigacji, ale to nie wszystko.

Siły działające na konstrukcje takie jak śruby, wsporniki, kable, rozpórki i inne mają charakter wektorowy i są zorientowane w przestrzeni. Aby poznać jego działanie, należy znać jego adres (a także miejsce zastosowania).

Często kierunek działania siły jest znany ze znajomości dwóch punktów w przestrzeni, które należą do linii jej działania. W ten sposób siła jest:

F = F u

Gdzie K jest wielkością lub wielkości siły i U jest wektorem jednostkowym (moduł 1) skierowane wzdłuż linii działania F .

Notacja i reprezentacje wektorowe 3D

Zanim przejdziemy do rozwiązania kilku przykładów, krótko omówimy notację wektorów 3D.

W przykładzie na rysunku 1 wektor v, którego punkt początkowy pokrywa się z punktem początkowym O i którego końcem jest punkt P, ma dodatnie współrzędne xyz, podczas gdy współrzędna y jest ujemna. Te współrzędne to: x ₁ , y ₁ , z ₁ , które są dokładnie współrzędnymi P.

Jeśli więc mamy wektor powiązany z punktem początkowym, to znaczy którego punkt początkowy pokrywa się z O, bardzo łatwo jest wskazać jego współrzędne, które będą odpowiadały punktowi skrajnemu lub P. Aby odróżnić punkt od wektora, użyjemy do ostatnie pogrubione litery i nawiasy, na przykład:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Podczas gdy punkt P jest oznaczony nawiasami:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Inna reprezentacja wykorzystuje wektory jednostkowe i , j i k, które definiują trzy kierunki przestrzeni odpowiednio na osiach x, y i z.

Wektory te są do siebie prostopadłe i tworzą podstawę ortonormalną (patrz rysunek 2). Oznacza to, że wektor 3D można zapisać w ich kategoriach jako:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Kąty i cosinusy dyrektora wektora

Rysunek 2 pokazuje również kąty reżysera γ ₁ , γ ₂ i γ _3, które wektor v tworzy odpowiednio z osiami x, y i z. Znając te kąty i wielkość wektora, jest to całkowicie określone. Ponadto cosinusy kątów reżyserskich spełniają następującą zależność:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Rysunek 2. Wektory jednostkowe i, j i k wyznaczają 3 preferencyjne kierunki przestrzeni. Źródło: wykonane samodzielnie.

Rozwiązane ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Na rysunku 2 kąty γ ₁ , γ ₂ i γ _3, które tworzy wektor v modułu 50 z osiami współrzędnych, wynoszą odpowiednio: 75,0º, 60,0º i 34,3º. Znajdź składowe kartezjańskie tego wektora i przedstaw go w postaci wektorów jednostkowych i , j oraz k .

Rozwiązanie

Rzut wektora v na oś _x wynosi v _x = 50. cos 75º = 12 941. W ten sam sposób rzut v na oś y wynosi v _y = 50 cos 60 º = 25 i ostatecznie na osi z wynosi v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Teraz v można wyrazić jako:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Ćwiczenie 2

Znajdź naprężenia w każdym z linek, które utrzymują wiadro na rysunku będącym w równowadze, jeśli jego waga wynosi 30 N.

Rysunek 3. Wykres naprężeń w ćwiczeniu 2.

Rozwiązanie

Na łyżce wykres swobodnego ciała wskazuje, że T _D (zielony) kompensuje ciężar W (żółty), stąd T _D = W = 30 N.

W węźle wektor T _D skierowany jest pionowo w dół, a następnie:

T _D = 30 (- k ) N.

Aby ustalić pozostałe napięcia, wykonaj następujące kroki:

Krok 1: Znajdź współrzędne wszystkich punktów

A = (4.5,0,3) (A znajduje się w płaszczyźnie ściany xz)

B = (1.5,0,0) (B jest na osi x)

C = (0, 2,5, 3) (C jest na płaszczyźnie ściany iz)

D = (1,5, 1,5, 0) (D znajduje się na poziomej płaszczyźnie xy)

Krok 2: Znajdź wektory w każdym kierunku, odejmując współrzędne końca i początku

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; jeden; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Krok 3: Oblicz moduły i wektory jednostkowe

Wektor jednostkowy uzyskuje się za pomocą wyrażenia: u = r / r, gdzie r (pogrubioną czcionką) jest wektorem, a r (bez pogrubienia) jest modułem tego wektora.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; jeden; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -jeden; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Krok 4: Przedstaw wszystkie naprężenia jako wektory

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -jeden; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Krok 5: Zastosuj warunek równowagi statycznej i rozwiąż układ równań

Na koniec do wiadra stosuje się warunek równowagi statycznej, tak aby suma wektorów wszystkich sił na węźle wynosiła zero:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Ponieważ naprężenia są w przestrzeni, da to układ trzech równań dla każdego składnika (x, yiz) naprężeń.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Rozwiązanie jest następujące: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Bibliografia

1. Bedford, 2000. A. Mechanika inżynierska: statyka. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Series: Physics for Science and Engineering. Tom 1. Kinematyka 31-68.
3. Fizyczny. Moduł 8: Wektory. Odzyskany z: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statyczny 6th Edition. Wydawnictwo Continental. 15-53.
5. Kalkulator dodawania wektorów. Odzyskane z: 1728.org