PRĘDKOŚĆ AREOLARNA: JAK JEST OBLICZANA I ROZWIĄZYWANE ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Prędkość areolarna to powierzchnia przemiatana w jednostce czasu i jest stała. Jest specyficzne dla każdej planety i wynika z opisu drugiego prawa Keplera w formie matematycznej. W tym artykule wyjaśnimy, co to jest i jak jest obliczane.

Boom, który reprezentuje odkrycie planet poza Układem Słonecznym, przywrócił zainteresowanie ruchem planet. Nic nie pozwala nam uwierzyć, że te egzo-planety przestrzegają praw innych niż te znane i obowiązujące w Układzie Słonecznym: prawa Keplera.

Astronomem, który bez pomocy teleskopu i korzystając z obserwacji swojego mentora Tycho Brahe, był Johannes Kepler, stworzył model matematyczny opisujący ruch planet wokół Słońca.

Pozostawił ten model zawarty w trzech prawach, które noszą jego imię i które są nadal aktualne tak samo, jak w 1609 r., Kiedy ustanowił pierwsze dwa, oraz w 1618 r., Kiedy ogłosił trzecie.

Prawa Keplera

W dzisiejszym języku trzy prawa Keplera brzmią następująco:

1. Orbity wszystkich planet są eliptyczne, a Słońce jest w jednym ognisku.

2. Wektor pozycji od Słońca do planety przechodzi przez równe obszary w równych czasach.

3. Kwadrat okresu orbitalnego planety jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej opisanej elipsy.

Planeta będzie miała prędkość liniową, tak jak każdy znany poruszający się obiekt. A jest jeszcze więcej: pisząc drugie prawo Keplera w formie matematycznej, pojawia się nowa koncepcja zwana prędkością areolarną, typowa dla każdej planety.

Dlaczego planety poruszają się eliptycznie wokół Słońca?

Ziemia i inne planety krążą wokół Słońca dzięki temu, że wywiera na nie siłę: przyciąganie grawitacyjne. To samo dzieje się z każdą inną gwiazdą i planetami, które tworzą jej układ, jeśli je ma.

Jest to siła typu znanego jako siła centralna. Waga to centralna siła, którą wszyscy znają. Obiekt, który wywiera centralną siłę, czy to Słońce, czy odległa gwiazda, przyciąga planety do swojego środka i poruszają się po zamkniętej krzywej.

W zasadzie krzywą tę można przybliżyć jako obwód, tak jak zrobił to Nicolás Copernicus, polski astronom, który stworzył teorię heliocentryczną.

Odpowiedzialną siłą jest przyciąganie grawitacyjne. Siła ta zależy bezpośrednio od mas danej gwiazdy i planety i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, która je dzieli.

Problem nie jest taki łatwy, ponieważ w Układzie Słonecznym wszystkie pierwiastki oddziałują w ten sposób, co komplikuje sprawę. Co więcej, nie są one cząstkami, ponieważ gwiazdy i planety mają wymierne rozmiary.

Z tego powodu centralny punkt orbity lub obwodu, po którym poruszają się planety, nie znajduje się dokładnie na środku gwiazdy, ale w punkcie znanym jako środek ciężkości układu Słońce-Planeta.

Wynikowa orbita jest eliptyczna. Poniższy obraz przedstawia to na przykładzie Ziemi i Słońca:

Rysunek 1. Orbita Ziemi jest eliptyczna, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk. Kiedy Ziemia i Słońce znajdują się w maksymalnej odległości, mówi się, że Ziemia znajduje się w aphelium. A jeśli odległość jest minimalna, mówimy o peryhelium.

Aphelium to najdalsza pozycja na Ziemi od Słońca, podczas gdy peryhelium jest najbliższym punktem. Elipsa może być mniej lub bardziej spłaszczona, w zależności od cech układu gwiazda-planeta.

Wartości aphelium i peryhelium zmieniają się co roku, ponieważ inne planety powodują zaburzenia. W przypadku innych planet pozycje te nazywane są odpowiednio apoaster i periaster.

Wielkość prędkości liniowej planety nie jest stała

Kepler odkrył, że kiedy planeta okrąża Słońce, podczas swojego ruchu omiata równe obszary w równych czasach. Rysunek 2 przedstawia graficznie znaczenie tego:

Rysunek 2. Wektor położenia planety względem Słońca to r. Kiedy planeta opisuje swoją orbitę, porusza się po łuku elipsy Δs w czasie Δt.

Matematycznie fakt, że A ₁ jest równy A _2, wyraża się następująco:

Przebyte łuki Δs są małe, więc każdy obszar może być zbliżony do obszaru trójkąta:

Ponieważ Δs = v Δ t, gdzie v jest prędkością liniową planety w danym punkcie, podstawiając otrzymujemy:

A ponieważ przedział czasu Δt jest taki sam, otrzymujemy:

Ponieważ r ₂ > r ₁ , to v ₁ > v ₂ , innymi słowy, prędkość liniowa planety nie jest stała. W rzeczywistości Ziemia porusza się szybciej, gdy znajduje się w peryhelium niż w aphelium.

Dlatego prędkość liniowa Ziemi lub jakiejkolwiek planety wokół Słońca nie jest wielkością, która służy do scharakteryzowania ruchu wspomnianej planety.

Prędkość areolarna

Na poniższym przykładzie pokażemy, jak obliczyć prędkość areolarną, gdy znane są niektóre parametry ruchu planet:

Ćwiczenie

Egzo-planeta porusza się wokół Słońca po eliptycznej orbicie, zgodnie z prawami Keplera. Kiedy znajduje się na periaster, jego wektor promienia wynosi r ₁ = 4 · 10 ⁷ km, a gdy znajduje się na apoasterze - r ₂ = 15 · 10 ⁷ km. Prędkość liniowa w jej periaster wynosi v ₁ = 1000 km / s.

Oblicz:

A) Wielkość prędkości w apoastro.

B) Prędkość areolarna planety egzo.

C) Długość półosi wielkiej elipsy.

Odpowiedz)

Stosuje się równanie:

w którym wartości liczbowe są podstawiane.

Każdy termin jest oznaczony w następujący sposób:

v ₁ = prędkość w apoastro; v ₂ = prędkość na periaster; r ₁ = odległość od twierdzy,

r ₂ = odległość od periaster.

Dzięki tym wartościom otrzymujesz:

Odpowiedź B)

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. Meksyk. Cengage Learning Editors. 367-372.
2. Stern, D. (2005). Trzy prawa ruchu planetarnego Keplera. Odzyskany z pwg.gsfc.nasa.gov
3. Uwaga: proponowane ćwiczenie zostało zaczerpnięte i zmodyfikowane z następującego tekstu w książce McGrawHill. Niestety jest to wyodrębniony rozdział w formacie pdf, bez tytułu i autora: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf